精編(人教版)必修一數學：04《集合的基本關系及運算》知識講解 提高版(含答案).doc

1、集合的基本關系及運算【學習目標】1.理解集合之間包含與相等的含義，能識別一些給定集合的子集在具體情境中，了解空集和全集的含義2.理解兩個集合的交集和并集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集【要點梳理】要點一、集合之間的關系1.集合與集合之間的“包含”關系集合A是集合B的部分元素構成的集合，我們說集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集(subset).記作：，當集合A不包含于集合B時，記作AB，用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關系：要點詮釋：（1）“是的子集”

2、的含義是：的任何一個元素都是的元素，即由任意的，能推出（2）當不是的子集時，我們記作“(或)”，讀作：“不包含于”（或“不包含”）真子集：若集合，存在元素xB且，則稱集合A是集合B的真子集(proper subset).記作：AB(或BA)規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合與集合之間的“相等”關系，則A與B中的元素是一樣的，因此A=B要點詮釋：任何一個集合是它本身的子集，記作要點二、集合的運算1.并集一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：AB讀作：“A并B”，即：AB=x|xA，或xBVenn圖表示：要點詮釋：（1）“xA

3、，或xB”包含三種情況：“”；“”；“”（2）兩個集合求并集，結果還是一個集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合(重復元素只出現一次).2.交集一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：AB，讀作：“A交B”，即AB=x|xA，且xB；交集的Venn圖表示：要點詮釋：（1）并不是任何兩個集合都有公共元素，當集合A與B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是（2）概念中的“所有”兩字的含義是，不僅“AB中的任意元素都是A與B的公共元素”，同時“A與B的公共元素都屬于AB”（3）兩個集合求交集，結果還是一個集合，是由集合A與B的所有公共元素組成的集合.3.

4、補集全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U.補集：對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集(complementary set)，簡稱為集合A的補集，記作：補集的Venn圖表示：要點詮釋：（1）理解補集概念時，應注意補集是對給定的集合和相對而言的一個概念，一個確定的集合，對于不同的集合U，補集不同（2）全集是相對于研究的問題而言的，如我們只在整數范圍內研究問題，則為全集；而當問題擴展到實數集時，則為全集，這時就不是全集（3）表示U為全集時的補集，如果全集換成其他集合（如）時，則

5、記號中“U”也必須換成相應的集合（即）4.集合基本運算的一些結論若AB=A，則，反之也成立若AB=B，則，反之也成立若x(AB)，則xA且xB若x(AB)，則xA，或xB求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設條件，結合Venn圖或數軸進而用集合語言表達，增強數形結合的思想方法.【典型例題】類型一、集合間的關系例1. 集合，集合，那么間的關系是（ ）. A. B. C. = D.以上都不對 舉一反三：【變式1】若集合，則（ ）.A. B. C. = D. 例2. 寫出集合

6、a，b，c的所有不同的子集.舉一反三：【變式1】已知，則這樣的集合有 個.【變式2】同時滿足：；，則的非空集合有（ ）A. 16個 B. 15個 C. 7個 D. 6個例3集合A=x|y=x2+1，B=y|y=x2+1，C=(x,y)|y=x2+1，D=y=x2+1是否表示同一集合？舉一反三：【變式1】 設集合，則（ ）A. B. C. D. 【變式2】 設集合，則與的關系是（ ）A. B. C. D. 【變式3】 設M=x|x=a2+1，aN+，N=x|x=b2-4b+5，bN+，則M與N滿足( )A. M=N B. MN C. NM D. MN=例4已知若M=N，則= A200 B200

7、C100 D0舉一反三：【變式1】設a，bR，集合，則b-a=( )類型二、集合的運算例5. 設集合，求.舉一反三：【變式1】已知集合M=y|y=x2-4x+3，xR，N=y|y=-x2-2x+8，xR，則MN等于( )A. B. R C. -1，9 D. -1，9例6. 設集合M=3，a，N=x|x2-2xa.（1）若AB，求實數 a的取值范圍；（2）若ABA，求實數a的取值范圍；（3）若AB且ABA，求實數a的取值范圍舉一反三：【變式1】已知集合P=xx21,M=a.若PM=P,則a的取值范圍是（ ）A(-, -1 B1, +） C-1，1 D（-，-1 1，+）例9. 設集合.（1）若，

