高中數(shù)學 第二單元 平面向量 2.3.3 向量數(shù)量積的坐標運算與度量公式學案 北師大版必修4

1、2.3.3向量數(shù)量積的坐標運算與度量公式學習目標1.理解兩個向量數(shù)量積坐標表示的推導過程，能運用數(shù)量積的坐標表示進行向量數(shù)量積的運算.2.能根據(jù)向量的坐標計算向量的模，并推導平面內兩點間的距離公式.3.能根據(jù)向量的坐標求向量的夾角及判定兩個向量垂直.知識點一平面向量數(shù)量積的坐標表示設e1，e2是兩個互相垂直且分別與x軸、y軸的正半軸同向的單位向量.思考1e1e1，e2e2，e1e2分別是多少？思考2取e1，e2為坐標平面內的一組基底，設a(a1，a2)，b(b1，b2)，試將a，b用e1，e2表示，并計算ab.梳理設a(a1，a2)，b(b1，b2)，則ab_.即兩個向量的數(shù)量積等于相應坐標乘

2、積的和.知識點二向量模的坐標表示及兩點間距離公式思考若a(a1，a2)，試將向量的模|a|用坐標表示.梳理(1)向量的長度公式：設a(a1，a2)，則|a|.(2)兩點間距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|_.知識點三兩個向量夾角余弦的坐標表達式思考設a，b都是非零向量，a(a1，a2)，b(b1，b2)，是a與b的夾角，那么cos 如何用坐標表示？梳理設a(a1，a2)，b(b1，b2)，a與b的夾角為，則(1)cos .(2)abab0a1b1a2b20.類型一平面向量數(shù)量積的坐標運算例1已知a與b同向，b(1,2)，ab10.(1)求a的坐標；(2)若c(2，1)，求a(

3、bc)及(ab)c.反思與感悟此類題目是有關向量數(shù)量積的坐標運算，靈活應用基本公式是前提，設向量一般有兩種方法：一是直接設坐標，二是利用共線或垂直的關系設向量，還可以驗證一般情況下(ab)ca(bc)，即向量運算結合律一般不成立.跟蹤訓練1向量a(1，1)，b(1,2)，則(2ab)a等于()A.1 B.0 C.1 D.2類型二向量的模、夾角問題例2在平面直角坐標系xOy中，O是原點(如圖).已知點A(16,12)，B(5,15).(1)求|，|；(2)求OAB.反思與感悟利用向量的數(shù)量積求兩向量夾角的一般步驟(1)利用向量的坐標求出這兩個向量的數(shù)量積.(2)利用|a|求兩向量的模.(3)代入

4、夾角公式求cos ，并根據(jù)的范圍確定的值.跟蹤訓練2已知a(1，1)，b(，1)，若a與b的夾角為鈍角，求的取值范圍.類型三向量垂直的坐標形式例3(1)已知a(3,2)，b(1,0)，若向量ab與a2b垂直，則實數(shù)的值為()A. B. C. D.(2)在ABC中，(2,3)，(1，k)，若ABC是直角三角形，求k的值.反思與感悟利用向量數(shù)量積的坐標表示解決垂直問題的實質是把垂直條件代數(shù)化，若在關于三角形的問題中，未明確哪個角是直角時，要分類討論.跟蹤訓練3在平面直角坐標系xOy中，已知A(1,4)，B(2,3)，C(2，1)，若(t)，則實數(shù)t_.1.已知a(3，1)，b(1，2)，則a與b的

5、夾角為()A. B.C. D.2.已知向量，則ABC等于()A.30 B.45 C.60 D.1203.已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，則等于()A.4 B.3 C.2 D.14.已知平面向量a，b，若a(4，3)，|b|1，且ab5，則向量b_.5.已知a(4,3)，b(1,2).(1)求a與b的夾角的余弦值；(2)若(ab)(2ab)，求實數(shù)的值.1.平面向量數(shù)量積的定義及其坐標表示，提供了數(shù)量積運算的兩種不同的途徑.準確地把握這兩種途徑，根據(jù)不同的條件選擇不同的途徑，可以優(yōu)化解題過程.同時，平面向量數(shù)量積的兩種形式溝通了“數(shù)”與“形”轉化的橋梁，成為解決距離、角度

6、、垂直等有關問題的有力工具.2.應用數(shù)量積運算可以解決兩向量的垂直、平行、夾角以及長度等幾何問題，在學習中要不斷地提高利用向量工具解決數(shù)學問題的能力.3.注意區(qū)分兩向量平行與垂直的坐標形式，二者不能混淆，可以對比學習、記憶.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.4.事實上應用平面向量的數(shù)量積公式解答某些平面向量問題時，向量夾角問題卻隱藏了許多陷阱與誤區(qū)，常常會出現(xiàn)因模糊“兩向量的夾角的概念”和忽視“兩向量夾角的范圍”，稍不注意就會帶來失誤與錯誤.答案精析問題導學知識點一思考1e1e111cos 01，e2e211cos 01，e1e20.思考2

7、aa1e1a2e2，bb1e1b2e2，ab(a1e1a2e2)(b1e1b2e2)a1b1e(a1b2a2b1)e1e2a2b2ea1b1a2b2.梳理a1b1a2b2知識點二思考a(a1，a2)，|a|2aa(a1，a2)(a1，a2)aa，|a|.梳理(2)知識點三思考cos .題型探究例1解(1)設ab(，2)(0)，則有ab410，2，a(2,4)(2)bc12210，ab10，a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10)跟蹤訓練1C例2解(1)由(16,12)，(516,1512)(21,3)，得|20，|15.(2)cos OABcos，.其中(16,12)(21,3)16(21)123300，故cos OAB.OAB45.跟蹤訓練2(，1)(1,1)例3(1)B(2)解(2,3)，(1，k)，(1，k3)若A90，則213k0，k；若B90，則2(1)3(k3)0，k；若C90，則1(1)k(k3)0，