高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,第一節(jié) 微分中值定理,第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì),第三節(jié) 洛必達(dá)法則,第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì),一.函數(shù)的單調(diào)性,二.函數(shù)的極值,本節(jié)主要內(nèi)容:,三.函數(shù)的最值,四.曲線的凹凸性,五.曲線的漸近線,六.函數(shù)的分析作圖法,一、函數(shù)的單調(diào)性,定理3.2.1（函數(shù)單調(diào)性的判定法）設(shè)y=f(x)在a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則 （1)如果在(a,b)內(nèi)f (x)0 ，那么函數(shù)y=f(x)在a,b上單調(diào)增加； （2)如果在(a,b)內(nèi)f (x)0 ，那么函數(shù)y=f(x)在a,b上單調(diào)減少,（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,（2）證明不等式，通常是兩項不等式,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)來判斷函數(shù)的性質(zhì)，它包含兩個

2、典型的問題：,單調(diào)性的應(yīng)用,例1 討論函數(shù)y=x3的單調(diào)性.,y= x3的定義域為(-,+)；,y =3x2，當(dāng)x (- ,0)和 (0 ,+)時， y0,由函數(shù)圖像可知函數(shù)在(-,+)上是單調(diào)遞增的,當(dāng)x=0時， y=0,當(dāng)f(x)在某區(qū)間內(nèi)僅在個別點處的導(dǎo)數(shù)為0或不存在，而在其余各點處導(dǎo)數(shù)均為正（或負(fù)）時，f(x)在該區(qū)間仍是單增（或單減）的。,解,例2 討論函數(shù)f(x)=ex-x-1的單調(diào)性.,函數(shù)的定義域為(-,+)；,當(dāng)x0時， y0 ,函數(shù)在( 0,+ )上單調(diào)增加,當(dāng)x0時， y0,函數(shù)在(-, 0)上單調(diào)減少,當(dāng)x=0時， y=0；,y =ex-1，,x=0為單調(diào)區(qū)間的分界點,

3、解,當(dāng)f(x)在定義區(qū)間除去有限個點外導(dǎo)數(shù)均存在,那么只要用導(dǎo)數(shù)為零的點(駐點)和導(dǎo)數(shù)不存在的點來劃分f(x)的定義域，就能保證在各個部分區(qū)間上單調(diào)。（單調(diào)區(qū)間的分界點為駐點和不可導(dǎo)點）,當(dāng)x0時， y0 ,函數(shù)在( 0,+ )上單調(diào)增加,當(dāng)x0時， y0,函數(shù)在(-, 0)上單調(diào)減少,當(dāng)x=0時， y不存在.,函數(shù)的定義域為(-,+)；,x=0為單調(diào)區(qū)間的分界點,解,例3 討論函數(shù) 的單調(diào)性.,（1）確定f(x)的定義域； （2）求出函數(shù) 在考察范圍內(nèi)的全部駐點和不可導(dǎo)點（除指定范圍外，考察范圍一般是指函數(shù)定義域）； （3）用這些駐點和不可導(dǎo)點將考察范圍劃分成若干個子區(qū)間； （4）確定f (

4、x)在各部分區(qū)間的符號，據(jù)判定定理判定出f (x)的單調(diào)性,求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：,例4 求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+1的單調(diào)區(qū)間.,（2） f (x)= 3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) ，無不可導(dǎo)點,令f (x)=0 ，得 x1=-1,x2=3 ,（3）它們將定義域劃分為三個子區(qū)間： (-,-1) , (-1,3),(3, +)；,（1）函數(shù)的定義域為(-,+)；,(-,-1),-1,(-1,3),3,(3,+ ),+,0,-,0,+,駐點,駐點,所以(-,-1和3, +)是單調(diào)增區(qū)間， -1,3是單調(diào)減區(qū)間,解,令f (x)=0 ，得,x2=4/5 ,（3）將定義域分為三

