畢業(yè)論文_求函數(shù)極限的若干方法

學號2008210929哈爾濱師范大學學士學位論文題目求極限的若干方法學生范秀龍指導教師孫玉莉講師年級2008級專業(yè)數(shù)學與應用數(shù)學系別數(shù)學系學院數(shù)學科學學院哈爾濱師范大學學士學位論文開題報告論文題目求極限的若干方法學生姓名范秀龍指導教師孫玉莉年級08級專業(yè)數(shù)學與應用數(shù)學2011年11月課題來源由論文指導委員會提供課題研究的目的和意義在自然科學中、工程技術，甚至某些社會科學中，函數(shù)是被廣泛應用的數(shù)學概念，從小學開始我們就已經接觸到了函數(shù)，函數(shù)貫穿了我們整個的學習時段。既然函數(shù)在數(shù)學學習中處于核心地位，那么我們用什么方法來研究函數(shù)呢這個方法就是極限。無論是在中學數(shù)學還是在大學數(shù)學中，極限的概念和思想都非常重要，從量變中認識質變，都要用到極限。我們還能夠通過極限研究函數(shù)的連續(xù)性、可導性、收斂性等概念。因此極限概念是研究函數(shù)的重要概念，具有一定的理論意義和現(xiàn)實意義。首先，本篇論文總結了求函數(shù)的極限方法，幫助學生理解和掌握極限概念，牢固地掌握求極限的方法，并把極限的思想運用到更廣泛的區(qū)域。其次，在進行函數(shù)極限求解的過程中，巧妙地運用了數(shù)學中相關的理論知識，達到鞏固、復習的目的，培養(yǎng)學生一題多解的思維能力。第三，運用極限的思想能夠解一些我們不能精確計算的結果。第四，通過本課題的研究，培養(yǎng)了自身的探究精神，提高了自身的科學素養(yǎng)和實踐操作能力。國內外同類課題研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢作研究函數(shù)最基本的方法極限思想，早在古代就有比較清楚的描述。我國魏晉時期杰出的數(shù)學家劉薇于公元263年創(chuàng)立了“割圓術”，是使用了極限的思想。在近代數(shù)學許多分支中一些重要的概念與理論都是極限和連續(xù)函數(shù)概念的推廣、延拓和深化。因此只有深刻地理解極限的出發(fā)點是至關的無窮小量，19世紀柯西根據(jù)微積分研究的需要改進了極限方法。但是前人在對求函數(shù)極限的方法都是單一的，而沒有一個對求函數(shù)極限的方法進行全面的歸納總結。本文就系統(tǒng)而全面地總結了求函數(shù)極限的方法，并把各類方法加以綜合利用，幫助我們解決求各類函數(shù)極限過程中遇到的問題，對某些題目還能夠不痛的方法解答。近年許多專家學者對函數(shù)極限的計算方法作了研究，并取得了一定的突破。房俊、李廣民研究了用中值定理求函數(shù)極限的方法；曹學鋒、孫幸榮討論了利用無窮小量計算函數(shù)的極限。眾所周知常見的求極限的方法包含無窮小量、重要極限公式、洛必達法則等。但實際在求極限時并不是依靠單一方法，而是把多種方法加以綜合運用。對函數(shù)極限求解方法的討論是本文的核心點，本文通過一些典型例題來討論求函數(shù)極限的解法并加以綜合運用。這就需要學生牢固地掌握求極限的方法并對函數(shù)極限的方法加以歸納、總結，希望對初學者有所幫助。課題研究的主要內容和方法，研究過程中的主要問題和解決辦法一、介紹求極限的多種方法二、利用夾逼準則、單調有界準則、函數(shù)的連續(xù)性等方法求極限，在做求解極限的題目時，僅僅掌握以上方法的而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的，必須要細心分析仔細甄選，選擇出適當?shù)姆椒?。這樣不僅準確率更高，而且會省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果。三、研究實際數(shù)學問題中有關極限的求法，尋求解決問題的途徑。