工程力學(xué)(天津大學(xué))第10章答案;

1、習(xí)題習(xí)題 10 1 一工字型鋼梁，在跨中作用集中力 f，已知 l = 6m，f = 20kn，工字鋼的型號(hào)為 20a，求梁中 的最大正應(yīng)力。 解：梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中 kn.m30 max m 查表知 20a 工字鋼 3 cm237 z w 則 mpa 6 . 126pa10 6 . 126 10237 1030 6 6 3 max max z w m 10 2 一矩形截面簡支梁，受均布荷載作用，梁的長度為 l，截面高度為 h，寬度為 b，材料的彈性 模量為 e，試求梁下邊緣的總伸長。 解：梁的彎矩方程為 2 2 1 2 1 qxqlxxm 則曲率方程為 2 2 1 2 111 qxqlx

2、 eiei xm x zz 梁下邊緣的線應(yīng)變 2 2 1 2 1 2 2 qxqlx ei h x h x z 下邊緣伸長為 2 3 0 2 0 22 1 2 1 2ebh ql dxqxqlx ei h dxxl l z l 10 3 已知梁在外力作用下發(fā)生平面彎曲，當(dāng)截面為下列形狀時(shí)，試分別畫出正應(yīng)力沿橫截面高度 的分布規(guī)律。 解：各種截面梁橫截面上的正應(yīng)力都是沿高度線性分布的。中性軸側(cè)產(chǎn)生拉應(yīng)力，另一側(cè)產(chǎn)生壓應(yīng)力。 10 4 一對(duì)稱 t 形截面的外伸梁，梁上作用均布荷載，梁的尺寸如圖所示，已知 q l a b b h f l/2l/2 a b 第 十 章 梁的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算 2 l =

3、1.5m,q = 8kn/m，求梁中橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。 解： 1、設(shè)截面的形心到下邊緣距離為 y1 則有 cm33 . 7 41084 10410484 1 y 則形心到上邊緣距離 cm67 . 4 33 . 7 12 2 y 于是截面對(duì)中性軸的慣性距為 42 3 2 3 cm 0 . 86467 . 2 410 12 410 33 . 3 84 12 84 z i 2、作梁的彎矩圖 設(shè)最大正彎矩所在截面為 d，最大負(fù)彎矩所在截面為 e，則在 d 截面 mpa08.15pa1008.15 10 0 . 864 1033 . 7 10778 . 1 6 8 23 1maxt, y

4、 i m z d mpa61 . 9 pa1061 . 9 10 0 . 864 1067 . 4 10778 . 1 6 8 23 2maxc, y i m z d 在 e 截面上 mpa40 . 5 pa1040 . 5 10 0 . 864 1067. 4100 . 1 6 8 23 2maxt, y i m z e mpa48 . 8 pa1048 . 8 10 0 . 864 1033 . 7 100 . 1 6 8 23 1maxc, y i m z e 所以梁內(nèi)，mpa08.15 maxt, mpa61 . 9 maxc, 10 5 一矩形截面簡支梁，跨中作用集中力 f，已知 l

5、 = 4m，b = 120mm，h = 180mm，彎曲時(shí)材料 l/3 b c q a l 10cm 8cm 4cm 4cm 1.778kn.m 1.0kn.m 0.667m 第 十 章 梁的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算 3 的許用應(yīng)力=10mpa，求梁能承受的最大荷載 fmax。 解：梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中 4 max fl m 矩形截面梁 6 2 bh wz 則由 得 z w mmax max 64 2 bhfl 即 n6480 43 18 . 0 12 . 0 2 1010 3 2 2 6 2 l bh f 10 6 由兩個(gè) 28a 號(hào)槽鋼組成的簡支梁，如圖所示，已知該梁材料為 q235 鋼，其許用

