2013年中考數(shù)學專題復習第十五講：二次函數(shù)的應用(含詳細參考答案)

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方程組求的函數(shù)解析式【名師提醒求二次函數(shù)解析式，根據(jù)具體同象特征靈活設不同的關系或除上述常用方法以外，還有如拋物線頂點在原點可設以Y軸為對稱軸，可設頂點在X軸上，可設拋物線過原點等】三、二次函數(shù)的應用1、實際問題中解決最值問題步驟1、分析數(shù)量關系建立模型2、設自變量建立函數(shù)關系3、確定自變量的取值范圍4、根據(jù)頂點坐標公式或配法結合自變量的取值范圍求出函數(shù)最值2、與一次函數(shù)或直線形圖形結合的綜合性問題一般步驟1、求一些特殊點的坐標2、將點的坐標代入函數(shù)關系式求出函數(shù)的解析式3、結合圖像根據(jù)自變量取值討論點的存在性或圖形的形狀等問題【名師提醒1、在有關二次函數(shù)最值的應用問題中一定要注意自變量的取值范圍2、有關二次函數(shù)綜合性問題中一般作為中考壓軸題出現(xiàn)，解決此類問題時要將題目分解開來，討論過程中要盡量將問題】【重點考點例析】考點一二次函數(shù)的最值例1（2012呼和浩特）已知M，N兩點關于Y軸對稱，且點M在雙曲線Y1上，2X點N在直線YX3上，設點M的坐標為（A，B），則二次函數(shù)YABX2（AB）X（）99B有最大值，最大值為2299C有最小值，最小值為D有最小值，最小值為22A有最大值，最大值為思路分析先用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出其最值即可解M，N兩點關于Y軸對稱，點M的坐標為（A，B），N點的坐標為（A，B），又點M在反比例函數(shù)Y1的圖象上，點N在一次函數(shù)YX3的圖象上，2X1B，2ABA31AB整理得2，AB3故二次函數(shù)YABX2（AB）X為Y12X3X，23291二次項系數(shù)為0，故函數(shù)有最大值，最大值為Y，2422故選B點評本題考查的是二次函數(shù)的最值求二次函數(shù)的最大（?。┲涤腥N方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法本題是利用公式法求得的最值對應訓練1（2012蘭州）已知二次函數(shù)YA（X1）2B（A0）有最小值1，則A，B的大小關系為（）AABBABCABD不能確定1A解二次函數(shù)YA（X1）2B（A0）有最小值，拋物線開口方向向上，即A0；又最小值為1，即B1，B1，AB故選A考點二確定二次函數(shù)關系式例2（2012珠海）如圖，二次函數(shù)Y（X2）2M的圖象與Y軸交于點C，點B是點C關于該二次函數(shù)圖象的對稱軸對稱的點已知一次函數(shù)YKXB的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上點A（1，0）及點B（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，寫出滿足KXB（X2）2M的X的取值范圍思路分析（1）將點A（1，0）代入Y（X2）2M求出M的值，根據(jù)點的對稱性，將Y3代入二次函數(shù)解析式求出B的橫坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)圖象和A、B的交點坐標可直接求出KXB（X2）2M的X的取值范圍解（1）將點A（1，0）代入Y（X2）2M得，（12）2M0，1M0，M1，則二次函數(shù)解析式為Y（X2）21當X0時，Y413，故C點坐標為（0，3），由于C和B關于對稱軸對稱，在設B點坐標為（X，3），令Y3，有（X2）213，解得X4或X0則B點坐標為（4，3）設一次函數(shù)解析式為YKXB，將A（1，0）、B（4，3）代入YKXB得，KB0，4KB3解得K1，則一次函數(shù)解析式為YX1；B1（2）A、B坐標為（1，0），（4，3），當KXB（X2）2M時，1X4點評本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與不等式組，求出B點坐標是解題的關鍵對應訓練2（2012佳木斯）如圖，拋物線YX2BXC經(jīng)過坐標原點，并與X軸交于點A（2，0）（1）求此拋物線的解析式；（2）寫出頂點坐標及對稱軸；（3）若拋物線上有一點B，且SOAB3，求點B的坐標2分析（1）直接把（0，0），（2，0）代入YX2BXC中，列方程組求B、C的值即可；（2）將二次函數(shù)解析式寫成頂點式，可求頂點坐標及對稱軸；（3）設點B的坐標為（A，B），根據(jù)三角形的面積公式求B的值，再將縱坐標B代入拋物線解析式求A的值，確定B點坐標解（1）把（0，0），（2，0）代入YX2BXC得C0，42B0解得B2，C0所以解析式為YX22X。