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文檔簡介

1、.第四章微分方程g ( y)dyf ( x)dx1.可分離變量的微分方程 初值問題y0y xx 0的解為yg(y)dyxy 0f ( x)dxx02.一階線性微分方程dyP(x) yQ(x)的通解公式為dxP( x)dx(P( x) dxC)y eQ(x)edxdyP( x) yQ( x)3.初值問題dx的解為y xx0y0xxxP( x) dxP ( x ) dxx0dx y0)ye x 0( Q( x)ex04.齊次型方程 dy( y )uyyux于是有 dyux dudxxxdxdx便得到 ux du(u) 這是一個可分離變量的微分方程。dx分離變量后積分dudx(u) uxdyaxby

2、 c 其中 a1 b1可化為齊次型的方程5.dx a1 x b1 y c1a b當 c c1 0 時方程是齊次型的， 否則是非齊次型的。 在非齊次型的情形下，可用如下的代換把它化為齊次型的。作代換x X h, y Y kdYaX bY(ah bkc)ah bkc0dXa1 X b1Y(a1h b1kc1)再令a1h b1kc10 可定出 h 和 k6.伯努利方程 dyP( x) yQ( x) y(0,1)dx1 / 2.作代換 zy 1則 dz(1 ) ydy，于是有dxdxdz)P(x)z(1)Q(x) ，這是一階線性方程。(1dx7.可降階的二階微分方程(1)yf ( x)(2)yf ( x, y)設 yp 那么ydpp 從而方程就化為dxpf ( x, p) 這是一個關于變量 x，p 的一階微分方程。 如果我們求出它的通解為 yp( x, C1) ，那么再通過積分，可得原方程的通解y(x, C )dxC21(3)yf ( y, y)設 yp y dpdpdyp dpdxdydxdy從而方程就化為pdpf ( y, p)這是一個關于變量 y，p 的一階微分dy方程。如果我們求出它的通解 yp( x,C1

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