6、彎曲正應(yīng)力 =170mpa，求梁的許可荷載f。 解：作彎矩圖 梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中 fm4 max 矩形截面梁 3 max max cm656.6802 z zz z w y i y i w 則由 得 z w mmax max z wf4 即 n28927 4 10656.68010170 4 66 z w f 10 7 圓形截面木梁，梁上荷載如圖所示，已知 l = 3m，f = 3kn，q = 3kn/m，彎曲時(shí)木材的許用應(yīng) f l/2l/2 a b b h f 2m ba f f 2m2m2m 3f3f 4f 第 十 章 梁的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算 4 力=10mpa，試選擇圓木的直徑 d。

7、解：作彎矩圖 則由 得 z w mmax max max m wz 即 ，得 6 33 1010 103 32 d 145mmm145 . 0 d 10 8 起重機(jī)連同配重等重 p = 50kn，行走于兩根工字鋼所組成的簡支梁上，如圖所示。起重機(jī)的 起重量 f = 10kn，梁材料的許用彎曲應(yīng)力 = 170mpa，試選擇工字鋼的型號(hào)。設(shè)全部荷載平均分配在兩 根梁上。 解：設(shè)起重機(jī)左輪距 a 端為 x，則有 ， 2 650 xmc80386 2 xxmd 從而確定出 ，kn.m 2 . 104 max c mkn.m 2 . 140 max d m 即梁內(nèi)出現(xiàn)的最大彎矩為kn.m 2 . 140

8、 則由 得 z w mmax max 34 6 3 max m1025 . 8 10170 10 2 . 140 m wz 又對(duì)于本題 max max 2 z zz z w y i y i w 所以 334 4 cm 5 . 412m10125 . 4 2 1025 . 8 2 z z w w a b p f 1m 4m 10m cd 1m q d f ll/3 a b c 3kn.m1.167m 2.042kn.m 第 十 章 梁的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算 5 查表選 25b 號(hào)工字鋼。 10 9 兩個(gè)矩形截面的簡支木梁，其跨度、荷載及截面面積都相同，一個(gè)是整體，另一個(gè)是由兩根 方木疊置而成，試分別計(jì)

9、算二梁中的最大正應(yīng)力。 解： 1、第一種情況 梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中 8 2 max ql m 矩形截面梁 3 2 6 32 abh wz 則 3 3 3 2 max max 16 3 28 3 a ql a ql w m z 2、第二種情況 梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中 16 2 max ql m 矩形截面梁 66 32 abh wz 則 3 3 3 2 max max 8 3 16 6 a ql a ql w m z 10 10 直徑 d = 0.6mm 的鋼絲繞在直徑 d = 600mm 的圓筒上，已知鋼絲的彈性模量 e = 2105mpa，試求鋼絲中的最大正應(yīng)力。 解： 由 得 z ei

10、 m 1 n.m1024115 . 4 103 . 03 . 0 64 106 . 0 102 3 3 124 11 z ei m 200mpapa10200 32 106 . 0 1024115 . 4 32 6 93 3 3max d m w m z 或 200mpapa10200 103 . 03 . 0 103 . 0102 6 3 311 max max ey q l ba aa 2a a a 第 十 章 梁的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算 6 10 11 一矩形截面簡支梁由圓柱形木料鋸成。已知 f = 5kn，a = 1.5m， = 10mpa。試確定彎曲截 面系數(shù)最大時(shí)矩形截面的高寬比 h:b，

11、以及梁所需木料的最小直徑 d。 解： 66 222 bdbbh wz 由 得 ，又 所以 時(shí) 取0 6 3 22 bd db dwz db 3 3 0 2 2 b db wd z db 3 3 z w 極大值，所以彎曲截面系數(shù)最大時(shí)，即 db 3 3 dh 3 6 1:2:bh 梁內(nèi)的最大彎矩 kn.m5 . 7 max fam 矩形截面梁 3 2 27 3 6 d bh wz 則由 得 z w mmax max max m wz 即 max 3 27 3m d 227mmm227 . 0 1010 105 . 73939 3 6 3 3 max m d 10 12 一鑄鐵梁如圖所示。已知材料

