初二數(shù)學(xué)-面積法解題

1、初二數(shù)學(xué)-面積法解題【本講教育信息】【講解內(nèi)容】怎樣證明面積問題以及用面積法解幾何問題 【教學(xué)目標(biāo)】 1. 使學(xué)生靈活掌握證明幾何圖形中的面積的方法。 2. 培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力?！?重點(diǎn)、難點(diǎn)】： 重點(diǎn)：證明面積問題的理論依據(jù)和方法技巧。 難點(diǎn)：靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)證明面積問題。 【教學(xué)過程】（一）證明面積問題常用的理論依據(jù) 1. 三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。 3. 平行四邊形的對(duì)角線把其分成兩個(gè)面積相等的部分。 4. 同底（等底）的兩個(gè)三角形面積的比等于高的比。 同高（或等高）的兩個(gè)三角形面積的比等于底的比。 5. 三

2、角形的面積等于等底等高的平行四邊形的面積的一半。 8. 有一個(gè)角相等或互補(bǔ)的兩個(gè)三角形的面積的比等于夾角的兩邊的乘積的比。（二）證明面積問題常用的證題思路和方法 1. 分解法：通常把一個(gè)復(fù)雜的圖形，分解成幾個(gè)三角形。 2. 作平行線法：通過平行線找出同高（或等高）的三角形。 3. 利用有關(guān)性質(zhì)法：比如利用中點(diǎn)、中位線等的性質(zhì)。 4. 還可以利用面積解決其它問題。【典型例題】（一）怎樣證明面積問題 1. 分解法 例1. 從ABC的各頂點(diǎn)作三條平行線AD、BE、CF，各與對(duì)邊或延長(zhǎng)線交于D、E、F，求證：DEF的面積2ABC的面積。 分析：從圖形上觀察，DEF可分為三部分，其中是ADE，它與ADB

3、同底等 三是AEF，只要再證出它與ABC的面積相等即可 由SCFESCFB 故可得出SAEFSABC 證明：AD/BE/CF ADB和ADE同底等高 SADBSADE 同理可證：SADCSADF SABCSADE+SADF 又SCEFSCBF SABCSAEF SAEF+SADE+SADF2SABC SDEF2SABC 2. 作平行線法 例2. 已知：在梯形ABCD中，DC/AB，M為腰BC上的中點(diǎn) 分析：由M為腰BC的中點(diǎn)可想到過M作底的平行線MN，則MN為其中位線，再利用平行線間的距離相等，設(shè)梯形的高為h 證明：過M作MN/AB M為腰BC的中點(diǎn) MN是梯形的中位線 設(shè)梯形的高為h （二）

4、用面積法解幾何問題 有些幾何問題，往往可以用面積法來(lái)解決，用面積法解幾何問題常用到下列性質(zhì)： 性質(zhì)1：等底等高的三角形面積相等 性質(zhì)2：同底等高的三角形面積相等 性質(zhì)3：三角形面積等于與它同底等高的平行四邊形面積的一半 性質(zhì)4：等高的兩個(gè)三角形的面積比等于底之比 性質(zhì)5：等底的兩個(gè)三角形的面積比等于高之比 1. 證線段之積相等 例3. 設(shè)AD、BE和CF是ABC的三條高，求證：ADBCBEACCFAB 分析：從結(jié)論可看出，AD、BE、CF分別是BC、AC、AB三邊上的高，故可聯(lián)想到可用面積法。 證明：AD、BE、CF是ABC的三條高 2. 證等積問題 例4. 過平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A引直線

5、，和BC、DC或其延長(zhǎng)線分別交于E、F，求證：SABFSADE 分析：因?yàn)锳B/DF，所以ABF與ABC是同底AB和等高的兩個(gè)三角形，所以這兩個(gè)三角形的面積相等。 證明：連結(jié)AC CF/AB 又CE/AD 3. 證線段之和 例5. 已知ABC中，ABAC，P為底邊BC上任一點(diǎn)，PEAB，PFAC，BHAC，求證：PE+PFBH 分析：已知有垂線，就可看作三角形的高，連結(jié)AP，則 故PE+PFBH 證明：連結(jié)AP，則 ABAC，PEAB，PFAC 又BHAC PE+PFBH 4. 證角平分線 例6. 在平行四邊形ABCD的兩邊AD、CD上各取一點(diǎn)F、E，使AECF，連AE、CF交于P，求證：BP

6、平分APC。 分析：要證BP平分APC，我們可以考慮，只要能證出B點(diǎn)到PA、PC的距離相等即可，也就是ABE和BFC的高相等即可，又由已知AEFC可聯(lián)想到三角形的面積，因此只要證出SABESBCF即可 由平行四邊形ABCD可得SABESABC，SBFCSABC 所以SABESBFC，因此問題便得解。 證明：連結(jié)AC、BE、BF 四邊形ABCD是平行四邊形 SABESABC SBFCSABC SABESBFC 又AECF 而ABE和BFC的底分別是AE、CF ABE和BFC的高也相等 即B到PA、PC的距離相等 B點(diǎn)在APC的平分線上 PB平分APC【模擬試題】（答題時(shí)間：25分鐘） 1. 在平

7、行四邊形ABCD中，E、F點(diǎn)分別為BC、CD的中點(diǎn)，連結(jié)AF、AE，求證：SABESADF 2. 在梯形ABCD中，DC/AB，M為腰BC上的中點(diǎn)，求證： 3. RtABC中，ACB90，a、b為兩直角邊，斜邊AB上的高為h，求證： 4. 已知：E、F為四邊形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn)，G、H為邊DC的三等分點(diǎn)，求證： 5. 在ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E在AC上，且，CD和BE交于G，求ABC和四邊形ADGE的面積比?！驹囶}答案】 1. 證明：連結(jié)AC，則 又E、F分別為BC、CD的中點(diǎn) 2. 證明：過M作MN/DC/AB M為腰BC上的中點(diǎn) DCM和ABM的高相等，設(shè)為h1 又DMN與AMN的高也為h1 MN為梯形的中位線 3. 證明：在RtABC中，ACB90，CDAB 兩邊同時(shí)除以得： 4. 證明：連結(jié)FD、FG、FC