（2）YX22X（X1）21，頂點為（1，1），對稱軸為直線X1。（3）設點B的坐標為（A，B），則12|B|3，2解得B3或B3，頂點縱坐標為1，31（或X22X3中，X無解）B3，X22X3，解得X13，X21所以點B的坐標為（3，3）或（1，3）。點評本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質關鍵是將拋物線上兩點坐標代入解析式，列方程組求解析式，將拋物線解析式寫成頂點式，可求頂點坐標及對稱軸考點三二次函數(shù)與X軸的交點問題例3（2012天津）若關于X的一元二次方程（X2）（X3）M有實數(shù)根X1、X2，且X1X2，有下列結論X12，X23；M1；二次函數(shù)Y（XX1）（XX2）M的圖象與X軸交點的坐標為4（2，0）和（3，0）其中，正確結論的個數(shù)是（）A0B1C2D3思路分析將已知的一元二次方程整理為一般形式，根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式大于0，列出關于M的不等式，求出不等式的解集即可對選項進行判斷；再利用根與系數(shù)的關系求出兩根之積為6M，這只有在M0時才能成立，故選項錯誤；將選項中的二次函數(shù)解析式整理后，利用根與系數(shù)關系得出的兩根之和與兩根之積代入，整理得到確定出二次函數(shù)解析式，令Y0，得到關于X的方程，求出方程的解得到X的值，確定出二次函數(shù)圖象與X軸的交點坐標，即可對選項進行判斷解一元二次方程（X2）（X3）M化為一般形式得X25X6M0，方程有兩個不相等的實數(shù)根X1、X2，B24AC（5）24（6M）4M10，解得M1，故選項正確；4一元二次方程實數(shù)根分別為X1、X2，X1X25，X1X26M，而選項中X12，X23，只有在M0時才能成立，故選項錯誤；二次函數(shù)Y（XX1）（XX2）MX2（X1X2）XX1X2MX25X（6M）MX25X6（X2）（X3），令Y0，可得（X2）（X3）0，解得X2或3，拋物線與X軸的交點為（2，0）或（3，0），故選項正確綜上所述，正確的結論有2個故選C點評此題考查了拋物線與X軸的交點，一元二次方程的解，根與系數(shù)的關系，以及根的判別式的運用，是中考中常考的綜合題對應訓練3（2012株洲）如圖，已知拋物線與X軸的一個交點A（1，0），對稱軸是X1，則該拋物線與X軸的另一交點坐標是（）A（3，0）B（2，0）CX3DX23A解拋物線與X軸的另一個交點為B（B，0），拋物線與X軸的一個交點A（1，0），對稱軸是X1，1B1，解得B3，2B（3，0）故選A考點四二次函數(shù)的實際應用例4（2012紹興）教練對小明推鉛球的錄像進行技術分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進高度Y（M）與水平距離X（M）之間的關系為Y1（X4）23，由此可知鉛球推出的距離是M12思路分析根據(jù)鉛球落地時，高度Y0，把實際問題可理解為當Y0時，求X的值即可解令函數(shù)式Y01（X4）23中，Y0，121（X4）23，12解得X110，X22（舍去），即鉛球推出的距離是10M故答案為10點評本題考查了二次函數(shù)的應用中函數(shù)式中自變量與函數(shù)表達的實際意義，需要結合題意，取函數(shù)或自變量的特殊值列方程求解是解題關鍵例5（2012重慶）企業(yè)的污水處理有兩種方式，一種是輸送到污水廠進行集中處理，另一種是通過企業(yè)的自身設備進行處理某企業(yè)去年每月的污水量均為12000噸，由于污水廠處于調(diào)試階段，污水處理能力有限，該企業(yè)投資自建設備處理污水，兩種處理方式同時進行1至6月，該企業(yè)向污水廠輸送的污水量Y1（噸）與月份X（1X6，且X取整數(shù)）之間滿足7至12月，該企業(yè)自身處理的污水量Y2（噸）與月份X（7X12，且X取整數(shù)）之間滿足二次函數(shù)關系式為Y2AX2CA0其圖象如圖所示1至6月，污