高中數(shù)列知識(shí)大總結(jié)(絕對(duì)全) 2

第一課時(shí)數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系NANS1NINAS1321221NANN熱身1數(shù)列1，3，6，10，的一個(gè)通項(xiàng)公式為2數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則數(shù)列各項(xiàng)中最小項(xiàng)是NANAN2833數(shù)列的前項(xiàng)和,，則14SA典例精析題型一歸納、猜想法求數(shù)列通項(xiàng)【例1】根據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)，分別寫出它們的一個(gè)通項(xiàng)公式7，77，777，7777，,6385,1432點(diǎn)撥聯(lián)想與轉(zhuǎn)換是由已知認(rèn)識(shí)未知的兩種有效的思維方法，觀察歸納是由特殊到一般的有效手段，本例的求解關(guān)鍵是通過分析、比較、聯(lián)想、歸納、轉(zhuǎn)換獲得項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的一般規(guī)律，從而求得通項(xiàng)。題型二應(yīng)用求數(shù)列通項(xiàng)211NSANN例2已知數(shù)列的前項(xiàng)和，分別求其通項(xiàng)公式3NS082NNNA點(diǎn)撥本例的關(guān)鍵是應(yīng)用求數(shù)列的通項(xiàng)，特別要注意驗(yàn)證的值是否滿足211NSANN1A的一般性通項(xiàng)公式。“2N三、利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)【例3】根據(jù)下列各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推關(guān)系，求其通項(xiàng)公式NA14,2121AN2，,01012NNNA,1NA點(diǎn)撥在遞推關(guān)系中若求用累加法，若求用累乘法，若,1NFAN,1NFANA，求用待定系數(shù)法或迭代法。QPANN1N總結(jié)提高1給出數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)時(shí)，常用特征分析法與化歸法，所求通項(xiàng)不唯一2由求時(shí)，要分1和兩種情況NSAN23數(shù)列是一種特殊函數(shù)，因此通過研究數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性）來解決數(shù)列中的“最大項(xiàng)”與“和最小”等問題十分有效。4給出與的遞推關(guān)系，要求，常用思路是一是利用（）轉(zhuǎn)化為NNANNAS12的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求。ANSNA課堂演練1若數(shù)列的前項(xiàng)的，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）NA32NAS2已知數(shù)列滿足，（），則（）N0111NNN20A3已知數(shù)列滿足NA,1，2312和求證明1NA數(shù)列3，5，7，9，11，的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）已知數(shù)列中，NA21則的值為（），（NN14A3設(shè)，則的大小關(guān)系是12NNNA與11若數(shù)列滿足，NA2,01NNNA，則的值為（）761202、填空題1已知數(shù)列中，,NA321A，NNA21272已知中，前項(xiàng)和與的關(guān)系是，求SNS1A62等差數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)1等差數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差，用表示。D2遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式MNADDNAMN11變式推廣通項(xiàng)公式遞推關(guān)系由此聯(lián)想到點(diǎn)所在直線的斜率。,為常數(shù)）即特征KNFADAN,1是數(shù)列成,為常數(shù)，（MKNA等差數(shù)列的充要條件。等差中項(xiàng)若成等差數(shù)列，則稱的等差中項(xiàng)，CBA,BC與且；成等差數(shù)列是的充2,A2要條件。前項(xiàng)和公式N；21ASN211DNASN變式12211211NSADNADNN,2212為常數(shù)即特征BANSFDAN是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件。A5等差數(shù)列的基本性質(zhì)N,NQPM其中反QPNMAA，則若之，不成立。DMNAN2仍成等差數(shù)列。NNNSS23,判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法定義法是等）常數(shù)）（NDAN1NA差數(shù)列中項(xiàng)法是等差數(shù)221NN（N列通項(xiàng)公式法是等差數(shù),為常數(shù)BKANNA列前項(xiàng)和公式法是等,2為常數(shù)BASNN差數(shù)列課前熱身1等差數(shù)列中，NA,39741A（63852,則）2等差數(shù)列中，NA31,120910864的值為則3等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)變化NANSDA，1時(shí)，若是一個(gè)定值，那么下列各數(shù)182中也是定值的是（）8201513SCSBA4計(jì)算機(jī)執(zhí)行以下程序初始值0X，XS，則進(jìn)行，否則從繼續(xù)進(jìn)行201打印停止那么，語句打印出的數(shù)值為895設(shè)，分別為等差數(shù)列與的前NSTNABN項(xiàng)和19524SBAN，則54解51402291091119BABATS典例精析一、等差數(shù)列的判定與基本運(yùn)算例1已知數(shù)列前項(xiàng)和NANSN92求證為等差數(shù)列；記數(shù)列的前A項(xiàng)和為，求的表達(dá)式。NTN點(diǎn)撥根據(jù)定義法判斷數(shù)列為等差數(shù)列，靈活運(yùn)用求和公式。