相交線與平行線-培優(yōu)復(fù)習(xí)

1、 七年級(jí)數(shù)學(xué)：相交線與平行線 培優(yōu)復(fù)習(xí)例題精講例1如圖(1)，直線a與b平行，1(3x+70),2=(5x+22),求3的度數(shù)。解：ab，34（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）1+32+4180(平角的定義)12 (等式性質(zhì))則3x+705x+22解得x=24 即11423180-138 圖(1)評(píng)注：建立角度之間的關(guān)系，即建立方程（組），是幾何計(jì)算常用的方法。例2已知：如圖(2)， ABEFCD，EG平分BEF，B+BED+D =192，B-D=24，求GEF的度數(shù)。解：ABEFCD B=BEF，DEF=D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） B+BED+D =192（已知） 即B+BEF+DEF+D=192

2、2（B+D）=192（等量代換）則B+D=96（等式性質(zhì)）B-D=24（已知） 圖(2)B=60（等式性質(zhì)） 即BEF=60（等量代換） EG平分BEF（已知）GEF=BEF=30（角平分線定義）例3如圖（3），已知ABCD，且B=40，D=70，求DEB的度數(shù)。解：過(guò)E作EFABABCD（已知）EFCD（平行公理）BEF=B=40 DEF=D=70（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）DEB=DEF-BEF DEB =D-B=30 評(píng)注：證明或解有關(guān)直線平行的問(wèn)題時(shí)，如果不構(gòu)成“三線八角”，則應(yīng)添出輔助線。圖（3） 例4平面上n條直線兩兩相交且無(wú)3條或3條以上直線共點(diǎn)，有多少個(gè)不同交點(diǎn)？解：2條直線產(chǎn)生

3、1個(gè)交點(diǎn)，第3條直線與前面2條均相交，增加2個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)平面上3條直線共有1+2=3個(gè)交點(diǎn)；第4條直線與前面3條均相交，增加3個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)平面上4條直線共有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)；則n條直線共有交點(diǎn)個(gè)數(shù)：1+2+3+ (n-1)=n(n-1)評(píng)注：此題是平面上n條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的情形，需要仔細(xì)觀察，由簡(jiǎn)及繁，深入思考，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。例56個(gè)不同的點(diǎn)，其中只有3點(diǎn)在同一條直線上，2點(diǎn)確定一條直線，問(wèn)能確定多少條直線？解：6條不同的直線最多確定：5+4+3+2+1=15條直線，除去共線的3點(diǎn)中重合多算的2條直線，即能確定的直線為15-2=13條。另法：3點(diǎn)所在的直線外的3點(diǎn)間最多能確定3條直線，這

4、3點(diǎn)與直線上的3點(diǎn)最多有33=9條直線，加上3點(diǎn)所在的直線共有：3+9+1=13條評(píng)注：一般地，平面上n個(gè)點(diǎn)最多可確定直線的條數(shù)為：1+2+3+(n-1)=n(n-1)例610條直線兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區(qū)域？解：2條直線最多將平面分成2+2=4個(gè)不同區(qū)域；3條直線中的第3條直線與另兩條直線相交，最多有兩個(gè)交點(diǎn)，此直線被這兩點(diǎn)分成3段，每一段將它所在的區(qū)域一分為二，則區(qū)域增加3個(gè)，即最多分成2+2+3=7個(gè)不同區(qū)域；同理：4條直線最多分成2+2+3+4=11個(gè)不同區(qū)域； 10條直線最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56個(gè)不同區(qū)域推廣：n條直線兩兩相交，最多將平面分

5、成2+2+3+4+n=1+n(n+1)=(n2+n+2)塊不同的區(qū)域思考：平面內(nèi)n個(gè)圓兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區(qū)域？ 鞏固練習(xí)1平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中僅有3點(diǎn)在同一直線上，過(guò)每2點(diǎn)作一條直線，一共可以作直線（）條 A6B 7C8D92平面上三條直線相互間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A3B1或3C1或2或3D不一定是1，2，33平面上6條直線兩兩相交，其中僅有3條直線過(guò)一點(diǎn)，則截得不重疊線段共有（）A36條B33條C24條D21條4已知平面中有個(gè)點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)在一條直線上，四個(gè)點(diǎn)也在一條直線上，除些之外，再?zèng)]有三點(diǎn)共線或四點(diǎn)共線，以這個(gè)點(diǎn)作一條直線，那么一共可以畫出38條不同的直線，這時(shí)等于（ ） （A