水廠處理每噸污水的費用Z1（元）與月份X之間滿足函數(shù)關系式Z1與月份X之間滿足函數(shù)關系式Z21X，該企業(yè)自身處理每噸污水的費用Z2（元）2312XX；7至12月，污水廠處理每噸污水的費用均為4122元，該企業(yè)自身處理每噸污水的費用均為15元（1）請觀察題中的表格和圖象，用所學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關知識，分別直接寫出Y1，Y2與X之間的函數(shù)關系式；（2）請你求出該企業(yè)去年哪個月用于污水處理的費用W（元）最多，并求出這個最多費用；（3）今年以來，由于自建污水處理設備的全面運行，該企業(yè)決定擴大產(chǎn)能并將所有污水全部自身處理，估計擴大產(chǎn)能后今年每月的污水量都將在去年每月的基礎上增加A，同時每噸污水處理的費用將在去年12月份的基礎上增加（A30），為鼓勵節(jié)能降耗，減輕企業(yè)負擔，財政對企業(yè)處理污水的費用進行50的補助若該企業(yè)每月的污水處理費用為18000元，請計算出A的整數(shù)值（參考數(shù)據(jù)，）思路分析（1）利用表格中數(shù)據(jù)可以得出XY定值，則Y1與X之間的函數(shù)關系為反比例函數(shù)關系求出即可，再利用函數(shù)圖象得出圖象過（7，10049），（12，10144）點，求出解析式即可；（2）利用當1X6時，以及當7X12時，分別求出處理污水的費用，即可得出答案；（3）利用今年每月的污水量都將在去年每月的基礎上增加A，同時每噸污水處理的費用將在去年12月份的基礎上增加（A一30），得出等式12000（1A）151（A30）（150）18000，進而求出即可解（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可以得出XY定值，則Y1與X之間的函數(shù)關系為反比例函數(shù)關系Y1K，將（1，12000）代入得X2000（1X6，且X取整數(shù)）；XK11200012000，故Y1根據(jù)圖象可以得出圖象過（7，10049），（12，10144）點，代入Y2AX2CA0得1004949AC，10144144AC解得A1，C10000故Y2X210000（7X12，且X取整數(shù)）；（2）當1X6，且X取整數(shù)時WY1Z1（12000Y1）Z21000X210000X3000，A10000，X12000112000312）（XX），X（12000X2X412B5，1X6，2A當X5時，W最大22000（元），當7X12時，且X取整數(shù)時，W2（12000Y2）15Y22（12000X210000）15（X210000），12X1900，2A1B0，X0，22A當7X12時，W隨X的增大而減小，當X7時，W最大189755（元），22000189755，去年5月用于污水處理的費用最多，最多費用是22000元；（3）由題意得12000（1A）151（A30）（150）18000，設TA，整理得10T217T130，解得，T1057，T2227（舍去），A57，答A的值是57點評此題主要考查了二次函數(shù)的應用和根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關系式和二次函數(shù)關系式、求二次函數(shù)最值等知識此題閱讀量較大，得出正確關于A的等式方程是解題關鍵對應訓練4（2012襄陽）某一型號飛機著陸后滑行的距離Y（單位M）與滑行時間X（單位S）之間的函數(shù)關系式是Y60X15X2，該型號飛機著陸后滑行M才能停下來4600解150，函數(shù)有最大值602600，S最大值415即飛機著陸后滑行600米才能停止故答案為600點評此題主要考查了二次函數(shù)的應用，運用二次函數(shù)求最值問題常用公式法或配方法得出是解題關鍵5（2012益陽）已知如圖，拋物線YA（X1）2C與X軸交于點A（0）和點B，將拋物線沿X軸向上翻折，頂點P落在點P（1，3）處（1）求原拋物線的解析式；（2）學校舉行班徽設計比賽，九年級5班的小明在解答此題時頓生靈感過點P作X軸的平行線交拋物線于C、D兩點，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設計成一個“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠；而且小明通過計算