概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用第二版課后答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答1第1章隨機變量及其概率1，寫出下列試驗的樣本空間（1）連續(xù)投擲一顆骰子直至6個結果中有一個結果出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。（2）連續(xù)投擲一顆骰子直至6個結果中有一個結果接連出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。（3）連續(xù)投擲一枚硬幣直至正面出現(xiàn)，觀察正反面出現(xiàn)的情況。（4）拋一枚硬幣，若出現(xiàn)H則再拋一次；若出現(xiàn)T，則再拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的各種結果。解（1）；（2）；（3）7,6543,S,42S；（4）。,TH6,54,1TTH2，設是兩個事件，已知，求BA,120,0,25ABPAP。,_BPP解，60，375APASB，87501_P506250_ABPABPBSB3，在100，101，999這900個3位數(shù)中，任取一個3位數(shù)，求不包含數(shù)字1個概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答2解在100，101，999這900個3位數(shù)中不包含數(shù)字1的3位數(shù)的個數(shù)為，所以所求得概率為648972094，在僅由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成且每個數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)中，任取一個三位數(shù)。（1）求該數(shù)是奇數(shù)的概率；（2）求該數(shù)大于330的概率。解僅由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成且每個數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)的個數(shù)有個。（1）該數(shù)是奇數(shù)的可能個數(shù)為0個，所以出現(xiàn)奇數(shù)的概率為8344810（2）該數(shù)大于330的可能個數(shù)為，所以該數(shù)大4852于330的概率為48015，袋中有5只白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。（1）4只中恰有2只白球，1只紅球，1只黑球。（2）4只中至少有2只紅球。（3）4只中沒有白球。解（1）所求概率為；384125C概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答3（2）所求概率為；1657492041283824C（3）所求概率為。657941276，一公司向個銷售點分發(fā)張?zhí)嶝泦?，設每張?zhí)嶝泦畏职l(fā)MMN給每一銷售點是等可能的，每一銷售點得到的提貨單不限，求其中某一特定的銷售點得到張?zhí)嶝泦蔚母怕?。K解根據(jù)題意，張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給個銷售點的總的可能分法N有種，某一特定的銷售點得到張?zhí)嶝泦蔚目赡芊址ㄓ蠳MNK種，所以某一特定的銷售點得到張?zhí)嶝泦蔚母怕蔏KNC1為。NKKMC17，將3只球（13號）隨機地放入3只盒子（13號）中，一只盒子裝一只球。若一只球裝入與球同號的盒子，稱為一個配對。（1）求3只球至少有1只配對的概率。（2）求沒有配對的概率。解根據(jù)題意，將3只球隨機地放入3只盒子的總的放法有36種123，132，213，231，312，321；沒有1只配對的放法有2種312，231。至少有1只配對的放法當然就有624種。所以（2）沒有配對的概率為；362（1）至少有1只配對的概率為。21概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答48，（1）設，求,10,3,50ABPAP,|,|B|（2）袋中有6只白球，5只紅球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到紅球不放回也不放入另外的球。連續(xù)取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率。解（1）由題意可得，所以70ABPBAP，310|BAP51|，75|BAP，1|BABP。|AP（2）設表示“第次取到白球”這一事件，而取到紅球4,321IAI可以用它的補來表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球可以表示為，它的概率為（根據(jù)乘法公式）4321A|321421314321APPAP。085982769，一只盒子裝有2只白球，2只紅球，在盒中取球兩次，每次任取一只，做不放回抽樣，已知得到的兩只球中至少有一只是紅球，求概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答5另一只也是紅球的概率。解設“得到的兩只球中至少有一只是紅球”記為事件，“另一只A也是紅球”記為事件。