5、個區(qū)間 (-,0),(0,4/5),(4/5, +)；,（1）函數(shù)的定義域為(-,+)；,(-,0),0,(0,4/5),4/5,(4/5,+ ),+,不存在,-,0,+,不可導(dǎo)點,駐點,所以(-,0和4/5, +)是單調(diào)增區(qū)間, 0,4/5是單調(diào)減區(qū)間,例5 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.,（2） ,不可導(dǎo)點為x1=0.,解,例6 證明：當(dāng)x0時，ex1+x ,f (x)= ex-1,所以x 0,+ ),有f(x)f(0)=0，即ex-1-x0,令f(x)=ex-1-x ，則f(x)在0,+ )上連續(xù)、可導(dǎo),且,當(dāng)x0時， y0 ,函數(shù)在0,+ )上單調(diào)增加,所以當(dāng)x0時， ex1+x,利用單調(diào)性證明

6、不等式,證明,又因為： f(0)=0，,所以：當(dāng)x0時， y0 ,函數(shù)在0,+ )上單調(diào)增加,所以x 0,+ ),有f(x)f(0)，即不等式成立.,例7 證明：,令,則,證明,o,x,y,y= (x),M,m,a,b,設(shè)函數(shù) y = (x)在(a b)內(nèi)圖形如下圖:,在1處的函數(shù)值f(1) 比它附近各點的函數(shù)值都要小;,而在2處的函數(shù)值f(2)比它附近各點的函數(shù)值都要大;,但它們又不是整個定義區(qū)間上的最小、最大值,為此,我們引入極值與極值點的概念.,二、函數(shù)的極值,定義3.2.1 設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某領(lǐng)域N(x0,)內(nèi)有定義， ，都有 （1）f(x)f(x0)成立，則稱f(x0)為函數(shù)f

7、(x)的極小值 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點,注： 1、極值是指函數(shù)值，而極值點是自變量的值； 2、函數(shù)的極值概念具有局部性；在小范圍內(nèi)比較，該點的函數(shù)值較大或較小，而不是在整個定義域上最大或最小，所以函數(shù)的極大值不一定比極小值大； 3、函數(shù)極值點必出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部，而不在區(qū)間的端點。,f(x)的極小值點:,f(x)的極大值點:,定理3.2.2（極值的必要條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)，且在點 x0處取得極值，那么函數(shù) f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)為零，即 f (x0) =0,極值的必要條件,1、可導(dǎo)函數(shù)的極值點必是它的駐點.,從而有幾何意義: 可導(dǎo)函數(shù)的圖

8、形在極值點處的切線是 與 x 軸平行的 (羅爾定理) .,2、對可導(dǎo)函數(shù)來說, 駐點不一定是極值點.,即曲線上有水平切線的地方, 函數(shù)不一定有極值. 如,o,x,y,則x =0 為 f (x) = x3 的駐點.,如圖：x =0 不是f (x) = x3 的極值點.,說明：,3、對于函數(shù)y = |x| , 我們已知 x = 0 是函數(shù)的連續(xù)不 可導(dǎo)點. 但x = 0是函數(shù)的極小值點. 如圖.,o,x,y=|x|,實際上, 連續(xù)不可導(dǎo)點也可能是極值點. 因而函數(shù)還可能在連續(xù)不可導(dǎo)點處取得極值.,定理3.2.3（極值的第一充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點x0某個空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)（ f (x0)可以不存在

9、），x為該鄰域內(nèi)任意一點， （1）當(dāng)x0 ，當(dāng)xx0時f (x)x0時f (x)0 ，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值； （3）當(dāng)xx0時f (x)的符號相同，則f(x0)不是函數(shù)f(x)的極值,極值的充分條件,(是極值點情形),(不是極值點情形),定理3.2.4（極值的第二充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處二階可導(dǎo)，且 f (x0)=0， f (x0) 0 ，則 （1）當(dāng)f (x0) 0時，函 f(x)在點x0 處取得極小值,注： 1、第一充分條件適用于駐點和不可導(dǎo)點，而第二充分條件只能對駐點判定； 2、當(dāng)f (x0) =0時，無法判定 f(x)在點x0處是否有極值,（1）確定函數(shù)f(x)