8、求的值；（2）若，求的值.舉一反三：【變式1】已知集合，若,求實數的取值范圍.【變式2】設全集，集合，若CuA，求實數的取值范圍.參考答案例1. 【答案】B【解析】先用列舉法表示集合、，再判斷它們之間的關系.由題意可知，集合是非負偶數集，即.集合中的元素.而（為正奇數時）表示0或正偶數，但不是表示所有的正偶數，即.由依次得0,2,6,12，即.綜上知，應選. 【總結升華】判斷兩個集合間的關系的關鍵在于：弄清兩個集合的元素的構成，也就是弄清楚集合是由哪些元素組成的.這就需要把較為抽象的集合具體化（如用列舉法來表示集合）、形象化（用Venn圖，或數形集合表示）.【變式1】【答案】C例2. 【解析】

9、不含任何元素子集為，只含1個元素的子集為a，b，c，含有2個元素的子集有a，b，a，c，b，c，含有3個元素的子集為a，b，c，即含有3個元素的集合共有23=8個不同的子集.如果集合增加第4個元素d，則以上8個子集仍是新集合的子集，再將第4個元素d放入這8個子集中，會得到新的8個子集，即含有4個元素的集合共有24=16個不同子集，由此可推測，含有n個元素的集合共有2n個不同的子集.【總結升華】要寫出一個集合的所有子集，我們可以按子集的元素個數的多少來分別寫出.當元素個數相同時，應依次將每個元素考慮完后，再寫剩下的子集.如本例中要寫出2個元素的子集時，先從a起，a與每個元素搭配有a，b，a，c，

10、然后不看a，再看b可與哪些元素搭配即可.同時還要注意兩個特殊的子集：和它本身.【變式1】【答案】7個【變式2】【答案】C 【解析】時，；時，；時，；時，；時，；非空集合可能是：，共7個.故選C.例3【答案】以上四個集合都不相同【解析】集合A=x|y=x2+1的代表元素為x，故集合A表示的是函數y=x2+1中自變量x的取值范圍，即函數的定義域A=；集合B=y|y=x2+1的代表元素為y，故集合B表示的是函數y=x2+1中函數值y的取值范圍，即函數的值域B=；集合C=(x,y)|y=x2+1的代表元素為點（x，y），故集合C表示的是拋物線y=x2+1上的所有點組成的集合；集合D=y=x2+1是用列

11、舉法表示的集合，該集合中只有一個元素：方程y=x2+1【總結升華】認清集合的屬性，是突破此類題的關鍵.首先應當弄清楚集合的表示方法，是列舉法還是描述法；其次對于用描述法表示的集合一定要認準代表元素，準確理解對代表元素的限制條件【變式1】 【答案】D【解析】排除法：集合M、N都是點集，因此只能是點集，而選項A表示二元數集合，選項B表示二元等式集合，選項C表示區(qū)間（無窮數集合）或單獨的一個點的坐標（不是集合），因此可以判斷選D【變式2】 【答案】A【解析】集合M表示函數的定義域，有；集合N表示函數的值域，有，故選A.【變式3】 【答案】B【解析】 當aN+時，元素x=a2+1，表示正整數的平方加1

12、對應的整數，而當bN+時，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然數的平方加1對應的整數，即M中元素都在N中，但N中至少有一個元素x=1不在M中，即MN，故選B.例4【思路點撥】解答本題應從集合元素的三大特征入手，本題應側重考慮集合中元素的互異性【答案】D【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由O0，|x|，y可知若x=0，則xy=0，即x與xy是相同元素，破壞了M中元素互異性，所以x0.若xy=0，則x=0或y=0，其中x=0以上討論不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破壞了N中元素的互異性，故xy0若，則x=y，M，N可寫為M=x，

13、x2，0，N=0，|x|，x由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上討論知不成立若|x|=1即x=1當x=1時，M中元素|x|與x相同，破壞了M中元素互異性，故 x1當x=-1時，M=-1，1，0，N=0，1，-1符合題意，綜上可知，x=y=-1=-2+2-2+2+2=0【總結升華】解答本題易忽視集合的元素具有的“互異性”這一特征，而找不到題目的突破口因此，集合元素的特征是分析解決某些集合問題的切入點【變式1】【答案】2【解析】由元素的三要素及兩集合相等的特征：當b=1時，a=-1，當時，b=a且a+b=0，a=b=0(舍)綜上：a=-1，