6、）9 （B）10 （C）11 （D）125若平行直線AB、CD與相交直線EF、GH相交成如圖示的圖形，則共得同旁內(nèi)角（）A4對(duì)B8對(duì)C12對(duì)D16對(duì)6如圖，已知FDBE，則1+2-3=( )A90B135C150D180 第7題 7如圖，已知ABCD，1=2，則E與F的大小關(guān)系 ；8平面上有5個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)都連一條直線，問(wèn)除了原有的5點(diǎn)之外這些直線最多還有 交點(diǎn)9平面上3條直線最多可分平面為 個(gè)部分。10如圖，已知ABCDEF，PSGH于P，F(xiàn)RG=110，則PSQ 。11已知A、B是直線L外的兩點(diǎn)，則線段AB的垂直平分線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 。12平面內(nèi)有4條直線，無(wú)論其關(guān)系如何，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

7、不會(huì)超過(guò) 個(gè)。13已知：如圖，DECB ，求證：AED=A+B 第13題 14已知：如圖，ABCD，求證：B+D+F=E+G 第14題 15如圖，已知CBAB，CE平分BCD，DE平分CDA，EDC+ECD =90，求證：DAAB16平面上兩個(gè)圓三條直線，最多有多少不同的交點(diǎn)？17平面上5個(gè)圓兩兩相交，最多有多少個(gè)不同的交點(diǎn)？最多將平面分成多少塊區(qū)域？18一直線上5點(diǎn)與直線外3點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)確定一條直線，最多確定多少條不同直線？19平面上有8條直線兩兩相交，試證明在所有的交角中至少有一個(gè)角小于23。答案1 5個(gè)點(diǎn)中任取2點(diǎn)，可以作4+3+2+110條直線，在一直線上的3個(gè)點(diǎn)中任取2點(diǎn)，可作2+13

8、條，共可作10-3+18（條）故選C2平面上3條直線可能平行或重合。故選D3對(duì)于3條共點(diǎn)的直線，每條直線上有4個(gè)交點(diǎn)，截得3條不重疊的線段，3條直線共有9條不重疊的線段對(duì)于3條不共點(diǎn)的直線，每條直線上有5個(gè)交點(diǎn)，截得4條不重疊的線段，3條直線共有12條不重疊的線段。故共有21條不重疊的線段。故選D4由個(gè)點(diǎn)中每次選取兩個(gè)點(diǎn)連直線，可以畫出條直線，若三點(diǎn)不在一條直線上，可以畫出3條直線，若四點(diǎn)不在一條直線上，可以畫出6條直線， 整理得 n+90 選B。5直線EF、GH分別“截”平行直線AB、CD，各得2對(duì)同旁內(nèi)角，共4對(duì)；直線AB、CD分別“截”相交直線EF、GH，各得6對(duì)同旁內(nèi)角，共12對(duì)。因此

9、圖中共有同旁內(nèi)角4+616對(duì)6FDBE2=AGFAGC=1-31+2-3=AGC+AGF=180 選B7解：ABCD （已知） BAD=CDA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 1=2（已知）BAD+1=CDA+2（等式性質(zhì)） 即EAD=FDA AEFD EF8解：每?jī)牲c(diǎn)可確定一條直線，這5點(diǎn)最多可組成10條直線，又每?jī)蓷l直線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以共有交點(diǎn)個(gè)數(shù)為9+8+7+6+5+4+3+2+145（個(gè)）又因平面上這5個(gè)點(diǎn)與其余4個(gè)點(diǎn)均有4條連線，這四條直線共有3+2+16個(gè)交點(diǎn)與平面上這一點(diǎn)重合應(yīng)去掉，共應(yīng)去掉56=30個(gè)交點(diǎn)，所以有交點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)為45-3015個(gè)9可分7個(gè)部分10解 ABCDEFAPQ

