多維隨機(jī)變量的特征數(shù)課件

1、,多媒體教學(xué)課件,Department of Mathematics,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),主講人：,2012年.,第四節(jié) 多維隨機(jī)變量的特征數(shù),一、多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,（1）若二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布列為,則Z=g(X,Y) 的數(shù)學(xué)期望為,（2）如果Z=g(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率 密度為f(x,y) ,則Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為,特別地，若取 g(X,Y)=X, 可以得到X的期望為,離散,連續(xù),例1 在長(zhǎng)度為a 的線段上任取兩個(gè)點(diǎn)X和Y,求這兩 點(diǎn)間的平均長(zhǎng)度。,解：因?yàn)閄、Y獨(dú)立，且都服從 U(0, a).,所以（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為,積分計(jì)算 須

2、分區(qū)域.,注意：直接代公式較麻煩，可以先求Y的分布.,二、數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì),線性,該方法稱為分解隨機(jī)變量法,求期望不需要獨(dú)立性,分析：直接寫(xiě)出X的分布非常困難，因?yàn)槊恳恢磺蚩赡芏啻伪幻?,考慮每一種顏色的球是否被摸到.,引入隨機(jī)變量如下：,例5 設(shè)一袋中裝有m只顏色各不相同的球，每次從中任取一只，有放回地摸取n次，以X表示在n次摸球中摸到球的不同顏色的數(shù)目，求E(X)。,例5 設(shè)一袋中裝有m只顏色各不相同的球，每次從中任取一只，有放回地摸取n次，以X表示在n次摸球中摸到球的不同顏色的數(shù)目，求E(X)。,例6.投硬幣n次,設(shè)X為出現(xiàn)正面后緊接反面的次數(shù)， 求 E(X) .,三、協(xié)方差,協(xié)方

3、差也稱為相關(guān)中心矩。,聯(lián)合分布中各分量間的關(guān)系,注意：,詳見(jiàn)協(xié)方差的性質(zhì),協(xié)方差的主要性質(zhì):,注：以上性質(zhì)可用定義及期望的性質(zhì)來(lái)證明.,反之不能成立！,補(bǔ)充說(shuō)明：,四、相關(guān)系數(shù),在表示隨機(jī)變量的關(guān)系時(shí)，為了消除量綱的影響，引入了相關(guān)系數(shù)的概念。,引理 施瓦茨不等式,證：,注：施瓦茨不等式表明相關(guān)系數(shù)的取值范圍是,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：,當(dāng)=0時(shí)，稱X,Y不相關(guān)；,當(dāng)=1時(shí)，稱X, Y幾乎處處有線性關(guān)系.,補(bǔ)充說(shuō)明,相關(guān)系數(shù)(X,Y)刻畫(huà)了隨機(jī)變量X、Y間線性相關(guān)的程度。=1時(shí)，表示X、Y幾乎處處具有線性關(guān)系；=0時(shí)，表示X、Y不具有線性關(guān)系，但可以具有其他（如曲線）關(guān)系。獨(dú)立性是指兩個(gè)隨機(jī)變量不具有

4、任何關(guān)系。對(duì)二元正態(tài)分布來(lái)說(shuō)，獨(dú)立性與不相關(guān)=0是等價(jià)的。 與協(xié)方差相比較，相關(guān)系數(shù)是一個(gè)不帶單位的系數(shù)，消除了量綱的影響，可以更準(zhǔn)確地反映隨機(jī)變量間的關(guān)系；同時(shí)，也方便不同類型隨機(jī)變量的比較。,注：協(xié)方差雖然很小，但相關(guān)系數(shù)卻比較大。所以協(xié)方差反映隨機(jī)變量的相關(guān)程度不是很準(zhǔn)確的。,例12 【投資風(fēng)險(xiǎn)組合】設(shè)有一筆資金,總量為1,如 今要投資甲、乙兩種證券。若將資金x1投入甲證券，余下資金x2=1-x1投入乙證券，于是就形成了一個(gè)投資組合。記X為投資甲證券的收益率，Y為投資乙證券的收益率，它們都是隨機(jī)變量。若已知X、Y的均值和方差分別是1 ，2 和12，22 ，X和Y的相關(guān)系數(shù)為。試求該投資組合的平均收益和風(fēng)險(xiǎn)，并求使風(fēng)險(xiǎn)最小的x1是多少？,解：因?yàn)樵摻M合的收益為,所以平均收益為,風(fēng)險(xiǎn)（方差）為,按照求函數(shù)極值的方法可求出,這時(shí)，該組合投資的風(fēng)險(xiǎn)最小。,五、隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望與協(xié)方差陣,對(duì)于多維隨機(jī)變量，我們以矩陣的形式給出其 數(shù)學(xué)期望和方差。,為隨機(jī)向量的方差協(xié)方差陣，簡(jiǎn)稱協(xié)方差陣，,協(xié)方差陣的重要性質(zhì),n維隨機(jī)向量的協(xié)方差陣,是一個(gè)對(duì)稱