第4章理論力學(xué)習(xí)題解

1、4.1一質(zhì)點(diǎn)受一與距離成反比的引力作用在一直線上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，比例系數(shù)為k，如此質(zhì)點(diǎn)從距原點(diǎn)O為a的地方由靜止開始運(yùn)動(dòng)，求其到達(dá)O點(diǎn)所需的時(shí)間。解：質(zhì)點(diǎn)受引力為：，其運(yùn)動(dòng)微分方程為： （1）即： 分離變量積分： （2）（v與x反向，取負(fù)值） 令：，代入（2）式得； 分離變量積分：故到達(dá)O點(diǎn)所需的時(shí)間為： 4.2一質(zhì)點(diǎn)受力作用，求勢能與運(yùn)動(dòng)微分方程的解。解：適當(dāng)選取勢能零點(diǎn)，使，則機(jī)械能 常量 （1）將（1）改寫成 （2）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程： （3）（3）+（2）得 即 （4）（4）式通解：當(dāng)時(shí)， 解得，所以 4.3若質(zhì)點(diǎn)受有心力作用而在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則，式中為質(zhì)量，為速度矩。試證明之。解：

2、由， 代入比耐公式：4.4 質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下運(yùn)動(dòng)，此力的量值為質(zhì)點(diǎn)到力心距離r的函數(shù)，而質(zhì)點(diǎn)的速率則于此距離成反比，即，如果，求質(zhì)點(diǎn)的軌道方程。設(shè)當(dāng). 解：取平面極坐標(biāo)系，其速度為： ，代入上式得： 分離變量積分： 所以質(zhì)點(diǎn)的軌道方程為： 4.6 質(zhì)點(diǎn)所受的有心力如果為，其中都是常數(shù)，并且，則其軌道方程可寫成：試證明之。式中（A為積分常數(shù)）。證：由比耐公式： ，上式變?yōu)椋?令： ，上式變?yōu)椋?其解為： 極軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度，使得，則有：于是： 令：，則：令：，則有： 其中：（A為積分常數(shù)）4.7若行星突然在其軌道上某處停止運(yùn)動(dòng)（假定軌道為圓形），則它將被吸引至太陽，所需時(shí)間為原有周期的倍，試證明之。

3、證：設(shè)行星在半徑為的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)，由則原有周期： （1）行星運(yùn)動(dòng)微分方程為： 即： （2）分離變量積分： （3）令：，代入（3）式得； 積分： 即行星被吸引至太陽所需的時(shí)間為： （4）（4）和（1）相比得：4.8 試導(dǎo)出下面有心力量值的公式：。式中m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，r為質(zhì)點(diǎn)到力心的距離， p為力心到軌道切線的垂直距離。證：由動(dòng)能定理：4.9質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，受的有心力作用，為質(zhì)點(diǎn)對(duì)力心的位矢，為常數(shù)。試證明下列三定律： （1）繞力心運(yùn)行軌道是橢圓； （2）位矢在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等； （3）周期與橢圓形狀無關(guān)，只取決于和。解：（1）采用直角坐標(biāo)系，如圖。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為： （1） （2）（1）（2）式的通解為： 極軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度，使得，則： （3） （4）消去時(shí)間參數(shù)，得： 橢圓方程（2）質(zhì)點(diǎn)受有心力作用，故質(zhì)點(diǎn)對(duì)力心O的角動(dòng)量守恒，即（常數(shù)）在時(shí)間內(nèi)，位矢掃過的面積： （常數(shù)） （5）即位矢在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等（3）質(zhì)點(diǎn)初始角動(dòng)量：由(5)式得： 周期 4.10 如及為質(zhì)點(diǎn)在近日點(diǎn)及遠(yuǎn)日點(diǎn)