協(xié)方差和相關系數.ppt

1、 5.3 協(xié)方差和相關系數,問題 對于二維隨機變量(X ,Y ):,已知聯(lián)合分布,邊緣分布,這說明對于二維隨機變量，除了每個隨機 變量各自的概率特性以外，相互之間可能還有 某種聯(lián)系. 問題是用一個什么樣的數去反映這 種聯(lián)系.,數,反映了隨機變量X ,Y 之間的某種關系,可以證明協(xié)方差矩陣為半正定矩陣,若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,稱,為X ,Y 的 相關系數，記為,事實上，, 利用函數的期望或方差計算協(xié)方差,若 ( X ,Y ) 為離散型，,若 ( X ,Y ) 為連續(xù)型，,求 cov (X ,Y ), XY,解,例2 設 ( X ,Y ) N ( 1, 12,2,22,), 求

2、XY,解,若 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, ),則X ,Y 相互獨立,X ,Y 不相關,例3 設 (0,2) , X = cos , Y = cos( + ), 是給定的常數，求 XY,解,若,若,有線性關系,若,不相關，,但,不獨立，,沒有線性關系，但有函數關系,例4 設 X ,Y 相互獨立，且都服從 N (0, 2), U = aX + bY , V= aX - bY , a,b 為常數，且都不為零，求UV,解,由,而,故,繼續(xù)討論：a , b 取何值時， U , V 不相關？ 此時， U , V 是否獨立？,但 U N ( 0, 2a2 2 ), V N ( 0,

3、 2a2 2 ),若 a = b，UV = 0, 則 U , V 不相關.,且U ,V 相互獨立,協(xié)方差的性質,當D(X ) 0, D(Y ) 0 時，當且僅當,時，等式成立,Cauchy-Schwarz不等式,證 5 令,對任何實數 t ,即,等號成立,有兩個相等的實零點,即,又顯然,即,即Y 與X 有線性關系的概率等于1，這種線性 關系為,完全類似地可以證明,當E(X 2) 0, E(Y 2 ) 0 時，當且僅當,時，等式成立,相關系數的性質,Cauchy-Schwarz不等式 的等號成立,即Y 與X 有線性關系的概率等于1， 這種線性關系為,若X , Y 是兩個隨機變量，用X 的線性函數

4、去 逼近 Y 所產生的平均平方誤差為,當取,平均平方誤差最小.,X , Y 不相關,X , Y 相互獨立,X , Y 不相關,若 X , Y 服從二維正態(tài)分布，,X , Y 相互獨立,X , Y 不相關,在例3中 設 (0,2) , X = cos , Y = cos( + ), 是給定的常數，求得,若,若,有線性關系,若,不相關，,沒有線性關系, 但有其他關系,例5 設 ( X ,Y ) N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ,解,例6 設隨機變量 X 的概率密度函數為,(1) E(| X |), D(| X |) (2) 求cov( X ,| X |), 問X 與| X |是否不相關. (3) 問X 與| X | 是否獨立？為什么？,解 (1),(2),X 與| X |不相關.,(3),顯然,因而 X 與| X | 不獨立,例7 設A ,B 為隨機試驗 E 的兩個事件， 0 P (A) 1, 0 P (B) 1, 令,證明：若 XY = 0, 則隨機變量 X ,Y 相互獨立.,證