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個“W”圖案的高與寬（CD）的比非常接近黃金分割比1（約等2于0618）請你計算這個“W”2236，2449，結果可保留根號）5考點二次函數(shù)的應用分析（1）利用P與P（1，3）關于X軸對稱，得出P點坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)已知得出C，D兩點坐標，進而得出“W”圖案的高與寬（CD）的比解（1）P與P（1，3）關于X軸對稱，P點坐標為（1，3）；拋物線YA（X1）2C過點A（，0），頂點是P（1，3），2A11C0；2A11C3解得A1；C3則拋物線的解析式為Y（X1）23，即YX22X2（2）CD平行X軸，P（1，3）在CD上，C、D兩點縱坐標為3；由（X1）233，解得X1，X2，C、D兩點的坐標分別為（，3），（，3）。“W”圖案的高與寬（CD）的比（或約等于06124）點評此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的應用，根據(jù)已知得出C，D兩點坐標是解題關鍵考點五二次函數(shù)綜合性題目例6（2012自貢）如圖，拋物線L交X軸于點A（3，0）、B（1，0），交Y軸于點C（0，3）將拋物線L沿Y軸翻折得拋物線L1（1）求L1的解析式；（2）在L1的對稱軸上找出點P，使點P到點A的對稱點A1及C兩點的距離差最大，并說出理由；（3）平行于X軸的一條直線交拋物線L1于E、F兩點，若以EF為直徑的圓恰與X軸相切，求此圓的半徑思路分析（1）首先求出翻折變換后點A、B所對應點的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線L1的解析式；（2）如圖2所示，連接B1C并延長，與對稱軸X1交于點P，則點P即為所求利用軸對稱的性質以及三角形三邊關系（三角形兩邊之差小于第三邊）可以證明此結論為求點P的坐標，首先需要求出直線B1C的解析式；（3）如圖3所示，所求的圓有兩個，注意不要遺漏解題要點是利用圓的半徑表示點F（或點E）的坐標，然后代入拋物線的解析式，解一元二次方程求出此圓的半徑解（1）如圖1所示，設經(jīng)翻折后，點A、B的對應點分別為A1、B1，依題意，由翻折變換的性質可知A1（3，0），B1（1，0），C點坐標不變，因此，拋物線L1經(jīng)過A1（3，0），B1（1，0），C（0，3）三點，設拋物線L1的解析式為YAX2BXC，則有9A3BC0ABC0C3，解得A1，B2，C3，故拋物線L1的解析式為YX22X3（2）拋物線L1的對稱軸為XB1，2A如圖2所示，連接B1C并延長，與對稱軸X1交于點P，則點P即為所求此時，|PA1PC|PB1PC|B1C設P為對稱軸X1上不同于點P的任意一點，則有|PAPC|PB1PC|B1C（三角形兩邊之差小于第三邊），故|PAPC|PA1PC|，即|PA1PC|最大設直線B1C的解析式為YKXB，則有KB0，解得KB3，B3故直線B1C的解析式為Y3X3令X1，得Y6，故P（1，6）（3）依題意畫出圖形，如圖3所示，有兩種情況當圓位于X軸上方時，設圓心為D，半徑為R，由拋物線及圓的對稱性可知，點D位于對稱軸X1上，則D（1，R），F(xiàn)（1R，R）點F（1R，R）在拋物線YX22X3上，R（1R）22（1R）3，化簡得R2R40解得R1R2（舍去），1；212此圓的半徑為當圓位于X軸下方時，同理可求得圓的半徑為綜上所述，此圓的半徑為11或22點評本題考查內(nèi)容包括二次函數(shù)的圖象與性質、待定系數(shù)法、翻折變換、軸對稱的性質、三角形三邊關系、圓的相關性質等，涉及考點較多，有一定的難度第（2）問中，注意是“兩線段之差最大”而不是“兩線段之和最大”，后者比較常見，學生們已經(jīng)有大量的訓練基礎，而前者接觸較少，但二者道理相通；第（3）問中，首先注意圓有2個，不要丟解，其次注意利用圓的半徑表示點的坐標，運用方程的思想求出圓的半徑對應訓練6（2012遵義）如圖，已知拋物線YAX2BXC（A0）的圖象經(jīng)過原點O，交X軸于點A，其頂點B的坐標為（3，（1）求拋物線的函數(shù)解析式及點A的坐標；（2）在拋物線上求點P，使SPOA2SAOB；（3）在拋物線上是否存在點Q，使AQO與AOB相似如果存在，請求出Q點的坐標；如果不存在，請說明理由6分析（1）根據(jù)函數(shù)經(jīng)過原點，可得C0，然后根據(jù)函數(shù)的對稱軸，及函數