12、的拉伸強(qiáng)度極限 b= 150mpa，壓縮強(qiáng)度極限 bc= 630mpa，試 求梁的安全因數(shù)。 解： 1、設(shè)截面形心距離下邊緣為 y1 則有 mm33.53 21601040160 2120160102040160 1 y b h d a b a ff a 3a c d 1m0.5m1m a b d 16kn c 32kn 160 200 40 1010 第 十 章 梁的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算 7 則形心到上邊緣距離 mm67.14633.53200 2 y 于是截面對(duì)中性軸的慣性距為 42 3 2 3 mm 4 . 29013333267.6616010 12 16010 33.3340160 12

13、40160 z i 2、作梁的彎矩圖 c 截面 mpa057.22pa10057.22 10 4 . 29013333 1033.531012 6 12 33 1maxt, y i m z c mpa663.60pa10663.60 10 4 . 29013333 1067.1461012 6 12 33 2maxc, y i m z c b 截面上 mpa442.40pa10442.40 10 4 . 29013333 1067.146108 6 12 33 2maxt, y i m z b mpa705.14pa10705.14 10 4 . 29013333 1033.53108 6 1

14、2 33 1maxc, y i m z b 所以有 ， ，取安全系數(shù)為 3.709。709 . 3 442.40 150 t n tc 385.10 663.60 630 nn 10 13 一簡支工字型鋼梁，工字鋼的型號(hào)為 28a，梁上荷載如圖所示，已知 l = 6m，f1= 60kn，f2= 40kn，q = 8kn/m，鋼材的許用應(yīng)力 = 170mpa， = 100mpa，試校核梁的強(qiáng)度。 解：作內(nèi)力圖 q ab l/6 f1f2 l/62l/3 8kn.m 12kn.m 80.7kn 67.3kn 12.7kn 72.7kn 59.3kn 19.3kn 2.588m 76.7kn.m 6

15、3.3kn.m 86.8kn.m 第 十 章 梁的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算 8 則有 mpa 8 . 170pa10 8 . 170 1015.508 10 8 . 86 6 6 3 max max z w m 而 %5%47 . 0 170 170 8 . 170 max mpa56.38pa1056.38 0085. 01062.24 10 7 . 80 6 2 3 max,maxs, max bi sf z z 10 14 一簡支工字型鋼梁，梁上荷載如圖所示，已知 l = 6m，q = 6kn/m，f = 20kn，鋼材的許用應(yīng) 力 = 170mpa， = 100mpa，試選擇工字鋼的型號(hào)。 解：

16、作內(nèi)力圖 由 得 z w mmax max 334 6 3 max cm 3 . 335m10353 . 3 10170 1057 m wz 查表選 25a（考慮 5%誤差可以選則 22b） 。 對(duì)于所選型號(hào)，梁內(nèi)出現(xiàn)的最大切應(yīng)力為 q ab l/2 f l/2 28kn 10kn 57kn.m 10kn 28kn 第 十 章 梁的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算 9 mpa21.16pa1021.16 008 . 0 1058.21 1028 6 2 3 max,maxs, max bi sf z z （如為 22b，） mpa 8 . 15 max 所以工字鋼型號(hào)為 25a（或 22b） 。 10 15 由

17、工字鋼制成的簡支梁受力如圖所示。已知材料的許用彎曲應(yīng)力 = 170mpa，許用切應(yīng)力 = 100mpa。試選擇工字鋼型號(hào)。 解：作內(nèi)力圖 由 得 z w mmax max 334 6 3 max cm 6 . 488m10886 . 4 10170 1005625.83 m wz 查表選 28a 。 對(duì)于所選型號(hào)，梁內(nèi)出現(xiàn)的最大切應(yīng)力為 mpa06.54pa1006.54 0085 . 0 1062.24 10125.113 6 2 3 max,maxs, max bi sf z z 所以工字鋼型號(hào)為 28a。 10 16 外伸梁 ac 承受荷載如圖所示，me= 40kn.m，q = 20kn