則事件的概率為BA（先紅后白，先白后紅，先紅后紅）653142AP所求概率為516|APB10，一醫(yī)生根據(jù)以往的資料得到下面的訊息，他的病人中有5的人以為自己患癌癥，且確實患癌癥；有45的人以為自己患癌癥，但實際上未患癌癥；有10的人以為自己未患癌癥，但確實患了癌癥；最后40的人以為自己未患癌癥，且確實未患癌癥。以表示事件A“一病人以為自己患癌癥”，以表示事件“病人確實患了癌癥”，B求下列概率。（1）；（2）；（3）；（4）；,BPA|A|AP|BP（5）。|解（1）根據(jù)題意可得；504BAPAP；15B（2）根據(jù)條件概率公式；105|AP（3）；2051|APB概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答6（4）；17954|BPA（5）。3|11，在11張卡片上分別寫上ENGINEERING這11個字母，從中任意連抽6張，求依次排列結果為GINGER的概率。解根據(jù)題意，這11個字母中共有2個G，2個I，3個N，3個E，1個R。從中任意連抽6張，由獨立性，第一次必須從這11張中抽出2個G中的任意一張來，概率為2/11；第二次必須從剩余的10張中抽出2個I中的任意一張來，概率為2/10；類似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率為；或者。92401361789310924016132AC12，據(jù)統(tǒng)計，對于某一種疾病的兩種癥狀癥狀A、癥狀B，有20的人只有癥狀A，有30的人只有癥狀B，有10的人兩種癥狀都有，其他的人兩種癥狀都沒有。在患這種病的人群中隨機地選一人，求（1）該人兩種癥狀都沒有的概率；（2）該人至少有一種癥狀的概率；（3）已知該人有癥狀B，求該人有兩種癥狀的概率。解（1）根據(jù)題意，有40的人兩種癥狀都沒有，所以該人兩種癥狀都沒有的概率為；4013021（2）至少有一種癥狀的概率為；6（3）已知該人有癥狀B，表明該人屬于由只有癥狀B的30人群概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答7或者兩種癥狀都有的10的人群，總的概率為301040，所以在已知該人有癥狀B的條件下該人有兩種癥狀的概率為。410313，一在線計算機系統(tǒng)，有4條輸入通訊線，其性質(zhì)如下表，求一隨機選擇的進入訊號無誤差地被接受的概率。通訊線通訊量的份額無誤差的訊息的份額10409998203099993010999740209996解設“訊號通過通訊線進入計算機系統(tǒng)”記為事件，I4,321IA“進入訊號被無誤差地接受”記為事件。則根據(jù)全概率公式有B960297019039804|41IIIABPBP09997814，一種用來檢驗50歲以上的人是否患有關節(jié)炎的檢驗法，對于確實患關節(jié)炎的病人有85的給出了正確的結果；而對于已知未患關節(jié)炎的人有4會認為他患關節(jié)炎。已知人群中有10的人患有關節(jié)炎，問一名被檢驗者經(jīng)檢驗，認為他沒有關節(jié)炎，而他卻有關節(jié)炎的概率。解設“一名被檢驗者經(jīng)檢驗認為患有關節(jié)炎”記為事件，“一名A被檢驗者確實患有關節(jié)炎”記為事件。根據(jù)全概率公式有B，124908510|APBPA概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答8所以，根據(jù)條件概率得到所要求的概率為0617218501|APBBAP即一名被檢驗者經(jīng)檢驗認為沒有關節(jié)炎而實際卻有關節(jié)炎的概率為170615，計算機中心有三臺打字機A,B,C，程序交與各打字機打字的概率依次為06,03,01，打字機發(fā)生故障的概率依次為001,005,004。已知一程序因打字機發(fā)生故障而被破壞了，求該程序是在A,B,C上打字的概率分別為多少解設“程序因打字機發(fā)生故障而被破壞”記為事件，“程序在MA,B,C三臺打字機上打字”分別記為事件。則根據(jù)全概率公321,N式有，02541053016|31IIINMPP根據(jù)BAYES公式，該程序是在A,B,C上打字的概率分別為，240516|111PN，3|222MNP。16054|333PN16，在通訊網(wǎng)絡中裝有密碼鑰匙，設全部收到的訊息中有95是可信的。又設全部不可信的訊息中只有01是使用密碼鑰匙傳送的，而全部可信訊息是使用密碼鑰匙傳送的。求由密碼鑰匙傳送的一訊概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答9息是可信訊息的概率。解設“一訊息是由密碼鑰匙傳送的”記為事件，“一訊息是可信A的”記為事件。根據(jù)BAYES公式，所要求的概率為B9471059|BAPPAP17，將一枚硬幣拋兩次，以A,B,C分別記事件“第一次得H”，“第二次得H”，“兩次得同一面”。試驗證A和B，B和C，C和A分別相互獨立（兩兩獨立），但A,B,C不是相互獨立。解根據(jù)題意，求出以下概率為，；21BPA2121CP，4，。C4AB所以有，。PABCPCPB即表明A和B，B和C，C和A兩兩獨立。但是B所以A,B,C不是相互獨立。18，設A,B,C三個運動員自離球門25碼處踢進球的概率依次為05,07,06，設A,B,C各在離球門25碼處踢一球，設各人進球與否相互獨立，求（1）恰有一人進球的概率；（2）恰有二人進球的概率；（3）至少有一人進球的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答10解設“A,B,C進球”分別記為事件。