五年級奧數(shù)幾何專項十--勾股定理與弦圖(三)

1、專項十 勾股定理與弦圖（三）華盛頓的傍晚親愛的小朋友們：“在那山的那邊海的那邊的美國首都華盛頓，有一位中年人，他聰明又勤奮，他潛心探討，他反復(fù)思考與演算”，那是1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時美國俄亥俄州共和黨議員加菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁?，時而大聲爭論，時而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使，加菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。于是加菲爾德便問他們在干什么？那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三

2、角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”加菲爾德答道：“是5呀?！毙∧泻⒂謫柕溃骸叭绻麅蓷l直角邊分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”加菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方”小男孩說：“先生，你能說出其中的道理嗎？”加菲爾德一時語塞，無法解釋了，心里很不是滋味。加菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經(jīng)過反復(fù)思考與演算，終于弄清了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。 具體方法如下： 兩個全等的RtABC和RtBDE可以拼成直角梯形ACDE，則梯形面積等于三個直角三角形面積之和。即（ACDE）CD2ACBC2BDDE2AB

3、BE2（ab）22ab2ab2cc2化簡整理得a2b2c2點評：此種解法主要利用了三角形的面積公式：底高2，和梯形的面積公式：（上底+下底）高2而在我國對于勾股定理的證明又做出了那些貢獻(xiàn)哪？在我國古代，把直角三角形叫做勾股形。把直角三角形的較短直角邊稱為“勾”，較長直角邊為“股”，斜邊稱為“弦”，所以把這個定理稱為“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關(guān)系。即：在直角三角形中倆條直角邊的平方和等于斜邊的平方。公元前11世紀(jì)的周髀算經(jīng)中提到:故折矩,以為句廣三,股修四、徑修五既方之.外半卿一矩,環(huán)而共盤.得成三、四、五 三國時期的趙爽注解道:句股各自乘,并之為弦實,開方除之,即弦.案:弦

4、圖又可以句股相乘為朱實二,倍之為朱實四,以句股之差自相乘為中黃實,加差之,亦成弦實漢朝張蒼、狄昌壽整理的九章算術(shù)第九卷為句股.其中解釋到:短面曰句，長面曰股，相與結(jié)角曰弦.句短其股，股短其弦 句股各自乘，并，而開方除之，即弦。勾股定理的證明： （1）方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形： （2）方法二:將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形： （3）方法三：“總統(tǒng)”法.如圖所示將兩個直角三角形拼成直角梯形： 勾股定理:直角三角形中的兩直角邊平方后的和等于斜邊的平方注：勾最短的邊、股較長的直角邊、弦斜邊。勾股定理實際上包含兩方面的內(nèi)容：1. 如果一個三角形是直角三角形，那么兩條

5、直角邊的平方之和等于斜邊的平方； 如果一個三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么它一定是直角三角形勾股數(shù)：滿足a2 +b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)勾股數(shù)擴大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù)常用勾股數(shù)：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。弦圖：1.會用勾股定理解決簡單問題。2.會用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三角形3.勾股定理與弦圖的聯(lián)系與應(yīng)用【例1】如圖，以一個直角三角形的三邊為邊長分別向外作三個正方形，如果兩個較大正方形的面積分別是和，那么最小的正方形的面積為 【鞏固】如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊和長為7cm

6、,則正方形A，B，C，D的面積之和為_cm2。7cm【例2】已知，如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且A=90，求四邊形ABCD的面積。【例3】在B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東0方向以每小時8海里的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個角度以每小時15海里的速度前進(jìn)，2小時后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34海里，你知道乙船是沿哪個方向航行的嗎？【鞏固】如圖，某沿海開放城市A接到臺風(fēng)警報，在該市正南方向100km的B處有一臺風(fēng)中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=60km，那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點