二、公式的應(yīng)用例2設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差都為整數(shù)，NA1D前項(xiàng)和為NS若，求數(shù)列的通項(xiàng)公980141SA，NA式若，求所有可能761411，的數(shù)列的通項(xiàng)公式NA點(diǎn)撥準(zhǔn)確靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，提高運(yùn)算能力。N總結(jié)提高1在熟練應(yīng)用基本公式的同時(shí)，還要會(huì)用變通的公式，如在等差數(shù)列中，DNMAN在五個(gè)量中的三個(gè)量可求出SDA，1其余兩個(gè)量，要求選用公式要恰當(dāng)，即善于減少運(yùn)算量，達(dá)到快速、準(zhǔn)確的目的。33已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列這類問題，要善于設(shè)元，目的仍在于減少運(yùn)算量，如三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，除了設(shè)外，還可設(shè)DA2，；四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，可設(shè)為DA，MM33，4在求解數(shù)列問題時(shí)，要注意函數(shù)思想，方程思想，消元及整體消元的方法的應(yīng)用。課堂演練1設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若NSNA（）12663，則在等差數(shù)列中，NA132A，則等于（）3等差數(shù)列654A中，則前項(xiàng)的和N12910S，最大。4已知等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100，前100項(xiàng)NA和為10，則前110項(xiàng)和為某漁業(yè)公司今年初用98萬元購進(jìn)一艘漁船用于捕撈，第一年需要各種費(fèi)用12萬元，從第二年起包括維修費(fèi)在內(nèi)每年所需費(fèi)用比上一年增加4萬元，該船每年捕撈總收入50萬元，問捕撈幾年后總盈利最大，最大是多少解設(shè)捕撈年后的總盈利為萬元，則N設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知NANS012133S，求出公差的范圍，D指出中哪一個(gè)值最大，并說1221，明理由。課外練習(xí)一、選擇題1已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前10NA10A項(xiàng)的和，則其公差等于）701SD2已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等差數(shù)列NNS的前項(xiàng)和為，且NNT，則使為整數(shù)的539NSNNBA所有的值的個(gè)數(shù)有（）3，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若NANS等于B987639AS，則，A63B45C36D273已知等差數(shù)列中，NA等于（1249716A，則，）二、填空題4設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，NSN97103S，則，5已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若NAN185212AS，則三、解答題6等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知NANS503210，求通項(xiàng)；若242，求NN7甲、乙兩物體分別從相距70的兩處同時(shí)相向運(yùn)M動(dòng)，甲第一分鐘走2，以后每分鐘比前一分鐘多走1，乙每分鐘走5，甲、乙開始運(yùn)動(dòng)后幾M分鐘相遇如果甲乙到對(duì)方起點(diǎn)后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前一分鐘多走1，乙繼續(xù)每分鐘走M(jìn)5，那么，開始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相遇故第一次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后7分鐘。10已知數(shù)列中，前和NA，31N21NS求證數(shù)列是等差數(shù)列N求數(shù)列的通項(xiàng)公式A63等比數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)1定義如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，記為。0Q，（2遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式MNNQA推廣通項(xiàng)公式遞推關(guān)系113等比中項(xiàng)若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則稱為的等比中項(xiàng)，且為是CB,BCA與ACBACB2，注成等比數(shù)列的必要而不充分條件。4前項(xiàng)和公式111QAQANSN5等比數(shù)列的基本性質(zhì)，,NPM其中反之不真QNAAPNM，則若2AQMNN，為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列。N仍成等比數(shù)列。，時(shí)，NNNSSQ23216等比數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化是等差數(shù)列是等比數(shù)列；NA10CCNA，是正項(xiàng)等比數(shù)列是等差數(shù)列；LOGNC，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列。NNA7等比數(shù)列的判定法定義法為等比數(shù)列；（常數(shù)）QAN1N中項(xiàng)法為等比數(shù)列；0221NNAN通項(xiàng)公式法為等比數(shù)列；前項(xiàng)和法為常數(shù)）QK,AN為等比數(shù)列。