3,21IN（1）設恰有一人進球的概率為，則1P32321321PNNPP（由獨立性）321NP60354075403529（2）設恰有二人進球的概率為，則2P31321321NPNPP（由獨立性）3212NP603560754075（3）設至少有一人進球的概率為，則3P。1321NPP21NP40351919，有一危重病人，僅當在10分鐘之內(nèi)能有一供血者供給足量的ARH血才能得救。設化驗一位供血者的血型需要2分鐘，將所需的血全部輸入病人體內(nèi)需要2分鐘，醫(yī)院只有一套驗血型的設備，且供血者僅有40的人具有該型血，各人具有什么血型相互獨立。求病人能得救的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答111第20題5432解根據(jù)題意，醫(yī)院最多可以驗血型4次，也就是說最遲可以第4個人才驗出是ARH型血。問題轉化為最遲第4個人才驗出是ARH型血的概率是多少因為第一次就檢驗出該型血的概率為04；第二次才檢驗出該型血的概率為0604024；第三次才檢驗出該型血的概率為062040144；第四次才檢驗出該型血的概率為0630400864；所以病人得救的概率為040240144008640870420，一元件（或系統(tǒng)）能正常工作的概率稱為元件（或系統(tǒng)）的可靠性。如圖設有5個獨立工作的元件1，2，3，4，5按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式連接，設元件的可靠性均為，試求系統(tǒng)的可靠性。P解設“元件能夠正常工作”記為事件。I,IA那么系統(tǒng)的可靠性為5432154321PAPAP3215421A54214321AP54321543PAPAP53322PPP54概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答1221，用一種檢驗法檢測產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下。若真含有雜質(zhì)檢驗結果為含有的概率為08；若真不含有雜質(zhì)檢驗結果為不含有的概率為09，據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為04，06。今獨立地對一產(chǎn)品進行了3次檢驗，結果是2次檢驗認為含有雜質(zhì)，而一次檢驗認為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率。（注本題較難，靈活應用全概率公式和BAYES公式）解設“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)”記為事件，“對一產(chǎn)品進行3次檢驗，A結果是2次檢驗認為含有雜質(zhì)，而1次檢驗認為不含有雜質(zhì)”記為事件。則要求的概率為，根據(jù)BAYES公式可得B|BP|AAP又設“產(chǎn)品被檢出含有雜質(zhì)”記為事件，根據(jù)題意有，C40AP而且，所以80|C90|；3841|23ABP27901|223ABP故，9046185302763840|ABPAP（第1章習題解答完畢）第2章隨機變量及其分布1，設在某一人群中有40的人血型是A型，現(xiàn)在在人群中隨機地選人來驗血，直至發(fā)現(xiàn)血型是A型的人為止，以Y記進行驗血的次數(shù)，求Y的分布律。解顯然，Y是一個離散型的隨機變量，Y取表明第個人是A型血而前個人都不是A型血，K1K因此有，（）1160404KKKP,32上式就是隨機變量Y的分布律（這是一個幾何分布）。概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答132，水自A處流至B處有3個閥門1，2，3，閥門聯(lián)接方式如圖所示。當信號發(fā)出時各閥門以08的概率打開，以X表示當信號發(fā)出時水自A流至B的通路條數(shù)，求X的分布律。設各閥門的工作相互獨立。解X只能取值0，1，2。設以記第個閥門沒有打開這一事件。則,II31213APP32131221121APPAA，0780832類似有，508321321PXP,綜上所述，可得分布律為461XX012KP0072051204163,據(jù)信有20的美國人沒有任何健康保險，現(xiàn)任意抽查15個美國人，以X表示15個人中無任何健康保險的人數(shù)（設各人是否有健康保險相互獨立）。問X服從什么分布寫出分布律。并求下列情況下無任何健康保險的概率（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。解根據(jù)題意，隨機變量X服從二項分布B15,02，分布律為。5,10,801515KCKPKK（1）2203315（2）；39XPX（3）；61290P（4）4515XP061XP4，設有一由個元件組成的系統(tǒng)，記為，這一系統(tǒng)的運行方式是當且僅當個元件中至少有N/GNKN個元件正常工作時，系統(tǒng)正常工作?，F(xiàn)有一系統(tǒng)，它由相互獨立的元件組成，K05/3設每個元件的可靠性均為09，求這一系統(tǒng)的可靠性。