10、DQG=FRG=110同理PSQ=APSPSQ=APQ-SPQ=DQG-SPQ=110-90=2011 0個(gè)、1個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè)1）若線段AB的垂直平分線就是L，則公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)是無(wú)數(shù)個(gè)；2）若ABL，但L不是AB的垂直平分線，則此時(shí)AB的垂直平分線與L是平行的關(guān)系，所以它們沒(méi)有公共點(diǎn)，即公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)；3）若AB與L不垂直，那么AB的垂直平分線與直線L一定相交，所以此時(shí)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)124條直線兩兩相交最多有1+2+36個(gè)交點(diǎn)13證明：過(guò)E作EFBA2=A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）DECB，EFBA 1=B（兩個(gè)角的兩邊分別平行，這兩個(gè)角相等） 1+2=B+A（等式性質(zhì)）即AED=A+B 1

11、4證明：分別過(guò)點(diǎn)E、F、G作AB的平行線EH、PF、GQ，則ABEHPFGQ（平行公理）ABEH ABEBEH（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）同理：HEFEFPPFGFGQQGDGDCABE+EFP+PFG+GDCBEH+HEF+FGQ+QGD（等式性質(zhì)）即B+D+EFG=BEF+GFD15證明：DE平分CDA CE平分BCDEDC=ADE ECD =BCE(角平分線定義)CDA +BCD=EDC+ADE+ECD+BCE=2（EDC+ECD）180DACB又CBABDAAB16兩個(gè)圓最多有兩個(gè)交點(diǎn)，每條直線與兩個(gè)圓最多有4個(gè)交點(diǎn)，三條直線最多有3個(gè)不同的交點(diǎn)，即最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：2+43+3=1717

12、（1）2個(gè)圓相交有交點(diǎn)211個(gè)，第3個(gè)圓與前兩個(gè)圓相交最多增加224個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)共有交點(diǎn)2+226個(gè)第4個(gè)圓與前3個(gè)圓相交最多增加236個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)共有交點(diǎn)2+22+2312個(gè)第5個(gè)圓與前4個(gè)圓相交最多增加248個(gè)交點(diǎn)5個(gè)圓兩兩相交最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：2+22+23+2420（2）2個(gè)圓相交將平面分成2個(gè)區(qū)域3個(gè)圓相看作第3個(gè)圓與前2個(gè)圓相交，最多有224個(gè)不同的交點(diǎn)，這4個(gè)點(diǎn)將第3個(gè)圓分成4段弧，每一段弧將它所在的區(qū)域一分為二，故增加224塊區(qū)域，這時(shí)平面共有區(qū)域：2+226塊4個(gè)圓相看作第4個(gè)圓與前3個(gè)圓相交，最多有236個(gè)不同的交點(diǎn)，這6個(gè)點(diǎn)將第4個(gè)圓分成6段弧，每一段弧將它所在的區(qū)域一分為

13、二，故增加236塊區(qū)域，這時(shí)平面共有區(qū)域：2+22+2312塊5個(gè)圓相看作第5個(gè)圓與前4個(gè)圓相交，最多有248個(gè)不同的交點(diǎn)，這8個(gè)點(diǎn)將第5個(gè)圓分成8段弧，每一段弧將它所在的區(qū)域一分為二，故增加248塊區(qū)域，這時(shí)平面最多共有區(qū)域：2+22+23+2420塊18 直線上每一點(diǎn)與直線外3點(diǎn)最多確定35=15條直線；直線外3點(diǎn)間最多能確定3 條直線， 最多能確定15+3+1=19條直線 19將這8條直線平移到共點(diǎn)后，構(gòu)成8對(duì)互不重疊的對(duì)頂角，這8個(gè)角的和為180假設(shè)這8個(gè)角沒(méi)有一個(gè)小于23,則這8個(gè)角的和至少為: 238=184,這是不可能的.因此這8個(gè)角中至少有一個(gè)小于23, 在所有的交角中至少有一個(gè)角小于2320平面上有10