2016年海南省高考數(shù)學(xué)文科模擬試卷（11）含答案解析

第 1 頁（共 20 頁） 2016 年海南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（ 11） 一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1已知集合 P=0， 1， 2， Q=y|y=3x，則 PQ 的子集的個數(shù)是（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 2已知 i 為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) =（ ） A i B + i C i D + i 3已知函數(shù) f（ x）關(guān)于直線 x= 2 對稱，且周期為 2，當(dāng) x 3， 2時(shí)， f（ x） =（ x+2）2，則 f（ ） =（ ） A 0 B C D 1 4已知 a R，則 “3a 3”是 “a 1”的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 5已知 l， m， n 是三條不同的直線， ， 是兩個不同的平面，下列命題為真命題的是（ ） A若 l m， l n， m， n，則 l B若 l ， ， m，則 l m C若 l m， m，則 l D若 l ， ， m，則 l m 6若直線 y+1=0 與直線 2x+y+2=0 平行，則 a 的值為（ ） A 2 B 1 C D 1 7某?，F(xiàn)有高一學(xué)生 210 人，高二學(xué)生 270 人，高三學(xué)生 300 人，學(xué)校學(xué)生會用分層抽樣的方法從這三個年級的學(xué)生中隨機(jī)抽取 n 名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，如果已知從高一學(xué)生中抽取的人數(shù)為 7，那么從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為（ ） A 10 B 9 C 8 D 7 8依次連接正六邊形各邊的中點(diǎn)，得到一個小正六邊形，再依次 連接這個小正六邊形各邊的中點(diǎn)，得到一個更小的正六邊形，往原正六邊形內(nèi)隨機(jī)灑一粒種子，則種子落在最小的正六邊形內(nèi)的概率為（ ） A B C D 9已知等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 ， 2，定義 1=a1+1 為數(shù)列前 n 項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng)之和，則 1=（ ） A 26n+4 B 3n+2 C 22n D n 第 2 頁（共 20 頁） 10設(shè) x， y 均為正數(shù)，且 ，則 最小值為（ ） A 1 B 3 C 6 D 9 11在 ，角 A， B， C 所對的邊分別為 a， b， c，已知 = c=2，則 積的最大值為（ ） A 2 B 1 C D 12如圖所示，已知橢圓 C： + 的左、右焦點(diǎn)分別為 M 與 C 的焦點(diǎn)不重合，分別延長 P， Q，使得 = ， = ， D 是橢圓 C 上一點(diǎn)，延長 N，若 = + ，則 |（ ） A 10 B 5 C 6 D 3 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） 13函數(shù) f（ x） =5x 125）的定義域?yàn)?14如圖是一個算法的流程圖，則最后輸出的 S 是 15某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的四個面中，面積最大的面的面積是 第 3 頁（共 20 頁） 16已知數(shù)列 等比數(shù)列，若 a1+，則 值為 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分 明過程或演算步驟 .） 17已知函數(shù) f（ x） =2 （ 1）求函數(shù) f（ x）的最小正周期； （ 2）求函數(shù) y=f（ x）在 ， 上的值域 18某市為增強(qiáng)市民的環(huán)境 保護(hù)意識，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取 100 名按年齡分組：第 1 組 20， 25），第 2 組 25， 30），第 3 組 30， 35），第4 組 35， 40），第 5 組 40， 45，得到的頻率分布直方圖如圖所示 （ ）若從第 3， 4， 5 組中用分層抽樣的方法抽取 6 名志愿者參廣場的宣傳活動，應(yīng)從第 3，4， 5 組各抽取多少名志愿者？ （ ） 在（ 1）的條件下，該市決定在第 3， 4 組的志愿者中隨機(jī)抽取 2 名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，求第 4 組至少有一名志愿者被抽中的概率 19如圖所示，在直三棱柱 ， D、 M、 N 分別是 中點(diǎn) （ ）求證： 平面 （ ）再若 C， 在 找一點(diǎn) F，使 平面 證明你的結(jié)論 第 4 頁（共 20 頁） 20已知拋物線 C： p 0）的焦點(diǎn)為 F， A 為 C 上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn) （ 1）若直線 l 過焦點(diǎn) F，且與拋物線 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，若 F 是 一個靠 近點(diǎn) B 的三等分點(diǎn)，且點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 1，弦長 時(shí)，求拋物線 C 的方程； （ 2）在（ 1）的條件下，若 M 是拋物線 C 上位于曲線 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，不含端點(diǎn) A，B）上的一點(diǎn)，求 最大面積 21設(shè)函數(shù) f（ x） = 2+2 （ 1）當(dāng) a=1 時(shí)，求函數(shù) f（ x）在區(qū)間 ， 2上的最值； （ 2）若 f（ x） 2 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 選修 4何證明選講 22如圖所示， 圓 O 的切線， A 為切點(diǎn)， 于圓 O 與 B， C 兩點(diǎn)， 0， ， 角平分線與 圓 O 分別交于點(diǎn) D 和 E （ ）求 = ； （ ）求 E 的值 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23在直角坐標(biāo)系中，曲線 