AB213概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答14解對于系統(tǒng)，當至少有3個元件正常工作時，系統(tǒng)正常工作。而系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)5/3G服從二項分布B5,09，所以系統(tǒng)正常工作的概率為X91409053553KKKKCXP5，某生產(chǎn)線生產(chǎn)玻璃制品，生產(chǎn)過程中玻璃制品常出現(xiàn)氣泡，以至產(chǎn)品成為次品，設次品率為0001，現(xiàn)取8000件產(chǎn)品，用泊松近似，求其中次品數(shù)小于7的概率。（設各產(chǎn)品是否為次品相互獨立）解根據(jù)題意，次品數(shù)X服從二項分布B8000,0001，所以60808917KKKCP（查表得）。3148608600KKEE6，（1）設一天內(nèi)到達某港口城市的油船的只數(shù)X，求5XP（2）已知隨機變量X，且有，求。50XP2解（1）；487913115XP（2）根據(jù)，得到。所以0ELN。153402/50XP7，一電話公司有5名訊息員，各人在T分鐘內(nèi)收到訊息的次數(shù)（設各人收到訊息與否相互TX獨立）。（1）求在一給定的一分鐘內(nèi)第一個訊息員未收到訊息的概率。（2）求在給定的一分鐘內(nèi)5個訊息員恰有4人未收到訊息的概率。（3）寫出在一給定的一分鐘內(nèi)，所有5個訊息員收到相同次數(shù)的訊息的概率。解在給定的一分鐘內(nèi)，任意一個訊息員收到訊息的次數(shù)。（1）；13502EXP（2）設在給定的一分鐘內(nèi)5個訊息員中沒有收到訊息的訊息員人數(shù)用Y表示，則YB5,01353，所以。01451350444CY（3）每個人收到的訊息次數(shù)相同的概率為0510052KKEE概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答158，一教授當下課鈴打響時，他還不結束講解。他常結束他的講解在鈴響后的一分鐘以內(nèi)，以X表示鈴響至結束講解的時間。設X的概率密度為，（1）確定；（2）求他其02XKXFK；（3）求；（4）求。1P1P3XP解（1）根據(jù)，得到；02KDXXF（2）；7133/102XP（3）；64432/14/DX（4）。2719313/2XP9，設隨機變量X的概率密度為，求T的方程他其002XXF有實根的概率。0452TT解方程有實根表明，即，T04542X0452X從而要求或者。因為X1，01302DXP9361042DXP所以方程有實根的概率為00010936093710，設產(chǎn)品的壽命X（以周計）服從瑞利分布，其概率密度為他其0012/XEXF（1）求壽命不到一周的概率；（2）求壽命超過一年的概率；（3）已知它的壽命超過20周，求壽命超過26周的條件概率。解（1）；04981102/20/EDXEXP概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答16（2）；0110522/70420/EDXEXP（3）。2518010266/27620/2EDXEXPX11，設實驗室的溫度X（以計）為隨機變量，其概率密度為C他其2104912XXXF（1）某種化學反應在溫度X1時才能發(fā)生，求在實驗室中這種化學反應發(fā)生的概率。（2）在10個不同的實驗室中，各實驗室中這種化學反應是否會發(fā)生時相互獨立的，以Y表示10個實驗室中有這種化學反應的實驗室的個數(shù)，求Y的分布律。（3）求，。2YP解（1）；127549DXX（2）根據(jù)題意，所以其分布律為75,0BY10,2,271010KCKPKK（3），98275810Y。5701YPP12，（1）設隨機變量Y的概率密度為他其102YCYF試確定常數(shù)C，求分布函數(shù)，并求，。F5YP0|5YP（2）設隨機變量X的概率密度為概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答17他其4208/1XXF求分布函數(shù)，并求，。XF31P3|1X解（1）根據(jù)，得到。2402001CDYDYYF211012102011YYDDYYYFF1012602YY；250405550FYPYP71611101|（2）42081820420XXDXDDXFFXX42016/8X；6/7/931FXP。9/311|FXPX13，在集合A1,2,3,N中取數(shù)兩次，每次任取一數(shù)，作不放回抽樣，以X表示第一次取到的數(shù)，以Y表示第二次取到的數(shù)，求X和Y的聯(lián)合分布律。并用表格形式寫出當N3時X和Y的聯(lián)合分布律。概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答18YY解根據(jù)題意，取兩次且不放回抽樣的總可能數(shù)為NN1，因此，（，且）1,NJYIXPJINJI,1當N取3時，,（，且）,表格形式為6,JIJI3JIX123101/61/621/601/631/61/6014,設一加油站有兩套用來加油的設備，設備A是加油站的工作人員操作的，設備B是有顧客自己操作的。A，B均有兩個加油管。隨機取一時刻，A，B正在使用的軟管根數(shù)分別記為X，Y，它們的聯(lián)合分布律為X012001000800610040200142002006030（1）求，；,YXP1,YXP（2）求至少有一根軟管在使用的概率；（3）求，。