14、b=1，b-a=2.例5. 【答案】,【解析】先將集合、轉化為文字語言敘述，以便弄清楚它們的構成，再求其交集即可.集合表示3的倍數所組成的集合；集合表示除以3余1的整數所組成的集合；集合表示除以3余2的整數所組成的集合；集合表示除以6余1的整數所組成的集合；,.【總結升華】求兩個集合的交集或并集，關鍵在于弄清兩個集合由哪些元素所構成的，因而有時需要對集合進行轉化，或具體化、形象化.如本例中轉化為用自然語言來描述這些集合，有利于弄清集合的元素的構成.類似地，若一個集合元素的特征由不等式給出時，利用數軸就能使問題直觀形象起來.【變式1】【答案】D【解析】集合M、N均表示構成相關函數的因變量取值范圍

15、，故可知：M=y|y-1，N=y|y9，所以MN=y|-1y9，選D.例6. 【思路點撥】先把集合N化簡，然后再利用集合中元素的互異性解題【答案】D【解析】由N=x|x2-2x0，xZ可得：N=x|0x2，xZ=1，又由MN=1，可知1M，即a=1，故選D.【變式1】【答案】（1）x|x2或x=-1，2；（2）y|0y4，R；（3）-4，-3，0，1，2.【解析】（1）P=2，-1，MP=x|x2或x=-1，MP=2.（2）A=y|y0， B=y|y4， AB=y|0y4， AB=R.（3）AB=-3，-3B，則有：a-3=-3a=0， A=-3，0，1， B=-3，1，-1AB=-3，1，與

16、已知不符，a0；2a-1=-3a=-1， A=-3，1，0， B=-4，2，-3， 符合題設條件，AB=-4，-3，0，1，2.【總結升華】此例題既練習集合的運算，又考察了集合元素的互異性.其中（1）易錯點為求并集時，是否意識到要補上孤立點-1；而（2）中結合了二次函數的值域問題；（3）中根據集合元素的互異性，需要進行分類討論，當求出a的一個值時，又要檢驗是否符合題設條件.【變式2】【答案】2，3，6，18【解析】由AB=2，3，知元素2，3是A，B兩個集合中所有的公共元素，所以32，a2-2a，6，則必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1當a=3時，A=2，3，6，B

17、=2，18，3AB=2，3，62，18，3=2，3，6，18當a=-1時，A=2，3，6，B=2，2，-9這既不滿足條件AB=2，3，也不滿足B中元素具有互異性，故a=-1不合題意，應舍去.綜上AB=2，3，6，18例7.【思路點撥】CuA隱含了，對于，注意不要忘記的情形.【答案】 當時，CuA=；當時，CuA=；當時，CuA=.【解析】當時，方程無實數解.此時.CuA=當時，二次方程的兩個根，必須屬于.因為，所以只可能有下述情形：當時，此時 CuA=；當時，此時 CuA=.綜上所述，當時，CuA=；當時，CuA=；當時，CuA=.【總結升華】求集合的補集，只需在全集中剔除集合的元素后組成一個

18、集合即可.由于本題中集合的元素不確定，因此必須分類討論才行.【變式1】 【答案】1，3，5，8，2，3，5，6.【解析】全集U=1，2，3，4，5，6，7，8由A(CuB)=1，8知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)B=2，6，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)(CuB)=4，7，知不在A中且不在B中的元素有4，7，則元素3，5必在AB中.由集合的圖示可得A=1，3，5，8，B=2，3，5，6.例8【思路點撥】（1）畫數軸；（2）注意是否包含端點.【答案】（1）a4；（2）a-2；（3）-2aa，又AB，如圖，a4；(2)畫數軸同理可得：a-2；(3)畫數軸同理可得：如圖，-2a4.【總結升華】此問題從題面上看是集合的運算，但其本質是一個定區(qū)間，和一個動區(qū)間的問題.思路是，使動區(qū)間沿定區(qū)間滑動，數形結合解決問題.【變式1】 【答案】C 【解析】又 ， ， 故選C例9. 【思路點撥】明確、的含義，根據問題的需要，將其轉化為等價的關系式和，是解決本題的關鍵.同時，在包含關系式中，不要漏掉的情