課題研究起止時間和進度安排2011090120111002指導教師給學生下達任務2011100220111125完成開題報告的初稿，交指導教師審閱2012031520120407完成畢業(yè)論文，交給指導教師審閱2012042820120425畢業(yè)論文答辯指導教師審查意見指導教師（簽字）年月教研室（研究室）評審意見_教研室（研究室）主任（簽字）年月院（系）審查意見_院（系）主任（簽字）年月學士學位論文題目求極限的若干方法學生范秀龍指導教師孫玉莉年級2008級專業(yè)數(shù)學與應用數(shù)學系別數(shù)學系學院數(shù)學科學學院哈爾濱師范大學2012年4月目錄摘要1關鍵詞1一、函數(shù)極限的定義性質及作用1二、函數(shù)極限的計算及多種求法21定義法22利用極限四則運算法則33利用夾逼性定理求極限34利用兩個重要極限求極限45利迫斂性來求極限46用洛必達法則求極限57利用定積分求極限68利用無窮小量的性質和無窮小量和無窮大量之間的關系求極限69利用變量替換求極限710利用遞推公式計算或證明序列求極限711利用等價無窮小量代換來求極限812利用函數(shù)的連續(xù)性求極限913利用泰勒公式求極限1014利用兩個準則求極限1015利用級數(shù)收斂的必要條件求極限1216利用單側極限求極限13總結13參考文獻14外文摘要15求極限的若干方法范秀龍摘要在數(shù)學分析中，極限思想貫穿于始末，求極限的方法也顯得至關重要。本文主要探討、總結求極限的一般方法并補充利用級數(shù)收斂及利用積分求極限的特殊方法，而且把每一種方法的特點及注意事項作了詳細重點說明，并以實例加以例解，因此彌補了一般教材的不足。由于本文通過總結、研究對求極限的各種方法的很多細節(jié)作了具體注解，使方法更具針對性、技巧性，因此，克服了遇到問題無從下手的缺點,能夠做到游刃有余。關鍵詞夾逼準則單調有界準則洛必達法則微分中值定理學習微積分學，首要的一步就是要理解到，“極限”引入的必要性。因為，代數(shù)是人們已經熟悉的概念，但是，代數(shù)無法處理“無限”的概念。所以為了要利用代數(shù)處理代表無限的量，於是精心構造了“極限”的概念。一、函數(shù)極限的定義性質及作用在“極限”的定義中，我們可以知道，這個概念繞過了用一個數(shù)除以的麻0煩，而引入了一個過程任意小量。就是說，除數(shù)不是零，所以有意義，同時，這個過程小量可以取任意小，只要滿足在的區(qū)間內，都小于該任意小量，我們就說他的極限為該數(shù)你可以認為這是投機取巧，但是，他的實用性證明，這樣的定義還算比較完善，給出了正確推論的可能，這個概念是成功的。限的概念是高等數(shù)學中最基本最重要的概念，它是由于求某些實際問題的精確解答而產生的例如我國古代數(shù)學家劉徽（公元三世紀）利用圓內接正多邊形來推算圓面積的方法割圓術，就是極限思想在幾何上的應用數(shù)列極限標準定義對數(shù)列，若存在常數(shù)，對于任意，總存在NXA0正整數(shù)，使得當時，成立，那么稱是數(shù)列的極限。NNANX函數(shù)極限標準定義設函數(shù)大于某一正數(shù)時有定義，若存在常數(shù)，,FXA對于任意，總存在正整數(shù)，使得當時，成立，那么稱0XNXA是函數(shù)在無窮大處的極限。AFX設函數(shù)在處的某一去心鄰域內有定義，若存在常數(shù)，對于任意0，總存在正數(shù)，使得當時，成立，那么稱是函數(shù)00X0XA在處的極限。FX0函數(shù)極限具有的性質性質1（唯一性）如果存在，則必定唯一LIMXAF性質2（局部有界性）若存在，則在的某空心鄰域內有界0F0X性質3（保序性）設LI,LIXAXAFBC性質4（迫斂性）設，且在某內有00HA0UX，則FXGH0LIMX數(shù)學分析的主要任務是研究函數(shù)的各種性態(tài)以及函數(shù)值的計算或近似計算，主要內容是微積分，在微積分中幾乎所有的基本概念都是用極限來定義的?？梢哉f，沒有極限理論就沒有微積分。二、函數(shù)極限的計算及多種求法極限一直是數(shù)學分析中的一個重點內容，而對數(shù)列極限的求法可謂是多種多樣，通過歸納和總結，我們羅列出一些常用的求法。求數(shù)列極限的最基本的方法還是利用數(shù)列極限的定義，也要注意運用兩個重要極限，其中，可以利用等量代換，展開、約分，三角代換等方法化成比較好求的數(shù)列，也可以利用數(shù)列極限的四則運算法則計算。夾逼性定理和單調有界原理是很重要的定理，在求的時候要重點注意運用。