2解（1）由表直接可得02，1,Y0100800402042,1XP（2）至少有一根軟管在使用的概率為9010,YXPY（3）010203062YXP80,2,02XP15,設隨機變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為他其，0,0,42YXCEYXFYX試確定常數(shù)，并求，。XPY1XP解根據(jù)，可得1,0,YXDXYF概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答19，8,104020420,CDYEXCDYEDXYXFXY所以。8C；4042042228,EYXEYEXYXFXPX3212,04040042DXDDDFYXYXYXYX2104102104218,EEEXYFXPXYXYYX。16，設隨機變量（X，Y）在由曲線所圍成的區(qū)域均勻分布。1,2/,2XYXG（1）求（X，Y）的概率密度；（2）求邊緣概率密度。,FYX解（1）根據(jù)題意，（X，Y）的概率密度必定是一常數(shù)，故由,YX，得到。,61,22/10FDFXDYXFG他其，0,6,GYXYXF（2）；他其，,03,22/XYFFXX他其，他其，0151602056,1YYYDXYXFFYYY18，設是兩個隨機變量，它們的聯(lián)合概率密度為YX,，他其，0,02,13YXEXYFY概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答20（1）求關于的邊緣概率密度；,YXXFX（2）求條件概率密度，寫出當時的條件概率密度；|YFXY50（3）求條件概率。|1P解（1）。其他,00,22,13XEDYEXDYXFFX（2）當時，0X。其他,0,|YXEFYXYFXXY特別地，當時5。其他,05|YEXYFXY（3）。501501|0|1EDYDXFPXY19，（1）在第14題中求在的條件下的條件分布律；在的條件下的條件分布律。YX（2）在16題中求條件概率密度，。|XYFXY|YFYX50|XFX解（1）根據(jù)公式，得到在的條件下的條件分布0,0|PIIPY律為Y012|X5/121/31/4類似地，在的條件下的條件分布律為1Y0121|YP4/1710/173/17（2）因為。他其，0,6,GYXYXF；。他其，,01322/2DFXX他其，0151602YYYFY概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答21所以，當時，；10X其他,02/,|22|XYXXFYYFXXY當時，；5Y其他,021,|YXYYFXFYYX當時，；10Y其他,11,|XYFXFYYX當時，。5Y其他,051|XYXFYX20，設隨機變量（X，Y）在由曲線所圍成的區(qū)域均勻分布。XY,2G（1）寫出（X，Y）的概率密度；（2）求邊緣概率密度；,FXYX（3）求條件概率密度，并寫出當時的條件概率密度。|Y50X解（1）根據(jù)題意，（X，Y）的概率密度必定是一常數(shù)，故由,YF，得到。,31,210XFDXFDXYFG他其，0,3,GYXYXF（2）；他其，,10,22YFFXX。他其，他其，0103013,22YYYDXYXFFYY（3）當時，。10X其他,01,|2|XYXXFYYFXXY概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答22特別地，當時的條件概率密度為50X。其他,02/4/12|YYFXY21，設是二維隨機變量，的概率密度為,他其，,0262XXFX且當時的條件概率密度為20XXY，其他,012/1|YXYFXY（1）求聯(lián)合概率密度；,X（2）求關于的邊緣概率密度；Y（3）求在的條件下的條件概率密度。Y|YXFYX解（1）；他其10,2031|,|XYFXFXY（2）；其他01,2YDDXYFFY（3）當時，。10Y其他,0212,|XYYFXFYYX22，（1）設一離散型隨機變量的分布律為101KP212又設是兩個相互獨立的隨機變量，且都與有相同的分布律。求的聯(lián)合分布律。并21,Y,Y21,Y求。P概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答23Y（2）問在14題中是否相互獨立YX,解（1）由相互獨立性，可得的聯(lián)合分布律為21,，21JYPIJIP1,0,I結果寫成表格為。2/10121212121YPYPPY（2）14題中，求出邊緣分布律為X012IX001000800602410040200140382002006030038JYP0160340501很顯然，所以不是相互獨立。00,YPXXYX,23，設是兩個相互獨立的隨機變量，的概率密度為Y,1,U其他02/8YYFY試寫出的聯(lián)合概率密度，并求。YX,XP解根據(jù)題意，的概率密度為其他01XXFX所以根據(jù)獨立定，的聯(lián)合概率密度為YX,。其他2/10,08,YXYFXYFYXY1Y210114/2/4/201211/2/2概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答24328,12/0YYXDXDFYXP24，設隨機變量具有分布律21013KP1/51/61/51/1511/30求的分布律。12XY解根據(jù)定義立刻得到分布律為Y12510KP1/57/301/511/3025，設隨機變量，求的概率密度。1,0NXXU解設的概率密度分別為，的分布函數(shù)為。