探討定積分不等式的證明方法

1、.探討定積分不等式的證明方法摘要：文章針對(duì)被積函數(shù)的特性，給出了幾種關(guān)于定積分不等式的有效證明方法。關(guān)鍵詞：定積分 不等式 證法不等式的證明在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中很常見(jiàn)，但關(guān)于定積分不等式的證明卻一直是一個(gè)難點(diǎn)。要證明定積分不等式，首先要看被積函數(shù)，其性質(zhì)確定證明方法。本文根據(jù)被積函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性、可導(dǎo)性等分別給出幾種證法。1運(yùn)用定積分中值定理證明定積分中值定理是將定積分轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上某點(diǎn)的函數(shù)值與該區(qū)間長(zhǎng)度的乘積，即將定積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)來(lái)證明不等式。例1：設(shè)在0,1上連續(xù)且單調(diào)不增，證明0,1有證明：由原不等式變形得,即是要證：,對(duì)左式，在0,1上連續(xù)，故由定積分中值定理知：使 ,同

2、理對(duì)右式：使,顯然，12又f(x)在0,1上單調(diào)不增，(1)(2)故原不等式成立.定積分中值定理的運(yùn)用直觀易懂，它的條件也極其簡(jiǎn)單，易于掌握。2運(yùn)用輔助函數(shù)證明構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)證明不等式，首先是做函數(shù)將要證結(jié)論中的積分上限（下限）換成x，移項(xiàng)使不等式的一邊為零，另一邊的表達(dá)式即是輔助函數(shù)。然后再求F(x)，并運(yùn)用單調(diào)性及區(qū)間端點(diǎn)值特性證明不等式。例2：設(shè)在a，b上連續(xù),且0.試證：證明：構(gòu)造輔助函數(shù)（將b換成x），則 = =0，又，即單調(diào)不減，又，故該題構(gòu)造出積分上限函數(shù)，其目的是用單調(diào)性來(lái)證明不等式。這種方法開(kāi)門(mén)見(jiàn)山、直截了當(dāng)。3運(yùn)用定積分的性質(zhì)和幾何意義證明與定積分的概念相聯(lián)系“以直代

3、曲”的“近似代替”的思想，加上積分的幾何直觀使得不等式的證明變得更加簡(jiǎn)捷。例：證明不等式證明：因?yàn)闀r(shí)，兩端積分得： 例：設(shè)時(shí)，證明不等式證明：，根據(jù)定積分的幾何意義知：，即.本題關(guān)鍵在于深刻領(lǐng)悟定積分概念的由來(lái)，即求曲邊梯形的面積問(wèn)題推導(dǎo)的四個(gè)步驟：分割、取點(diǎn)、作和與求極限，這里充分運(yùn)用了“近似代替”的幾何直觀來(lái)加以證明。4運(yùn)用拉格朗日中值定理證明利用拉格朗日中值定理證明不等式，首先要構(gòu)造滿足中值定理?xiàng)l件的函數(shù)和區(qū)間，然后進(jìn)行不等式放縮，再用定積分比較定理、估值定理或函數(shù)的絕對(duì)值不等式等。例5：設(shè)在上可導(dǎo)，且，試證：.證明：由題設(shè)，在a，b上都滿足拉氏中值定理的條件，于是有：，兩邊在a，b上定

4、積分得：.此題運(yùn)用拉格朗日中值定理簡(jiǎn)直如行云流水，如果采用其他辦法顯然比較繁瑣。5運(yùn)用Taylor公式證明當(dāng)已知被積函數(shù)f(x)二階或二階以上可導(dǎo)且又知最高階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)時(shí)，通常采用泰勒展開(kāi)式來(lái)證明。首先要寫(xiě)出f(x)的泰勒展開(kāi)式，然后根據(jù)題意寫(xiě)出某些點(diǎn)的泰勒展開(kāi)式，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s以變成不等式，最后用定積分的性質(zhì)進(jìn)行處理。例6：設(shè)在上單調(diào)增加，且0，證明證明：先證左不等號(hào)：，單調(diào)增加，所以故 （1）再證右不等號(hào)：，在點(diǎn)x處的Taylor展式為：,其中在t與x之間，因0，所以，將分別代入上式并相加得：，將此式在上積分得：，有，故 （2）綜合（1）、（2），原不等式得證.Taylor公式的應(yīng)用在大

5、學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是一個(gè)絕對(duì)的難點(diǎn)，往往很難掌握。一個(gè)題目在你用其他方式很難解決時(shí)，Taylor公式常會(huì)給你意想不到的突破。6運(yùn)用柯西斯瓦茲不等式證明柯西斯瓦茲不等式：例7：設(shè)在0,1上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，試證：.證明：，又，所以，因 在0,1上可導(dǎo)，所以在0,1上連續(xù)，由柯西斯瓦茲不等式得：，即是.柯西斯瓦茲不等式是大學(xué)數(shù)學(xué)中的又一難點(diǎn)，雖然記憶起來(lái)并不困難，但應(yīng)用是靈活多變的。7運(yùn)用重積分證明重積分要化為定積分來(lái)計(jì)算，這是眾所周知的事實(shí)，但反之定積分的乘積往往又可以化為重積分，將定積分不等式的證明化為重積分不等式來(lái)證明，也是一種常見(jiàn)的方法。例8：設(shè)是在0，1上單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，試證：.證明：設(shè) = =（1）同樣 （2）（1）+（2）可得，由于在0，1上單調(diào)增加，故，從而即總的來(lái)說(shuō)，