18、/m。材料的許用應(yīng)力 = 170mpa， = 100mpa。試選擇工字鋼的型號(hào)。 q 2m1m1m a b c me 20kn/m ab 0.5m 80kn60kn 1m2.5m cd 113.125k n 1.85m 56.5625kn.m 76.875kn.m 83.05625kn.m 33.125kn 76.875kn 16.875kn 第 十 章 梁的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算 10 解：作內(nèi)力圖 由 得 z w mmax max 334 6 3 max cm 3 . 235m10353 . 2 10170 1040 m wz 查表選 20a 。 對(duì)于所選型號(hào)，梁內(nèi)出現(xiàn)的最大切應(yīng)力為 mpa22.

19、33pa1022.33 007 . 0 10 2 . 17 1040 6 2 3 max,maxs, max bi sf z z 所以工字鋼型號(hào)為 20a。 10 17 圖示簡支梁是由三塊截面為 40mm90mm 的木板膠合而成，已知 l = 3m，膠縫的許用切應(yīng)力 = 0.5mpa，試按膠縫的切應(yīng)力強(qiáng)度確定梁所能承受的最大荷載 f。 解： 梁內(nèi)的最大剪力值為 0.5f 則膠縫處的最大切應(yīng)力為 f f bi sf z z 73.61 109010 12 12090 104040905 . 0 312 3 9 * maxs, max 由 得 f 8100n。 max 10 18 圖示結(jié)構(gòu)中，ab

20、 梁與 cd 梁所用材料相同，二梁的高度與寬度分別為 h、b 和 h1和 b，已知 l = 3.6m，a = 1.3m，h = 150mm，h1= 100mm，b = 100mm，材料的許用應(yīng)力 = 10mpa， = 2.2mpa， 試求該結(jié)構(gòu)所能承受的最大荷載 fmax。 0.5l0.5l ba 90mm 40mm 40mm 40mm f 0.5l0.5la a ba dc h b b h1 f 40kn 40kn.m 第 十 章 梁的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算 11 解： 1、對(duì)于上梁 作內(nèi)力圖 由 得 ，即 z w mmax max z wm max z w fl 4 所以有 kn852 . 1 n

21、10852 . 1 6 . 3 6 1 . 01 . 0 10104 4 3 2 6 l w f z 又由 得 ，即 a f 2 3 maxs, max 3 2 maxs, a f 3 2 2 af 所以有 kn33.29n1033.29 3 1 . 01 . 0102 . 24 3 4 3 6 a f 2、對(duì)于下梁 作內(nèi)力圖 由 得 ，即 1 max max z w m 1maxz wm 1 2 z w fa 所以有 kn77 . 5 n1077 . 5 3 . 1 6 15 . 0 1 . 0 10102 2 3 2 6 1 a w f z 又由 得 ，即 1 maxs, max 2 3

22、a f 3 2 1 maxs, a f 3 2 2 1 af 所以有 kn 0 . 44n10 0 . 44 3 15 . 0 1 . 0102 . 24 3 4 3 6 1 a f f 2 1 f 2 1 fl 4 1 f 2 1 f 2 1 fa 2 1 第 十 章 梁的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算 12 綜上，取 kn852 . 1 f 10 19 圖示木梁受一可移動(dòng)的荷載 f = 40kn 作用。已知 = 10mpa， = 3mpa。木梁的橫截面為 矩形，其高寬比，試選擇梁的截面尺寸。 2 3 b h 解： 當(dāng)f位于跨中時(shí)，梁內(nèi)出現(xiàn)最大彎矩 kn10n1010 4 11040 4 3 3 max fl m 由 得 即 z w mmax max max m wz 從而有 33 6 3 max 32 m100 . 1 1010 1010 24 9 6 mbbh 138.7mmm1387 . 0 b 又當(dāng)f位于靠近左右支座時(shí)，梁內(nèi)出現(xiàn)最大剪力 kn20 2 maxs, f f 由 得 ，即 a f 2 3 maxs, max 2 3 maxs, f a 從而有 23 6 3 maxs,2 m1010 1032 10203