則U,UFXUFU當時，；0U0PUFF當時，12XXU。2/2UEFUF所以，。02/EFUU26，（1）設隨機變量的概率密度為X其他0XEF求的概率密度。Y（2）設隨機變量，求的概率密度。1,UX2/1XY（3）設隨機變量，求的概率密度。,0N解設的概率密度分別為，分布函數(shù)分別為。則Y,YFXYX,YFXYX（1）當時，；Y0PYFYF概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答25當時，0Y22YFXPYYYPFXY。22XEFF所以，。02YEYFY（2）此時。其他1/1XXFX因為，12122/YFYXPYXPYYFXY故，,1FFFY所以，。其他10YYFY（3）當時，2YXPYXYPY，1Y故，。2/12YXYYEFYFF所以，。其他0212/EYFY27，設一圓的半徑X是隨機變量，其概率密度為其他028/13XXF求圓面積A的概率密度。解圓面積，設其概率密度和分布函數(shù)分別為。則2X,YGG，故/FYPYYGX2/0,1638321/21YYYFG概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答26所以，。其他04163YYG28，設隨機變量X,Y相互獨立，且都服從正態(tài)分布，驗證的概率密度為,02N2YXZ。其他0/22ZEZFZ解因為隨機變量X,Y相互獨立，所以它們的聯(lián)合概率密度為。221,YXEYXF先求分布函數(shù)，當時，0Z2ZYXPZZZFZ，22220211,ZZRZYXEDEDXYF故，。其他2/ZEFZFZZZ29，設隨機變量，隨機變量Y具有概率密度，1,UX12YFYY設X,Y相互獨立，求的概率密度。Z解因為，所以的概率密度為其他02/XXFXXZ。1ARCTN1ARCTN2121ZZDYDYZFYZFZXYZ30隨機變量X和Y的概率密度分別為，其他0XEXF其他02YEYFY，X,Y相互獨立。求的概率密度。0XZ解根據(jù)卷積公式，得概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答27，。ZZZXYZEDYEDYZFYZF23030所以的概率密度為。其他023ZEYFY31，設隨機變量X,Y都在0,1上服從均勻分布，且X,Y相互獨立，求的概率密度。YXZ解因為X,Y都在0,1上服從均勻分布，所以，其他01XXFX其他01XYFY根據(jù)卷積公式，得。DYZFYZFXYZ其他其他,012,2,011,1ZZZ32，設隨機變量X,Y相互獨立，它們的聯(lián)合概率密度為他其，20,23,YXEYXF（1）求邊緣概率密度。,FYX（2）求的分布函數(shù)。MAXZ（3）求概率。12/P解（1）；他其，,0032/,23XEDYEDYXFFXX。他其，他其，02/10/3,YYXEDXYFFY概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答28（2）的分布函數(shù)為,MAXYXZ,AXZFZYPXZYXPZPZZFYX因為；，0,13EXXX201/YYFY所以，。2,102,3ZEZZFZYXZ（3）。/341/2/1EPZ33，（1）一條繩子長為，將它隨機地分為兩段，以表示短的一段的長度，寫出的概率密度。LXX（2）兩條繩子長度均為，將它們獨立地各自分成兩段，以表示四段繩子中最短的一段的長度，驗Y證的概率密度為Y。他其，0/22LYLYFY解（1）根據(jù)題意，隨機變量，所以概率密度為,LUX。其他01LXLXFX（2）設這兩條繩子被分成兩段以后較短的那一段分別記為，則它們都在上服從均勻分布。21,X,0L，其分布函數(shù)為,MIN21XY，LYLYFYFXXY,122所以密度函數(shù)為。他其，0/2LYFYY34，設隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律為（1）求的分布律。,MAXU概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答29Y（2）求的分布律。,MINXV（3）求的分布律。WX01201/121/61/2411/41/41/4021/81/20031/12000解（1）的分布律為,MAXYXU3,210,KXKYPKXPKPK如，22,2Y，10/94/10/81其余類似。結果寫成表格形式為U0123KP1/122/329/1201/120（2）的分布律為,MINYXV2,10,KXKYPKXPKPK如，22,Y0其余類似。結果寫成表格形式為U01KP27/4013/40（3）的分布律為YXW5,4321,0,0KIYIXPPKI如，/84/12,20IY其余類似。結果寫成表格形式為W0123KP1/125/125/121/12（第2章習題解答完畢）概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答30第3章隨機變量的數(shù)字特征1，解根據(jù)題意，有1/5的可能性取到5個單詞中的任意一個。它們的字母數(shù)分別為4，5，6，7，7。所以分布律為X4567KP1/51/51/52/5/2976541XE2，解個單詞字母數(shù)還是，。這時，字母數(shù)更多的單詞更有可能被取到。分布律為Y4567KP4/295/296/2914/2929/17654291YE3，解根據(jù)古典概率公式，取到的電視機中包含的次品數(shù)分別為0，1，2臺的概率分別為，。