(shù)圖象經(jīng)過點（3，A的坐標（2）根據(jù)題意可得點P到OA的距離是點B到OA距離的2倍，即點P的縱坐標為代入函數(shù)解析式可得出點P的橫坐標；（3）先求出BOA的度數(shù)，然后可確定Q1OA的度數(shù)，繼而利用解直角三角形的知識求出X，得出Q1的坐標，利用二次函數(shù)圖象函數(shù)的對稱性可得出Q2的坐標解（1）由函數(shù)圖象經(jīng)過原點得，函數(shù)解析式為YAX2BX（A0），又函數(shù)的頂點坐標為（3，B32A，9A3BA解得，B3故函數(shù)解析式為Y2X，由二次函數(shù)圖象的對稱性可得點A的坐標為（6，0）；（2）SPOA2SAOB，點P到OA的距離是點B到OA距離的2倍，即點P的縱坐標為代入函數(shù)解析式得2XX，93解得X1，X2即滿足條件的點P有兩個，其坐標為P1（，P2（，（3）存在過點B作BPOA，則TANBAP故可得BOA30，設Q1坐標為（XBP，OP32XX），過點Q1作Q1FX軸，OABOQ1A，Q1OA30，故可得OF3Q1F，即2XX），解得X9或X0（舍去），經(jīng)檢驗得此時OAAQ1，OQ1A是等腰三角形，且和OBA相似即可得Q1坐標為（9，），根據(jù)函數(shù)的對稱性可得Q2坐標為（3，在拋物線上存在點Q，使AQO與AOB相似，其坐標為（9，3，）點評此題屬于二次函數(shù)的綜合題目，涉及了相似三角形的判定與性質，三角形的面積及一元二次方程的解，綜合性較強，需要我們仔細分析，分步解答【聚焦山東中考】1（2012泰安）二次函數(shù)YAX2BX的圖象如圖，若一元二次方程AX2BXM0有實數(shù)根，則M的最大值為（）A3B3C6D91考點拋物線與X軸的交點專題探究型分析先根據(jù)拋物線的開口向上可知A0，由頂點縱坐標為3得出B與A關系，再根據(jù)一元二次方程AX2BXM0有實數(shù)根可得到關于M的不等式，求出M的取值范圍即可解拋物線的開口向上，頂點縱坐標為3，B2A0，3，即B212A，4A一元二次方程AX2BXM0有實數(shù)根，B24AM0，即12A4AM0，即124M0，解得M3，M的最大值為3故選B點評本題考查的是拋物線與X軸的交點，根據(jù)題意判斷出A的符號及A、B的關系是解答此題的關鍵2（2012濱州）拋物線Y3X2X4與坐標軸的交點個數(shù)是（）A3B2C1D02A分析令拋物線解析式中X0，求出對應的Y的值，即為拋物線與Y軸交點的縱坐標，確定出拋物線與Y軸的交點坐標，令拋物線解析式中Y0，得到關于X的一元二次方程，求出方程的解有兩個，可得出拋物線與X軸有兩個交點，綜上，得到拋物線與坐標軸的交點個數(shù)解拋物線解析式Y3X2X4，令X0，解得Y4，拋物線與Y軸的交點為（0，4），令Y0，得到3X2X40，即3X2X40，分解因式得（3X4）（X1）0，解得X14，X21，34，0），（1，0），3拋物線與X軸的交點分別為（綜上，拋物線與坐標軸的交點個數(shù)為3故選A點評此題考查了拋物線與X軸的交點，以及一元二次方程的解法，其中令拋物線解析式中X0，求出的Y值即為拋物線與Y軸交點的縱坐標；令Y0，求出對應的X的值，即為拋物線與X軸交點的橫坐標3（2012濟南）如圖，濟南建邦大橋有一段拋物線型的拱梁，拋物線的表達式為YAX2BX小強騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當小強騎自行車行駛10秒時和26秒時拱梁的高度相同，則小強騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需秒336思路分析10秒時和26秒時拱梁的高度相同，則A，B一定是關于對稱軸對稱的點，據(jù)此即可確定對稱軸，則O到對稱軸的時間可以求得，進而即可求得OC之間的時間解答解如圖，設在10秒時到達A點，在26秒時到達B，10秒時和26秒時拱梁的高度相同，A，B關于對稱軸對稱則從A到B需要16秒，則從A到D需要8秒從O到D需要10818秒從O到C需要21836秒故答案是36點評本題考查了二次函數(shù)的應用，注意到A、B關于對稱軸對稱是解題的關鍵4（2012菏澤）牡丹花會前夕，我市某工藝廠設計了一款成本為10元/件的工藝品投放市場進行試銷經(jīng)過調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)（1）把上表中X、Y的各組對應值作為點的坐標，在下面的平面直角坐標系中描出相應的點，猜想Y與