函數(shù)微分的定義

1、.函數(shù)微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+x在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為，其中A是不依賴于x的常數(shù)，是x的高階無窮小，則稱函數(shù)在點(diǎn)x0可微的。叫做函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量x的微分，記作dy，即：=。通過上面的學(xué)習(xí)我們知道：微分是自變量改變量x的線性函數(shù)，dy與y的差是關(guān)于x的高階無窮小量，我們把dy稱作y的線性主部。于是我們又得出：當(dāng)x0時(shí)，ydy.導(dǎo)數(shù)的記號(hào)為： ，現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號(hào)，而且還可以表示兩個(gè)微分的比值(把x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表示為：由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。導(dǎo)

2、數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量x(x+x也在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量，若y與x之比當(dāng)x0時(shí)極限存在，則稱這個(gè)極限值為在x0處的導(dǎo)數(shù)。記為：還可記為：，函數(shù)在點(diǎn)x0處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個(gè)確定的x值，都對應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們就稱這個(gè)函數(shù)為原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。導(dǎo)數(shù)公式微分公式函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則拉格朗日中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那

3、末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使 成立。 這個(gè)定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。描述如下： 若在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使成立。 注：這個(gè)定理是羅爾在17世紀(jì)初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。 注：在此我們對這兩個(gè)定理不加以證明，若有什么疑問，請參考相關(guān)書籍 下面我們在學(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理柯西中值定理柯西中值定理 如果函數(shù)，在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且0，那末在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使成立。羅彼塔(LHospital)法則 當(dāng)xa(或x)時(shí)，函數(shù),都趨于零或無窮大，在點(diǎn)a的

4、某個(gè)去心鄰域內(nèi)(或當(dāng)xN)時(shí)，與都存在，0，且存在 則：= 這種通過分子分母求導(dǎo)再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔(LHospital)法則 注：它是以前求極限的法則的補(bǔ)充，以前利用法則不好求的極限，可利用此法則求解。 注：羅彼塔法則只是說明：對未定式來說，當(dāng)存在，則存在且二者的極限相同；而并不是不存在時(shí)，也不存在，此時(shí)只是說明了羅彼塔法則存在的條件破列。曲線凹向的判定定理 定理一：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，它對應(yīng)曲線是向上凹(或向下凹)的充分必要條件是： 導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。 定理二：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；那末： 若

5、在(a,b)內(nèi)，0，則在a,b對應(yīng)的曲線是下凹的； 若在(a,b)內(nèi)，0，則在a,b對應(yīng)的曲線是上凹的；不定積分的概念 函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分， 記作。 由上面的定義我們可以知道：如果函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那末f(x)的不定積分就是函數(shù)族 F(x)+C. 即:=F(x)+C分部積分法 這種方法是利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則得來的。 設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).我們知道，兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式為： (uv)=uv+uv，移項(xiàng)，得 uv=(uv)-uv，對其兩邊求不定積分得： ， 這就是分部積分公式例題：求 解答：這個(gè)積分用換元法不易得

6、出結(jié)果，我們來利用分部積分法。 設(shè)u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部積分公式得： 關(guān)于分部積分法的問題 在使用分部積分法時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)倪x取u和dv，否則就會(huì)南轅北轍。選取u和dv一般要考慮兩點(diǎn)： (1)v要容易求得； (2)容易積出。有理函數(shù)的積分舉例 有理函數(shù)是指兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)，當(dāng)分子的最高項(xiàng)的次數(shù)大于分母最高項(xiàng)的次數(shù)時(shí)稱之為假分式， 反之為真分式。 我們有了定積分的概念了，那么函數(shù)f(x)滿足什么條件時(shí)才可積？ 定理（1）：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間a,b上可積。 （2）：設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(

7、x)在區(qū)間a,b上可積。定積分的性質(zhì) 性質(zhì)(1)：函數(shù)的和(差)得定積分等于它們的定積分的和(差）. 即： 性質(zhì)(2)：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面. 即： 性質(zhì)(3)：如果在區(qū)間a,b上，f(x)g(x)，則 （aa.如果極限 存在， 則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a,+）上的廣義積分， 記作：， 即：=. 此時(shí)也就是說廣義積分收斂。如果上述即先不存在，則說廣義積分發(fā)散，此時(shí)雖然用同樣的記號(hào)，但它已不表示數(shù)值了。 類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-，b上連續(xù)，取a0，如果極限 存在，則極限叫做函數(shù)f(x)在(a,b上的廣義積分， 仍然記作：. 即：=， 這時(shí)也說廣義積分收斂.如果上述極限不存在，就說廣義積分發(fā)散。