10、的考察范圍，（除指定范圍外，考察范圍一般是指函數(shù)定義域）；,（2）求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù) f (x)；求出函數(shù) f(x)的所有駐點及不可導(dǎo)點，即求出f (x)=0的根和 f (x)不存在的點；,（3）列表，利用第一充分條件或第二充分條件，判定上述駐點或不可導(dǎo)點是否為函數(shù)的極值點，并求出相應(yīng)的極值,求極值的方法：,例8 求函數(shù) 的極值,（3）列表,（1）函數(shù)的定義域為(-,+)；,(-,-2),0,(-2,-4/5),-4/5,(1,+ ),+,極大值 0,-,0,+,所以f(x)在x=0處取得極大值為0，在x=-4/5 處取得極小值為-8.4,（2） ,無不可導(dǎo)點,令f (x)=0 ，得,0,

11、極小值 -8.4,(-4/5，1),+,1,0,無極值,解,例9 求函數(shù) 的極值,令f (x)=0 ，得,（1）函數(shù)的定義域為(-,+)；,所以f(x)在x=-1處取得極大值為17，在x=3 處取得極小值為-47,（2） ,無不可導(dǎo)點,（3）,因為,解,定義3.2.2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，x1,x2I ， （1）若xI ，都有f(x)f(x1) 成立，則稱f(x1)為函數(shù) f(x)的最大值， x1為函數(shù)f(x)的最大值點； （2）若xI ，都有f(x)f(x2)成立，則稱f(x2)為函數(shù)f(x)的最小值，x2為函數(shù)f(x)的最小值點 函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值，使函數(shù)取得

12、最值的點稱為最值點,三、函數(shù)的最值,1. 最值是一個整體概念，在某一范圍內(nèi)，最值若存在，只能是唯一的；,2. 最值點可以是 I 內(nèi)部的點，也可以是端點；,3. 如果最值點不是I 的端點，那么它必定是極值點；極值點不一定是最值點,4. 當(dāng)函數(shù)存在唯一的極值點時，函數(shù)的極大（?。┲稻褪呛瘮?shù)的最大（?。┲?,說明：,（2）求出函數(shù) f (x)在內(nèi)的所有可能極值點：駐點及不可導(dǎo)點，即求出 f (x)=0的根和 f (x)不存在的點；,（3）計算函數(shù)f (x)在駐點、不可導(dǎo)點處及端點a，b處的函數(shù)值；,（4）比較這些函數(shù)值，其中最大者的即為函數(shù)的最大值，最小者的即為函數(shù)的最小值,（1）確定函數(shù)f(x)的

13、考察范圍（除指定范圍外，考察范圍一般是指函數(shù)定義域）；,求最值的方法（一）：,例10 求函數(shù) 在區(qū)間0,4 上的最值.,（3）計算得f(-1)=32,f(2)=5,又f(0)=25,f(4)=57,（1）考察區(qū)間為0,4 ；,所以f(x)在區(qū)間 0,4上的最大值是f(4)=57 ,最小值是 f(2)=5 ,（2） ,無不可導(dǎo)點,令f (x)=0 ，得,解,（1）當(dāng)f (x0) 是極大值時， f (x0) 就是區(qū)間I上的最大值；,（2）當(dāng)f (x0) 是極小值時， f (x0) 就是區(qū)間I上的最小值.,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，且只有唯一駐點x0，又x0是f(x)的極值點，則,（,）,（,）