參數(shù)方程為： （ 為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為 極軸，并取與直角坐標(biāo)系相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，曲線 極坐標(biāo)方程為： = （ I）求曲線 直角坐標(biāo)方程； （ ）若 P， Q 分別是曲線 的任意一點(diǎn)，求 |最小值 選修 4等式選講 24已知 a， b， c 為非零實(shí)數(shù)，且 a2+b2+ m=0， +1 2m=0 （ 1）求證 （ 2）求實(shí)數(shù) m 的 取值范圍 第 5 頁（共 20 頁） 2016 年海南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（ 11） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1已知集合 P=0， 1， 2， Q=y|y=3x，則 PQ 的子集的個數(shù)是（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 【考點(diǎn)】 子集與真子集 【分析】 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解關(guān)于 Q 的不等式，求出集合的交集即可 【解答】 解： P=0， 1， 2， Q=y|y=3x=y|y 0， PQ=1， 2， PQ 的子集的個數(shù)是 22=4， 故選： C 2已知 i 為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) =（ ） A i B + i C i D + i 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡即可得答案 【解答】 解： ， 故選： A 3已知函數(shù) f（ x）關(guān)于直線 x= 2 對稱，且周期為 2，當(dāng) x 3， 2時(shí)， f（ x） =（ x+2）2，則 f（ ） =（ ） A 0 B C D 1 【考點(diǎn)】 函數(shù)的值 【分析】 根據(jù)函數(shù)的周期性及對稱性求出函數(shù)的值即可 【解答】 解： 函數(shù) f（ x）關(guān)于直線 x= 2 對稱，且周期為 2，當(dāng) x 3， 2時(shí)， f（ x）=（ x+2） 2， ， 故選： B 4已知 a R，則 “3a 3”是 “a 1”的（ ） 第 6 頁（共 20 頁） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】 必 要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 根據(jù)充分必要條件的定義以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可 【解答】 解：由 3a 3，得 a 1； 由 a 1，得 3a 3， 則 “3a 3”是 “a 1”的充要條件， 故選： C 5已知 l， m， n 是三條不同的直線， ， 是兩個不同的平面，下列命題為真命題的是（ ） A若 l m， l n， m， n，則 l B若 l ， ， m，則 l m C若 l m， m，則 l D若 l ， ， m，則 l m 【考點(diǎn)】 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 【分析】 利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解 【解答】 解：若 l m， l n， m， n， 則當(dāng) m 與 n 相交時(shí)， l ，故 A 錯誤； 若 l ， ， m， 則 l ，所以 l m，故 B 正確； 若 l m， m，則 l 或 l，故 C 錯誤； 若 l ， ， m，則 l 與 m 相交、平行或異面，故 D 錯誤 故選： B 6若直線 y+1=0 與直線 2x+y+2=0 平行，則 a 的值為（ ） A 2 B 1 C D 1 【考點(diǎn)】 直線的一般式方程與 直線的平行關(guān)系 【分析】 利用直線平行的充要條件即可得出 【解答】 解： 直線 y+1=0 與直線 2x+y+2=0 平行， ，解得 a= 2， 故選： A 7某?，F(xiàn)有高一學(xué)生 210 人，高二學(xué)生 270 人，高三學(xué)生 300 人，學(xué)校學(xué)生會用分層抽樣的方法從這三個年級的學(xué)生中隨機(jī)抽取 n 名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，如果已知從高一學(xué)生中抽取的人數(shù)為 7，那么從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為（ ） A 10 B 9 C 8 D 7 【考點(diǎn)】 分層抽樣方法 【分析】 本題是一個分 層抽樣問題，根據(jù)所給的高一學(xué)生的總數(shù)和高一學(xué)生抽到的人數(shù)，可以做出每個個體被抽到的概率，根據(jù)這個概率值做出高三學(xué)生被抽到的人數(shù) 【解答】 解： 由題意知高一學(xué)生 210 人，從高一學(xué)生中抽取的人數(shù)為 7 可以做出每 =30 人抽取一個人， 從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為 =10 第 7 頁（共 20 頁） 故選 A 8依次連接正六邊形各邊的中點(diǎn)，得到一個小正六邊形，再依次連接這個小正六邊形各邊的中點(diǎn)，得到一個更小的正六邊形，往原 正六邊形內(nèi)隨機(jī)灑一粒種子，則種子落在最小的正六邊形內(nèi)的概率為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 幾何概型 【分析】 求出最小的正六邊形 邊長，可得其面積，計(jì)算正六邊形 可求出種子落在最小的正六邊形內(nèi)的概率 【解答】 解：如圖，原正六邊形為 小的正六邊形為 設(shè) AB=a，由已知得， 0，則 ， 0， a， 即中間正六邊形的邊長 a，以此類推，最小的正六邊形 邊長等于， 所以由幾何概型 得，種子落在最小的正六邊形內(nèi)的概率為， 故選： B 9已知等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 ， 2，定義 1=a1+1 為數(shù)列前 n 項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng)之和，則 1=（ ） A 26n+4 B 3n+2 C 22n D n 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 