為常數(shù)）（QKSNN,1NA課前熱身1如果1，9成等比數(shù)列，那么（）CBA,2在等比數(shù)列中，若，則此數(shù)列的前10項(xiàng)之積等于（）N206574A31310422NF設(shè)）（等于，則FN4已知數(shù)列是等比數(shù)列，且NAMMSS3201，則，5在數(shù)列中，若，則通項(xiàng)131NANN，NA典例精析一、等比數(shù)列的基本運(yùn)算與判定運(yùn)用等比數(shù)列的基本公式，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于等比數(shù)列的特征量，的方程是求解等比數(shù)列問題1Q的常用方法之一，同時(shí)應(yīng)注意在使用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)充分討論公比是否等于1；N應(yīng)用定義判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列是最直接，最有依據(jù)的方法，也是通法，若判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列可用恒成立，也可用恒成立，若判定一個(gè)數(shù)不是等比數(shù)列則只需（常數(shù)）QAN1221NNA舉出反例即可，也可以用反證法。二、性質(zhì)運(yùn)用例2在等比數(shù)列中，N143612NAAA，求，NA若NTT求,LGLG21總結(jié)提高1方程思想，即等比數(shù)列中5個(gè)量，一般可“知三求二”，通過求和與通項(xiàng)兩公式列NA1NQNAS方程組求解。2“錯(cuò)位相減法”求和是解決由等差數(shù)列和等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列求和的常用方法。NNBNBA3對(duì)于已知數(shù)列遞推公式與的混合關(guān)系式，利用公式，再引入輔助數(shù)列，NANS21SANN轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題求解。4分類討論思想當(dāng)0，1或0，01時(shí)，為遞減數(shù)列；1的等比數(shù)列，若的兩根，則Q03842054X是方程和2098A5數(shù)列的前項(xiàng)和21，數(shù)列滿足（）。NANSANBNNBA113，N求證為等比數(shù)列；求數(shù)列的前項(xiàng)和。NBNT1在正數(shù)等比數(shù)列中，是方程的兩個(gè)根，則的值為（）NA191602X60540A2已知等比數(shù)列的公比為（為實(shí)數(shù)），前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列，則等于（QNNS93S，3Q）3設(shè)等差數(shù)列的公差不為零，9，若的等比中項(xiàng)，則等于（）NAD1ADKKA21與是K4已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和（）SN，則35在等比數(shù)列中，N_,6326515A則，三、解答題8有四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為16，且第4個(gè)數(shù)與第2個(gè)數(shù)的比也是16，求這四個(gè)數(shù)。64數(shù)列求和知識(shí)要點(diǎn)求數(shù)列前項(xiàng)和的基本方法N直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和；112211QANSDNNN公比含字母時(shí)一定要討論。為無窮遞縮等比數(shù)列時(shí)，NAQAS1錯(cuò)位相減法求和如為等差數(shù)列，為等NANB比數(shù)列，求的和。NB21分組求和把數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和。合并求和如求的和。222197810裂項(xiàng)相消法求和把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)。常見拆項(xiàng)11212121NNNNN公式法求和2131261NKNN倒序相加法求和其它求和法如歸納猜想法、奇偶法等。2直接用公式求和時(shí)，要注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過程。求一般數(shù)列的前項(xiàng)和，無通法可循，為此平N時(shí)要注意掌握某些特殊數(shù)列前項(xiàng)和的求法。數(shù)列求和時(shí)，要注意觀察它的特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和。課前熱身1設(shè)數(shù)列22321211NDCBASSNNN的值為（）則，項(xiàng)和為的前，2已知數(shù)列的前項(xiàng)和NA210975350311）（，則DCBASNSNN等于（1374N）131322NDNCBA4數(shù)列是等差數(shù)列，A20650S項(xiàng)和，則前典例精析一、錯(cuò)位相減法求和例1求和NNAA321點(diǎn)撥若數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，NANB則求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位B相減法；當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為字母時(shí)，應(yīng)對(duì)字母是否為1進(jìn)行討論；當(dāng)將與相減合并同類項(xiàng)時(shí)，注意錯(cuò)NSQ位及未合并項(xiàng)的正負(fù)號(hào)。二、裂項(xiàng)相消法求和例2數(shù)列滿足8，NA1（）024NA，且N求數(shù)列的通項(xiàng)公式；N設(shè)14NABN（）求TNNNBBT21N故的最大整數(shù)值為5。M點(diǎn)撥若數(shù)列的通項(xiàng)能轉(zhuǎn)化為NA的形式，常采用裂項(xiàng)相消法求和。1FNF使用裂項(xiàng)消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)。數(shù)學(xué)門診已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且NSNAN，232求證數(shù)列為等比數(shù)列；N1數(shù)列的前,21,84,132,N項(xiàng)和為（）N2121244NNDNCBA233445（1）（2）等于（）321636NDNCBA課外練習(xí)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若NANS等于（）51SNA，則3016DCBA化簡(jiǎn)的結(jié)1221NNNS果是合適。