洛必達法則、黎曼引理是針對某些特殊的數(shù)列而言的。還有一些比較常用的方法，在本文中都一一列舉了。1定義法利用數(shù)列極限的定義求出數(shù)列的極限設是一個數(shù)列,是實數(shù),如果對任意NXA給定的,總存在一個正整數(shù)，當時,都有,我們就稱是數(shù)NNA列的極限記為NXLIMNXA例1按定義證明01LIMN解12N令,則讓即可,存在,當時,不等式成立,N11N2N所以01LIMN2利用極限四則運算法則應用數(shù)列或函數(shù)極限的四則運算法則,其前提條件是參加運算的數(shù)列或函數(shù)首先是收斂數(shù)列或函數(shù),其次在做除法運算時,要求必先使分母的極限不為0,因此,為了利用四則運算定理計算數(shù)列或函數(shù)極限成為收斂數(shù)列或函數(shù),需以原分子、原分母中隨N或X增大最快的項除分子、分母,使恒等變形后的分子、分母為滿足數(shù)列或函數(shù)極限四則運算定理條件的收斂數(shù)列或函數(shù),值得我們注意的是在應用數(shù)列或函數(shù)極限的四則運算前,先把所給的商式消去分子分母的公共零因子。例2求,其中NNBA21LIM1,B解分子分母均為無窮多項的和,應分別求和,再用四則運算法則求極限,BAANNNN11,122原式1LIMNNBB3利用夾逼性定理求極限當極限不易直接求出時,可考慮將求極限的變量作適當?shù)姆糯蠛涂s小,使放大與縮小所得的新變量易于求極限,且二者的極限值相同,則原極限存在,且等于公共值。特別是當在連加或連乘的極限里,可通過各項或各因子的放大與縮小來獲得所需的不等式。例3求的極限。21N解對任意正整數(shù)N,顯然有,N22而,由夾逼性定理得01NLIM24利用兩個重要極限求極限兩個重要極限是和，1SINL0XEXNXXX10LIM1LILI第一個重要極限過于簡單且可通過等價無窮小來實現(xiàn)。利用這兩個重要極限來求函數(shù)的極限時要仔細觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經過變化符合這兩個重要極限的形式時才能夠運用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。例4求極限XX1LIM【說明】第二個重要極限主要搞清楚湊的步驟先湊出，再湊，最后湊指1X數(shù)部分。解2121LIM12LI1LIMEXXXXXX5利迫斂性來求極限設,且在某內有,則00LIMLIXXFGA,0XUOFXHGX0HA例5求的極限01LIX解且由迫斂性知1X0LIM1X0LIMX做此類型題目的關鍵在于找出大于已知函數(shù)的函數(shù)和小于已知函數(shù)的函數(shù)，并且所找出的兩個函數(shù)必須要收斂于同一個極限。6用洛必達法則求極限洛必達法則為假設當自變量趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù)和XX滿足和的極限都是或都是無窮大；和都可導，GX1（）XG0（2）G且的導數(shù)不為；存在（或是無窮大），則極限也一定0（3）LIMFXLIMFX存在，且等于，即。利用洛必達法則求極限，由于分LIFXGLIFGXLIF類明確，規(guī)律性強，且可連續(xù)進行運算，可以簡化一些較復雜的函數(shù)求極限的過程，但運用時需注意條件。例6求20COS1LIMX解是待定型20CSLIX21INL0X注運用洛比達法則應注意以下幾點1、要注意條件，也即是說，在沒有化為時不可求導。0,2、應用洛必達法則，要分別的求分子、分母的導數(shù)，而不是求整個分式的導數(shù)。3、要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應立即停止使用洛必達法則，否則會引起錯誤。7利用定積分求極限設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，將區(qū)間分成個子區(qū)間FX,AB,ABN在每個子區(qū)任取一點，012,IAX1,IXI1,2作和式（見右下圖），當時，屬于最大的區(qū)間長度該和式無限接近于0某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)FX在區(qū)間的定積分。