導(dǎo)數(shù)證明不等式---泰勒公式來(lái)變形

1、導(dǎo)數(shù)證明不等式 泰勒公式來(lái)變形 閱讀提示：用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)熱點(diǎn)問(wèn)題，題型多，方法活，而其中很重要的一類(lèi)不等式是與泰勒公式及其變形有關(guān).本文以2018年全國(guó)卷文21題為例，探尋解題思想，發(fā)現(xiàn)試題背景.并通過(guò)引入?yún)?shù)，對(duì)試題變形，得到一系列變式問(wèn)題，真正達(dá)到舉一反三的目的.試題呈現(xiàn)例(2018年全國(guó)卷文21) 已知函數(shù)()設(shè)是的極值點(diǎn)，求，并求的單調(diào)區(qū)間；()證明：當(dāng)時(shí)，解法分析() 略()思路1：要證：當(dāng)時(shí)，需要證明：當(dāng)時(shí)，所以轉(zhuǎn)化為求的最小值.解法1：，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，,則在上存在唯一實(shí)數(shù)解，不妨設(shè)為，則，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，,又，兩邊取對(duì)數(shù)，得，

2、即，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，綜上，當(dāng)時(shí)，思路2：主參分離，不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化成一個(gè)新的不等式.解法2：設(shè)，則令，則，是減函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，又，所以，即.思路3：要證明：當(dāng)時(shí)，此時(shí)中含兩個(gè)變量，想法消掉一個(gè)變量，由條件利用不等式的傳遞性，可以把消掉，可得,這樣就變成單變量問(wèn)題.接下來(lái)證明即可.解法3：當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 所以是的最小值點(diǎn).故當(dāng)時(shí)，. 因此，當(dāng)時(shí)，. 思路4：由泰勒公式變形得到的不等式，結(jié)合不等式的傳遞性證明.解法4：接方法三， 證明即可，由泰勒公式的變形，可得.用代替可得：. 對(duì) 兩邊取然對(duì)數(shù)，可得， 用

3、代替，可得，即. 由 可得，故，因此，當(dāng)時(shí)，. 解法賞析：解法1是不等式證明的最基本的方法，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，但需要用隱零點(diǎn)的方法，即只設(shè)不解，整體代換.確定隱零點(diǎn)的區(qū)間是關(guān)鍵。解法2是利用不等式轉(zhuǎn)化法，主參分離等價(jià)轉(zhuǎn)成求函數(shù)的最大值問(wèn)題。解法3是通過(guò)放縮消元，把縮小成，即利用的不等式的傳遞性轉(zhuǎn)化成只含變量不等式證明題。這樣的放縮方法在不等式證明題中經(jīng)常使用，帶有一定的技巧性。方法4最精妙，常用的不等式，本質(zhì)上是泰勒公式的變形，通過(guò)不等式的傳遞性巧妙得證.本題的四種方法是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常用方法.試題背景：本題的背景是泰勒展開(kāi)式，對(duì)于函數(shù)在處的泰勒展開(kāi)式如下： 上式也叫的麥克勞林公式，從此

4、式出發(fā)，可以演繹出一些十分重要的不等式. 式等號(hào)右邊取兩項(xiàng)，則有 式兩邊取自然對(duì)數(shù)，得 式中用替換，得 式兩邊取自然對(duì)數(shù)，得 式中用 替換，得 結(jié)合式和式，得 對(duì) 式等號(hào)右邊取三項(xiàng)，四項(xiàng)，則有 上述不等式 到式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)引申變形變式1 設(shè)，若對(duì)于任意，恒成立，求參數(shù)的取值范圍. 答案： 變式2 設(shè)，若對(duì)于任意，恒成立，求參數(shù)的取值范圍. 答案： 變式3 設(shè)，若對(duì)于任意，恒成立，求參數(shù)的取值范圍. 答案： 變式4 設(shè)，若對(duì)于任意，恒成立，求參數(shù)的取值范圍. 答案： 變式5 設(shè)，若對(duì)于任意，恒成立，求參數(shù)的取值范圍. 答案： 變式6 設(shè)，若對(duì)于任意，恒成立，求參數(shù)的取值范圍. 答案： 變式

5、7 設(shè)函數(shù)證明：當(dāng)時(shí)，；證明：當(dāng)時(shí)，由，兩邊取倒數(shù)可得，從而，即，故當(dāng)時(shí)，變式8 已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值.解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，所以的最小值是 題后反思：數(shù)學(xué)家波利亞曾形象地說(shuō)：好問(wèn)題同某種蘑菇有些相像，它們成堆生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周?chē)艺?，很可能附近就有幾個(gè)。我們通過(guò)對(duì)泰勒公式的研究，得到的背景。對(duì)此不等式恒等變形及未知數(shù)用不同的表達(dá)式替換，又形成了一系列不等式，這是不等式中的寶貴財(cái)富。然后在不等式不同位置添加參數(shù)，又變式出8道數(shù)學(xué)題，真可謂碩果累累。練習(xí)：1.（2010年全國(guó)）設(shè)函數(shù)（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若時(shí)，求的取值范圍2.（2013年遼寧）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：3.【2016新課標(biāo)3文】設(shè)函數(shù)（）討論的單調(diào)性；（）證明當(dāng)時(shí)，；答案：1.（1）時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2），由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故，從而當(dāng)，即時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，.由可得，即.從而當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，.綜上可得的取值范圍為.2. 證明：要證時(shí),，只需證明.記,則，當(dāng)時(shí)，因此在上是增函數(shù)，故所以，要證時(shí),，只需證明記，則，