7、？如果在距臺風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風(fēng)警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險？【例4】 從一個正方形的木板上鋸下寬0.5米的一個長方形木條以后，剩下的長方形的面積為5平方米，問鋸下的長方形木條的面積等于多少？【鞏固】 從一塊正方形玻璃上裁下寬為16分米的一長方形條后，剩下的那塊長方形的面積為336平方分米，原來正方形的面積是多少平方分米？【例5】如圖,P是正方形ABCD外面一點,船為12厘米.APB的面積是90平方厘米，ACPB的面積是48平方厘米請你回答:正方形ABCD的面積是多少平方厘米?【鞏固】有一個長方形，它的長是寬的4倍，對角線長34

8、cm。求這個長方形的面積。【例6】.如圖，EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接四邊形，四邊形EFGH的面積是94.5.已知EG=15,FH=13,求正方形ABCD的面積 【鞏固】如圖所示，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是ABCD各邊的中點，求陰影部分與四邊形PQRS的面積之比。 【例7】.如圖,一張長14厘米,寬11厘米的長方形紙片最多能裁出多少個長4厘米、寬1厘米的紙片?怎樣裁?請畫圖說明【鞏固】三個面積都是12的正方形放在一個長方形的盒子里面，如圖7-15，盒中空白部分的面積已經(jīng)標(biāo)出，求圖中大長方形的面積？【例8】.有5個長方形,它們的長和寬都是整數(shù),且5個長和5個寬恰好是110這10個

9、整數(shù)；現(xiàn)在用這5個長方形拼成1個大正方形,那么,大正方形面積的最小值為多少?【鞏固】已知兩數(shù)的和為3，兩數(shù)的積為1.25，求兩數(shù)？ 【例9】.如圖,A在線段BG上,ABCD和DEFG都是正方形,面積分別為7和11.求三角形CDE的面積的平方值? 【鞏固】(第8屆華羅庚金杯賽小學(xué)組第一試決賽試題第4題)如圖32-6(b),平面上CDEF是正方形,ABCD是等腰梯形,它的上底肋為23厘米,下底口C為35厘米.求三角形ADE的面積 【例10】園林小路,曲徑通幽.如圖32-7所示,小路由白色正方形石板和青、紅兩色的三角形石板鋪成.問：內(nèi)圈三角形石板的總面積大,還是外圈三角形的總面積大?請說明理由 【鞏

10、固】一個長方形若能分割成大小不一樣的小正方形，則稱它為完美長方形。下圖完美長方形可以分割成9個小正方形，其中小正方形A和B的邊長分別為5厘米和9厘米，那么大長方形的面積是多少平方厘米？1、四個完全一樣的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形（如圖）如果小正方形的面積是1平方米，大正方形的面積是5平方米，那么直角三角形中，最短的直角邊長度是 米。2、請問下圖正方形的面積是 平方厘米。3、如圖7-4，一個邊長為1米的正方形被分成4個小長方形，他們的面積分別是平方米、平方米、平方米和平方米。已知圖中的陰影部分是正方形，那么它的面積是多少平方米？根據(jù)直角三角形計算出三角形中第三邊的長度，在計算時可以

11、借助分解質(zhì)因數(shù)，或者根據(jù)三遍關(guān)系判斷是直角三角形；有直角的通過加輔助線構(gòu)造直角三角形；通過對弦圖進(jìn)行觀察分析得出構(gòu)成弦圖的直角三角形兩直角邊的關(guān)系，始終要有方程意識1、左下圖中有三個直角三角形。請問x= 厘米。 2、用同樣的長方形條磚，在一叢花的周圍鑲成一個正方形邊框，如右圖.邊框的周長為264厘米.里邊小正方形的面積為900平方厘米，問每塊長方形條磚的長和寬各是多少厘米？3如下圖所示，紅、黃、綠三塊大小一樣的正它們方形紙片，放在一個正方形盒內(nèi)，它們之間相互疊合，已知露在外面的部分中，紅色的面積是20，黃色的面積是14，綠色的面積是10，那么，正方形盒子的底面積是_ (2003年一零一培訓(xùn)學(xué)校期末考試題(2003年12月)第17題)4如圖:長方形的面積是小于100的整數(shù)，他的內(nèi)部由三個邊長是整數(shù)的正方形，正方形的邊長是長方形長的，正方形的邊長是長方形寬的