要求深刻理解與熟練A,B掌握的重點內容有1、定積分的概念及性質。2、定積分的換元法和分部積分法，3、變上限的定積分作為其上限的函數(shù)及其求導定理，牛頓（NEWTON）萊布尼茲（LEIBNIZ）公式。要求一般理解與掌握的內容有4、廣義積分的概念與計算。例7求123LIM0PPPNN解1LI1PPPN1LIMNPI設,則在內連續(xù),PXFF01NIINI取所以,PIF所以原式110DXP難點定積分的概念，上限函數(shù)，定積分的換元法。8利用無窮小量的性質和無窮小量和無窮大量之間的關系求極限首先,利用無窮小量乘有界變量仍然是無窮小量,這一方法在求極限時常常用到再者利用等價無窮量。在求函數(shù)極限過程中,如果此函數(shù)是某個無窮小量與所有其他量相乘或相除時,這個無窮小量可以用它的等價無窮小量來代替,從而使計算簡化。例8求的值21LIMSNX解因為是無窮小量，而是有界變量，所以21LIMXLIMSNX還是無窮小量，即SN2LI0X9利用變量替換求極限為了將未知的極限化簡，或轉化為已知的極限，可根據(jù)極限式的特點，適當引入新變量，以替換原有的變量，使原來的極限過程，轉化為新的極限過程。最常用的方法就是等價無窮小的代換。例9已知試證LIM,LINNXAYB1211LIMNMNXYLXYAB證明令,NNNXAYB則時，121111|0|0NNLLM于是,N12111211LIMNNNNMNABABLABXYLXY12121211NNNNLABB易知當時第二、三項趨于零，現(xiàn)證第四項極限亦為零。事實上，因N（當時），故有界，即，使得。故NNA0M|NAN121111|0|0NNLL10利用遞推公式計算或證明序列求極限借助遞推公式計算或證明序列的極限，也是一種常見的方法，在這里我們需要首先驗證極限的存在性。在極限存在的前提下，根據(jù)極限的唯一性，來解出我們所需要的結果，但往往驗證極限的存在形式比較困難的，需要利用有關的不等式或實數(shù)的一些性質。例10（1）設，對，定義。證明10X,2N21NNXX且時，1NX1（2）若C為任意的正數(shù)。置于（1）的遞推公式中，給出CY，假設，則當時，1NNYY0NYC解（1）對任意的N,，而且，因為NX12NN推得，因此，序列是單調遞增且有界，它的極限存在，設為X，1NX1X從遞推公式中得到2N2X解得，即。1X1LIMN（2）因為且對任意的，可以在上作歸CY021NNCYY納證明，對任意的，。由知，所以序列NN12NN是單調遞增的，因而極限存在，借助遞推公式可求的其極1NY21NNCYY限為。C11利用等價無窮小量代換來求極限所謂等價無窮小量即稱與是時的等價無窮小量，LIM1XFGXFG0X記作XFG0定理設函數(shù)在內有定義，,XHGF0U且有XF01若則LIMXALIXGA2若則LIXHBFLIXH證明LILILIM1XXXGGFHAF可類似證明，在此就不在詳細證明了由該定理就可利用等價無窮小量代換來求某些函數(shù)的極限例11求的極限30TANSILIMXX解由而；COS1T0,INX；,2COS1X03IX,故有23300TANI1LIMLSCOSXX注由上例可以看出，欲利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的等價無窮小量，如由于，故有又由于0INLMXXSIN0,故有，。0ARCTNLI1XARCT另注在利用等價無窮小代換求極限時，應該注意只有對所求極限中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。如上式中若因有，；，而推出的TANX0SIN,0X則得到的結果是錯誤的。3300TANSILIMLSIXX小結在求解極限的時候要特別注意無窮小等價替換,無窮小等價替換可以很好的簡化解題。12利用函數(shù)的連續(xù)性求極限利用函數(shù)的連續(xù)性求極限包括如函數(shù)在點連續(xù)，則XF0及若且FU在點A連續(xù)，則00LIMXFX0LIMXA00XXF例7求的極限1COS2ARIN0LXXE解由于及函數(shù)在處連續(xù)，故2LIMRCSI4X4EUF12201COS1O1LIARINARIN0LIXXEE13利用泰勒公式求極限由于泰勒公式的特殊形式，對于求解某些函數(shù)的極限有簡化求解過程的作用。