16320CP29310CP21302CP所以取到的電視機中包含的次品數(shù)的數(shù)學期望為。2129016臺E概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答314，解根據(jù)題意，有1/6的概率得分超過6，而且得分為7的概率為兩個1/6的乘積（第一次6點，第2次1點），其余類似；有5/6的概率得分小于6。分布律為Y12345789101112KP661361361361得分的數(shù)學期望為。12491098754321點E5，解（1）根據(jù)，可得，X665XPEXP因此計算得到，即。所以6。66E（2）根據(jù)題意，按照數(shù)學期望的公式可得，212121LN66KKKKKKXPXE因此期望存在。（利用了）（不符書上答案）,LN0XNXXN6，解（1）一天的平均耗水量為03/03/03/203/2229XXXXEDEEDEDXFXE（百萬升）。603/X（2）這種動物的平均壽命為概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答32（年）。1052125DXXDXFXE7，解1062105274XDXDXF1077107106622DXX1/4。8，解。2LN3LN2/1212XDXXDXFXE9，解10201233DXDXDXF。2102012（對第一個積分進行變量代換）YX10，解404412SIN2SINKKKPCXE。（不符書上答案）21134314PCPC11，解R的概率密度函數(shù)為，所以其他,0/1AXXF。2416303ADRVEA概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答33Y12，解4304030216DXEDXEXDFXGXE（不符書上答案）58209121E13，解因為的分布函數(shù)為，所以可,21NIX1,0,XXF以求出的分布函數(shù)為NY,1，。1,0,MINYYFN1,0,MAXYYFN的密度函數(shù)為NY,1，。其他,0,1MINYYYFN其他,01MAXYNYF所以的數(shù)學期望為NY,1，1111000MINDYNDYNDYNDYFEN。0AXFYNN14，解求出邊緣分布律如下X012KXP03/289/283/2815/2813/143/14012/2821/28001/28KYP10/2815/283/281概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答34，2/120KXPE4/320KYPE，1/320JIJYIY，4/28/720JIJPIXJXE。3/3320JIJYIJY15，解，14/3/,MIN,IN20JIJYPIXJYXE。/928/111/20JIJIP16，解，5/24,10YRDXDXYFXE，/2,10YRXYFY。15/24,102YRDXDFXE17，解根據(jù)題意，可得利潤的分布律為Y20001000010002000KP0203030101因此，（元）401201302YE160222概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答35。14022YEYD18解，202/2/02/DXEXEDEXDXFXX02/2/02/322DXEEXDEXDFXEX，22/XE，。2/XEXD2/XD（本題積分利用了，這個結果可以從標準正態(tài)分布密度函數(shù)中得到）202/DXE19，解，PPKXKPEK1121111112122KKKKKKPPX，P23所以，。221PXEXD本題利用了冪級數(shù)求和中先積分再求導的方法。設，11KKPPS則，所以。類似的，設PDPSKK11121DSP，則經(jīng)過兩次積分以后可得到，在經(jīng)11KKSP1概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答36過兩次求導得到。32PS20，解（1）當時，1K。1KDXDXXFXEKK（2）當時，即不存在。1KXE1XE（3），當時，22122KDXXFK所以，。12222KXEXD（4）當時，所以不存在。KDXXF22XD21，解（1）根據(jù)14題中結果，得到；56/94/321/,YEXYXCOV因為，7/420KKPE28/702KKYP所以，28/92XEXD，1/452YY。,COVX（2）根據(jù)16題結果可得；75/2/15/2,YEXYOV概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答37Y因為，5/124,10322YRDXDXYFXE，/,10322YRFY所以，25/2XEXD25/12YEYD，75/,COVYY。3,COVX（3）在第2章14題中，由以下結果X012KXP001000800602410040200140382002006030038KYP0160340501得到，14XE34181XYE92，32Y所以，；2740,YCOV，,622XEXD54022YEYD475051,YVY22，解根據(jù)題意有,2YXCOVX。2DDXY16/493,343VYD。69XCO5/6概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答3823，解（1）因為相互獨立，所以321,X1684423223232XXEEXE68232E。170（2）根據(jù)題意，可得，3/1,/22IIIIXDXE。