答案，時(shí)，時(shí)，解令DSNSCBANN4211已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，NAN已知奇函數(shù)24162809171605，則，DCBAS二、填空題3設(shè)等比數(shù)列的公比與前項(xiàng)和分別為和NAQ，且1，NSQ102108SS，則6數(shù)列滿足NANN，則數(shù)列的前項(xiàng)和為12B又B三、解答題8設(shè)數(shù)列滿足NA（）33121NAANN求數(shù)列的通項(xiàng)公式；NN設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和NABNBNS9已知數(shù)列滿足NA321NA求數(shù)列的通項(xiàng)公式；N65數(shù)列的綜合應(yīng)用知識(shí)要點(diǎn)一、數(shù)列綜合問題中應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想1用函數(shù)的觀點(diǎn)與思想認(rèn)識(shí)數(shù)列，將數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式視為定義在自然數(shù)集上的函數(shù)；2用方程的思想處理數(shù)列問題，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列基本量的方程；3用轉(zhuǎn)化化歸的思想探究數(shù)列問題，將問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的研究；4數(shù)列綜合問題常常應(yīng)用分類討論思想，特殊與一般思想，類比聯(lián)想思想，歸納猜想思想等。二、解決問題的主要思路有1把綜合問題分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的問題2把綜合問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題3通過觀察，探索問題的一般規(guī)律性4建立數(shù)列模型，使用模型解決問題三、實(shí)際問題的數(shù)列模型依據(jù)實(shí)際問題的遞推、等差、等比情境，將問題轉(zhuǎn)換為遞推數(shù)列、等差數(shù)列和等比數(shù)列，建立數(shù)列模型探究和解決實(shí)際應(yīng)用問題。課前熱身某種細(xì)胞開始有2個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去1個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去1個(gè)，按此規(guī)律，6小時(shí)后細(xì)胞成活的個(gè)數(shù)是（）A63B65C67D71根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果、預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開始的幾個(gè)月內(nèi)積累的需求量（萬件）近似的滿足NS按此預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過15萬件的月份是（），1252190NNSA5月，6月B6月，7月C7月，8月D8月，9月過圓內(nèi)一點(diǎn)5，3有條弦,其長(zhǎng)度組成等差數(shù)列,且最小弦長(zhǎng)為數(shù)列的首項(xiàng)，最大XYX2KNA1弦長(zhǎng)為M末項(xiàng)，若公差，則最大值為（）KA32,1DA5B6C7D8某工廠2003年至2006年的產(chǎn)量和為100噸，2005年至2008年的產(chǎn)量和為121噸，則該工廠從2003年到2008年平均增長(zhǎng)率為典例精析1、數(shù)列模型實(shí)際應(yīng)用問題例2某縣位于沙漠地帶，人與自然長(zhǎng)期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到2007年底全縣的綠化率已達(dá)30，從2008年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面即原有沙漠面積的16將被綠化，與此同時(shí)，由于各種原因，原有綠化面積的4又被沙化。設(shè)全縣面積為1，2007年底綠化面積為，經(jīng)過年綠化面積為，求證103AN1NA2541NNA至少需要多少年（取整數(shù)）的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60點(diǎn)撥解決此類問題的關(guān)鍵是如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過反復(fù)讀題，列出有關(guān)信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的有關(guān)問題。數(shù)學(xué)門診從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上一年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)51的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上一年增加。41設(shè)第年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為，寫出、的表達(dá)式。NNANBNAB至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入總結(jié)提高1數(shù)列模型應(yīng)用問題的求解策略認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意；依據(jù)問題情境，構(gòu)造等差、等比數(shù)列，然后應(yīng)用通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式以及性質(zhì)求解，或通過探索、N歸納構(gòu)造遞推數(shù)列求解。驗(yàn)證、反思結(jié)果與實(shí)際是否相符。2數(shù)列綜合問題的求解策略數(shù)列與函數(shù)綜合問題或應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)列問題，或以函數(shù)為載體構(gòu)造數(shù)列，應(yīng)用數(shù)列的知識(shí)求解；數(shù)列的幾何型綜合問題，探究幾何性質(zhì)和規(guī)律特征建立數(shù)列的遞推關(guān)系式，然后求解問題。課堂演練一張報(bào)紙，