大一微積分期末試卷及答案

1、.微積分期末試卷選擇題（ 6）1.設 f ( x)2cosx , g (x)( 1 )sin x 在區(qū)間（ 0， ）內(nèi)（）。22 f ( x)是增函數(shù)， g ( x)是減函數(shù)Bf ( x)是減函數(shù)， g( x)是增函數(shù)C二者都是增函數(shù)D 二者都是減函數(shù)、 x時， 2x與相比是（）20ecosxsin x高階無窮小低階無窮小等價無窮小同階但不等價無價小1、 =是函數(shù) =（ -sinx) x的（）連續(xù)點可去間斷點跳躍間斷點無窮型間斷點、下列數(shù)列有極限并且極限為的選項為（）A X n(1)n1B X nsin nn2C X n1n(a1)D X ncos1an5、若 f ( x)在 X 0處取得最大

2、值，則必有（） f oBf o(X 0 )(X 0 )Cf 且f( X 0 )BC( )15 FFFFT三、計算題11 用洛必達法則求極限lim x2 ex2x 0111ex222x 3 )ex(lim ex2解：原式 = limlim2x 3x 0 1x 0x0x22 若 f ( x)(x310)4 , 求 f(0)解：f (x)4( x310)3 3x212x2 (x3 10)3f (x)24x(x310) 312x23 (x310)23x224x( x310)3108x4 ( x310) 2f (x)043 求極限 lim(cos x) x2x 02 / 6.4lim4 I n cosx

3、解：原式 =lim ex2 I ncos xx2ex 0x 01sin x)Q lim 4lim In cos x(tan xxIn cosxlimcosxlimlim2x 0 x2x 0x2x 0xx 0xx 0x4222原式e 25x1的導數(shù)4 求 y (3x 1)3x2解： In y5 In 3x11 In x11 In x2322y 15311111y33x 12x2 x25x1511y (3x1)3x23x12(x1)2(x2)5 tan3 xdx解：原式 =tan2 x tan xdx（sec2 x 1) tan xdx=sec2 x tan xdxtan xdx=tan xd t

4、an xsin x dxcos x=tan xd tan x1d cos xcos x12=tan xIn cosxc6 求x arctanxdx3 / 6.解：原式 = 1arctanxd( x2 )1 (x2 arctanx x2 d arctanx)2x22= 1( x2arctanx1121 x2dx)= 1x2arctanx(1121 x2 )dx=1x2arctanxxc22四、證明題。1、 證明方程 x3x10 有且僅有一正實根。證明：設f ( x)x3x1Qf (0)且f ( x)在0,1上連續(xù)1 0, f (1) 1 0,至少存在（0,1),使得 f ( ） 0即 f ( x

5、)在（01)，內(nèi)至少有一根，即 f ( x)0在（0，）內(nèi)至少有一實根假設f (x)在（ ，）有兩不同實根 x1, x2, x2x100Q f (x)在 x2 , x2 上連續(xù)，在（ x2 , x2）內(nèi)可導且 f ( x1 )f (x2 )0至少（x2 , x2）， s t f ( )0而 f ( ) 3 2 1 1與假設相矛盾方程 x3 x 1 0有且只有一個正實根2、 證明 arcsin xarccosx（ 1 x1）2證明：設 f (x)arcsin xarccosxf (x)110, x1,11x21 x2f (x)cf (0)arcsin0arccos02f (1)arcsin1ar

6、ccos12f ( 1)arcsin(1)arccos(1)2綜上所述， f ( x)arcsin xarccosx， x1,124 / 6.五、應用題1、 描繪下列函數(shù)的圖形yx21解： 1x,0)(0,+ ).Dy=(-2.y=2x-12x31x2x2令y 得x3 102y 22x3令y 0,得1x3.4.補充點 ( 2,7179).(2,).(1,2).(2, )2225 lim f (x),f ( x)有鉛直漸近線 x 0x 06 如圖所示：5 / 6.2. 討論函數(shù) f (x)x2Inx 2的單調(diào)區(qū)間并求極值解： Df (x) Rf (x)22( x1)(x 1)2x( x 0)xx令