3,1I42442311232123XEXE2321XEXEXE。3424，解因為，3/2,10XRDYDYXFXE，,10XRYFY，0,10XRYDDXFXE所以，,YEXYCOV即，驗證了X,Y不相關。又因為，；他其，,0121,XDYYXFFXX，他其，他其，0151001,1YYDXYXFFYYY概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答39顯然，所以驗證了X,Y不是相互獨立的。,YFXYFYX25，解引入隨機變量定義如下個盒子個球未落入第第個盒子個球落入第第III01則總的配對數(shù)，而且因為，所以，。NIIX1NXPI11,NNX故所以，。E第4章正態(tài)分布1，（1）設，求，1,0NZ21ZP3724Z；24372P（2）設，且，求。,970A056BPBA,解（1），82541Z098625912433723724ZPP037141（2），所以；37190AZ37A，所以，即526BZPBP621940BZP。12，設，求，。6,3NX84XP50XP解因為，所以。11,3N概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答402957089402514384384XPX。6736950503，（1）設，試確定，使得。36,25NXC95402CXP（2）設，試確定，使得。4解（1）因為1626255CXPCXP所以得到,即，01。9706（2）因為，所以，即123N95023CP，從而，。950,5CC或者6424，已知美國新生兒的體重（以G計）。57,312NX（1）求；2543907528XP（2）在新生兒中獨立地選25個，以Y表示25個新生兒的體重小于2719的個數(shù)，求。4P解根據(jù)題意可得。1,0573NX（1）573128573292492587P（或601608108673）（2），492573297XP根據(jù)題意，所以140,BY。64089225025KKKC概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答415，設洗衣機的壽命（以年計），一洗衣機已使用了32,46NX5年，求其壽命至少為8年的條件概率。解所要求的概率為176082541901632465185|8XPXP6，一電路要求裝兩只設計值為12歐的電阻器，而實際上裝的電阻器的電阻值（以歐計）服從均值為119歐，標準差為02歐的正態(tài)分布。求（1）兩只電阻器的電阻值都在117歐和123歐之間的概率；（2）至少有一只電阻器大于124歐的概率（設兩電阻器的電阻值相互獨立）解設兩個電阻器的電阻值分別記為隨機變量則,YX，04,91NX04,91NY（1）31273127327,327PPXP；20912091369081522（2）至少有一只電阻器大于124歐的概率為209141421412,1YPXYXP。093827，一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命（以小時計）服從均值，X160概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答42均方差為的正態(tài)分布，若要求，允許最大80210XP為多少解根據(jù)題意，。所以有,160NX，801421602120P即，從而。819453,84故允許最大不超過3125。8，將一溫度調(diào)節(jié)器放置在儲存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在，液體的溫度（以計）是一個隨機變量，且CDXC，50,2NX（1）若，求小于89的概率；9（2）若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于099，問至少為多少D解因為，所以。50,2NX1,05NDX（1）；28298P（2）若要求，那么就有，905DP即或者，從而，0158D36905D326最后得到，即至少應為81163。639，設相互獨立，且服從數(shù)學期望為150，方差為9的正態(tài)YX,X分布，服從數(shù)學期望為100，方差為16的正態(tài)分布。（1）求，的分布；W1Y22/3YXW概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答43（2）求，。624YXP512/YXP解根據(jù)題意。6,0,9150N（1）根據(jù)正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布（本書101頁定理2）的性質(zhì)，立刻得到，25,01NW52,02N425,13NW（2）因為，所以413，。,5YX,02/5YX因此，694810624P5/1/P25204610，（1）某工廠生產(chǎn)螺栓和墊圈。螺栓直徑（以MM計），墊圈直徑（以MM計），相互20,NX20,51NYYX,獨立。隨機地取一只螺栓，一只墊圈，求螺栓能裝入墊圈的概率。（2）在（1）中若，問控制至多為20,1NX,5102NY多少才能使螺栓能裝入墊圈的概率不小于090。解（1）根據(jù)題意可得。螺栓能裝入墊圈的概8,率為。96107050YXP概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用習題解答44（2），所以若要控制04,52NYX，281900452P