14、,求最值的方法（二）：,xR,有,令 f (x)=0有唯一駐點,假設(shè),例11 證明：xR,有,又,所以函數(shù)f(x)在x=1/2 處取得極小值，即最小值,因而xR,有f(x)0即,證明,在實際問題中,往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定可導(dǎo)函數(shù)f(x) 必存在最大值(或最小值),而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取到.這時,如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有唯一駐點x0,那么,可以斷定f(x0)就是最大值(或最小值). (不必討論f(x0)是否為極值).,求最值的方法（三）：,例12 要做一個容積為V的有蓋圓柱形水桶，問半徑r與桶高h(yuǎn)如何確定，可使所用材料最?。?假設(shè)水桶表面積為S，則,容積,要使所用材料最省，就要使水

15、桶表面積最小,解,令S(r)=0,得唯一的駐點,此時h=2r0 ，所以當(dāng)半徑r為 ，桶高h(yuǎn)為 時，可使所用材料最省,(1)根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)；,(2)根據(jù)實際問題確定函數(shù)的定義域；,(3) 求出駐點；若定義域為開區(qū)間且駐點只有一個，則該駐點所對應(yīng)函數(shù)值就是所求. 如果駐點有多個，且函數(shù)既存在最大值也存在最小值，則需比較這幾個駐點處的函數(shù)值，其中最大值即為所求最大值，其中最小值即為所求最小值.,實際問題求最值,曲線的凹凸性是描述函數(shù)性狀的一個更深入的概念.,例如：,四、曲線的凹凸性,（1）,（2）,曲線(1)上任意兩點(x1,f(x1),(x2,f(x2)之間的弦上的點位于曲線相

16、應(yīng)點的下面，即曲線在弦之上；曲線(2)則相反，曲線在弦之下.,幾何解釋,定義3.2.3 設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù) 如果對(a,b)內(nèi)任意兩點x1 x2 恒有 那么稱f(x)在a,b上的圖形是凹的（記為“”）；如果恒有 那么稱f(x)在a,b上的圖形是凸的（記為“ ”）；,(1)觀察切線與曲線的位置關(guān)系.,(1) 凹曲線位于其任一點切線的上方；凸曲線位于其任一點切線的下方,(2)觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關(guān)系.,(2) 凹切線斜率單調(diào)遞增；凸切線斜率單調(diào)遞減,觀察與思考,定義3.2.4 曲線凹與凸的分界點稱為曲線的拐點,如果(x0, f(x0)是拐點且f (x0)存在, 問f (x0)

17、=？ 如何找可能的拐點？ 如何確定曲線yf(x)的拐點？,o,x,y,y= (x),a,A,B,b,c,C,討論,(1)在拐點(x0, f(x0)處f (x0)=0或f (x0)不存在. (2)只有f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0)才可能是拐點. (3) 如果在x0的左右兩側(cè)f (x)異號, 則(x0, f(x0)是拐點.,(2)拐點是曲線上的點, 從而拐點的坐標(biāo)需用橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時表示, 不能僅用橫坐標(biāo)表示. 這與駐點及極值點的表示方法不一樣.,(1)拐點一定是f (x)=0或不存在的點，但是f (x)=0或不存在的點不一定都是拐點.,結(jié)論,注意,定理3.2.5 設(shè)f(x)

18、在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù). 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凸的,曲線凹凸性判定定理,若曲線y=f(x)在點x0連續(xù)， f (x0)=0或不存在， f (x)在x0兩側(cè)異號，則點(x0, f(x0)是曲線的一個拐點,(1)確定函數(shù)的定義域； (2)在定義域內(nèi)求 f (x)=0的點和f (x)不存在的點； (3)用上述點劃分定義域，并列表判別函數(shù)的凹凸性,拐點的判定：,求曲線凹向區(qū)間和拐點的步驟：,f (x) 沒有為0的點，但是x=4時， f (x)不存在，,例13 討論曲線 的凹向區(qū)間與拐點,x,f (x),f (x),(-,4),4,(4 ,+),+,-,不存在,拐點(4,2),（1）函數(shù)的定義域為(-,+)；,解,定義3.2.5 若曲線L上的動點P沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點時,點P與一條定直線C的距離趨于零,則稱直線 C為曲線L的漸近線當(dāng)C垂直于x軸時,稱C為