例13求240COSLIMXXE245245400COS11LILIM0XXEXXN解本題可用洛比達法則來求解，但是運算過程比較繁瑣，在這里可用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子，取4X4N245COS10X2245XE245COS01XX因而求得245400COS11LIMLI2XXXE14利用兩個準則求極限1函數(shù)極限的迫斂性（夾逼法則）若一正整數(shù),當時，有NN且則有NNXYZLIMLINNXXZALIMNXYA利用夾逼準則求極限關鍵在于從的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數(shù)列和，使得。NYZNNYXZ例1422211NX求的極限N解因為單調遞減，所以存在最大項和最小項X222211NNN222211NXNN則22N又因為22LIMLI1XXN21LILI04NNNXXYALY（2）單調有界準則單調有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。利用單調有界準則求極限，關鍵先要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項遞推公式求極限。例15證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限。123,NYAAYAYAA證明從這個數(shù)列構造來看顯然是單調增加的。用歸納法可證。N又因為21321,NNYAYYA所以得因為前面證明是單調增加的。NN兩端除以得NY1N因為則,從而1NAN1NAYNY即是有界的。根據(jù)定理有極限，而且極限唯一。NNY令則LIMXYL21ILIMNXXA則因為解方程得2LA0N412L所以14LI2NXYL15利用級數(shù)收斂的必要條件求極限利用級數(shù)收斂的必要條件若級數(shù)收斂，則運用這個方法1N0N首先判定級數(shù)收斂，然后求出它的通項的極限1N例16求2LIMX解設2NA則121LIMLINNALI1NN0由比值判別法知收斂，由必要條件知1NA2LIM0N16利用單側極限求極限形如1）求含的函數(shù)趨向無窮的極限，或求含的函數(shù)趨于的極限XA1XA02）求含取整函數(shù)的函數(shù)極限3）分段函數(shù)在分段點處的極限4）含偶次方根的函數(shù)以及或的函數(shù)，趨向無窮的極限ARCTNXRTACX這種方法還能使用于求分段函數(shù)在分段點處的極限，首先必須考慮分段點的左，右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點處的極限存在，否則極限不存在。例1721SIN,0XF求在的左右極限F0解01LIMSNXN00LILI1NFXFX總結以上方法是在高等數(shù)學里求解極限的重要方法。在做求解極限的題目時，僅僅掌握以上方法的而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的，必須要細心分析仔細甄選，選擇出適當?shù)姆椒ā＿@樣不僅準確率更高，而且會省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果。這就要求學習者要吃透其精髓，明了其道理，體會出做題的竅門。達到這樣的境界非一日之功，必須要多做題善于總結，日積月累，定會熟能生巧，在做題時得心應手。從上述的介紹中可以看出求極限的方法不拘一格，我們應具體問題具體分析，不能機械地用某種方法，對具體題目要注意觀察，有時解題可多種方法混合使用，要學會靈活運用。參考文獻1郝梅求函數(shù)極限的方法福建教育學校學報2006102劉小軍高等數(shù)學解題方法云南廣播電視大學理工學院學報2006083劉書田高等數(shù)學北京大學出版社20054陳璋朱學炎等數(shù)學分析復