高數(shù)習(xí)題答案- 華南理工大學(xué)高等數(shù)學(xué)統(tǒng)考試卷下2003

2003高等數(shù)學(xué)下冊(cè)期考試試卷姓名班級(jí)成績(jī)單號(hào)一、填空題1、3分與向量都垂直的單位向量是。1,48,12、3分設(shè)則。,0ARCTNXYZDZ3、3分將積分交換積分次序（變成先積FDX01,DYXF201,分后積分），其結(jié)果是。XY4、3分設(shè)曲面是位于第一卦限部分，則曲面積分632ZYX的值等于。DSZYX235、3分微分方程適合初始條件的特解是0KYDX0YX。二、單項(xiàng)選擇題1、3分設(shè)有平面和直線，則他們的關(guān)567ZYX91621ZYXL系是AB與斜交CDLL/2、3分二元函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)和都,YXF,0Y,0YXF,0YXF存在，是在該點(diǎn)連續(xù)的,FA充分條件而非必要條件；B必要條件而非充分條件；C充分必要條件；D既非充分條件又非必要條件；3、3分曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件是DYCBXADYBXAL2222A任意，B任意，A1,CB,11C任意D任意，2,1BA2C4、3分設(shè)為球心在原點(diǎn)，半徑為的球體，則R2DVZYXAA；B；C；D43R432421R5、3分微分方程的一個(gè)特解形如（），式中XEY23為待定常數(shù)。QPNM,ABXEPXY22XEMY23CDXQ23XN2三、解答下列各題1、8分設(shè)可微，方程，其中確定了,VUG0,VUGXZYVZXU22,是的二元可微隱函數(shù)，試證明ZYX,ZXY422、6分設(shè)長(zhǎng)方體過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)之和為，問(wèn)這三條棱長(zhǎng)各為何值時(shí)，A3長(zhǎng)方體的表面積最大3、化工類做本題，非化工類不做本題，本題7分在球面上求922ZYX一點(diǎn)，使得過(guò)該點(diǎn)的切平面與已知平面平行。02ZYX四、（共35分）1、7分計(jì)算二重積分，其中由所確定。DYD202AYA2、8分設(shè)為兩球，的公共部分，計(jì)算2RZXRZYX2。ZDV3、7分設(shè)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算曲線積分U2,YXU，式中是第一象限中連接點(diǎn)LDYXX2L的任意光滑曲線。4,30,5BA4、6分計(jì)算曲面積分，式DXYZDZXYDYZX222232323中是上半球面的上側(cè)。AZ5、化工類做本題，非化工類不做本題，本題7分上半球體被圓柱面截成兩部分，求位于柱面220YXAZ02RXY內(nèi)部那部分的體積。五、化工類不做本題，非化工類做本大題，本題14分1、7分討論級(jí)數(shù)（為待討論的參數(shù)）的收斂性01NX,2、7分求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，并判斷在和處的冪級(jí)02N231X數(shù)的收斂性。六、14分1、7分求的通解22XEYX2、7分求的通解AXY65高等數(shù)學(xué)統(tǒng)考試卷（20032004學(xué)年第二學(xué)期）參改解答一、1（漏“一”號(hào)扣一分）4,792DYXYX22310DF475Y0EKX二、6D7D8C9B10C三、11解法1記22,FXYZGXYZXVUXG2VUYVUZGYF，XZVUXGYZ2VUXGYZ22Y221VUVUVUYZYXZXZXYYGVV24解將原方程兩邊同時(shí)對(duì)X、Y求導(dǎo)ZZX,Y得（1）02ZXZYVU（2）2Y聯(lián)立（1）、（2）消去GU、GV得ZZZZXYXXYY02212設(shè)三條移長(zhǎng)分別為X,Y,Z，則長(zhǎng)方體表面積為求U2XY2ZX2YZ，其中XYZ3A方法一由得ZYXFF11YXZ得XYZA為所求唯一解故當(dāng)XYZA時(shí)U6A2為所求條件最大值方法二作3,ZYXAYZXZYXF解科XYZA（唯一解）02XYZ（一般不要求判定）判定法（亦是初等解法）222116836AUUXYZXYZX203XYZ2AU且等號(hào)僅當(dāng)XYZA時(shí)或立，故XYZA時(shí)U取得條件最大值26UA13記,21N,2,ZYXZYXN令即代入曲面方程1/所求點(diǎn)為2,1,29222YY1Y或2,1,214原式2AAXDDAA2115方法一（投影法，柱面坐標(biāo)法）原式22RXYXYDDZD2234RDXYY20322RR223/21240R45838R方法二截面法，用平行于XOY平面的平行平面截所給立體域截面積RZZRZSD2021原式DXYZXYRDD220212RZZZ4224316412RRR56158144R15方法（球面坐標(biāo)法）作錐面將分為1及2兩部分3原式12ZDVZ3002023COS2022CSINCOSINRRDDDD324452031ISICO681RR4425632172PQXYUYXUY故積分與路徑無(wú)關(guān)選L1，從點(diǎn)A5,0到B3,4225DXABXDXX1253532348亦可改選L2折線A5,0,C3,0,B3,434225096ABCBXDYYD92598311VU,2YVX18作輔助01Z原式1上下上外上22211066DVXZYXDVZYX5220202SINR5521820COS222RDRDYXRVDX3/COS2001|RR203332SIN1RDR191|UIMLXUILNN當(dāng)|X|原級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)X1當(dāng)1時(shí)原級(jí)數(shù)收斂UN當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)X1當(dāng)1時(shí)原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂1NN當(dāng)0時(shí)原級(jí)數(shù)條件收斂當(dāng)原級(jí)數(shù)發(fā)散20記0NB1NNLIMLIE故RE當(dāng)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂X|23|1當(dāng)冪級(jí)數(shù)發(fā)散212XYE解標(biāo)準(zhǔn)化122XYDX方法一先解求得021XCY改設(shè)代入方程（）1YU22XEX2XEUCE故得2212XEY方法二P21XPXD2LNL21XEPDX1PXDEDXEXCEYPDX12212X方法三原方程為22