根據(jù)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式和 ， 2 求出 n 2，繼而得到數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公差為 2d=4 的等差數(shù)列，再求和即可 第 8 頁（共 20 頁） 【解答】 解：由已知得 ，解得 ， 所以 n 2，所以數(shù)列 1是首項(xiàng)為 ，公差為 2d=4 的等差數(shù)列， 所以則 1=n 0+ n（ n 1） 4=22n 故選： C 10設(shè) x， y 均為正數(shù)，且 ，則 最小值為（ ） A 1 B 3 C 6 D 9 【考點(diǎn)】 基本不等式 【分析】 由已知式子變形可得 xy=x+y+3，由基本不等式可得 2 +3，解關(guān)于 的一元二次不等式可得 【解答】 解： x， y 均為正數(shù) ，且 + = ， = ，整理可得 xy=x+y+3， 由基本不等式可得 2 +3， 整理可得（ ） 2 2 3 0， 解得 3，或 1（舍去） 9，當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時(shí)取等號， 故選： D 11在 ，角 A， B， C 所對的邊分別為 a， b， c，已知 = c=2，則 積的最大值為（ ） A 2 B 1 C D 【考點(diǎn)】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由正弦定理化簡已知等式，代入余弦定理可求 值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求 值，根據(jù)基本不等式可求 最大值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可得解 積的最大值 【解答】 解：由正弦定理得： ，即 ， 代入余弦定理得： ， 所以： ， 第 9 頁（共 20 頁） 又：由 ， c=2， 得： ， 解得： ， 所以： 積為 ， 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號成立， 故 積的最大值為 ， 故選： D 12如圖所示，已知橢圓 C： + 的左、右焦點(diǎn)分別為 M 與 C 的焦點(diǎn)不重合，分別延長 P， Q，使得 = ， = ， D 是橢圓 C 上一點(diǎn)，延長 N，若 = + ，則 |（ ） A 10 B 5 C 6 D 3 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單 性質(zhì) 【分析】 由向量線性運(yùn)算的幾何意義可得 ，故而 是 ，于是 =5a 【解答】 解： ，即 ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 第 10 頁（共 20 頁） ， ， ， 根據(jù)橢圓的定義，得 |2a=4， ， 故選 A 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） 13函數(shù) f（ x） =5x 125）的定義域?yàn)?（ 3， +） 【考點(diǎn)】 函數(shù)的定義域及其求法 【分析】 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，得到關(guān)于 x 的不等式，求出函數(shù)的定義域即可 【解答】 解：由題意得： 5x 125 0， 解得： x 3， 即函數(shù) f（ x） =5x 125）的定義域?yàn)椋?3， +）， 故答案為：（ 3， +） 14如圖是一個算法的流程圖，則最后輸出的 S 是 9 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 S， n 的值，當(dāng) n=7 時(shí)不滿足條件 n 6，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 9 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 S=0， n=1 滿足條件 n 6， S= 1， n=3 滿足條件 n 6， S= 4， n=5 滿足條件 n 6， S= 9， n=7 不滿足條件 n 6，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 9 故答案為： 9 15某三棱錐的三視圖 如圖所示，則該三棱錐的四個面中，面積最大的面的面積是 第 11 頁（共 20 頁） 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱錐，由三視圖求出幾何體的棱長、并判斷出線面的位置關(guān)系，由勾股定理、余弦定理、三角形的面積公式求出各個面的面積，即可得幾何體的各面中面積最大的面的面積 【解答】 解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱錐 P 直觀圖如圖所示：由圖得， 平面 ， ， ， 則 ， 在 ， ， 由余弦定理得： ， 則 ，所以 ， 所以三棱錐中，面積最大的面是 面積為 ， 故答案為： 16已知數(shù)列 等比數(shù)列，若 a1+，則 值為 64 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 第 12 頁（共 20 頁） 【分析】 由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)出 = ，由此能求出結(jié)果 【解答】 解： 數(shù)列 等比數(shù)列， a1+， = = = =82=64 故答案為： 64 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分 證明過程或演算步驟 .） 17已知函數(shù) f（ x） =2 （ 1）求函數(shù) f（ x）的最小正周期； （ 2）求函數(shù) y=f（ x）在 ， 上的值域 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法 【分析】 （ 1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得 f（ x） = 2x+ ） 1，由三角函數(shù)的周期性及其求法即可求得函數(shù) f（ x）的最小正周期 （ 2）由 x ， ，可求 2x+ 的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得 2x+ ）的范圍，從而可求函數(shù) y=f（ x）在 ， 上的值域 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2 1 = 2x+ ） 1， 由三角函數(shù)的周期性及其求法可得函數(shù) f（ x）的最小正周期 T= （ 2） x ， ， 2x+ ， ， 2x+ ） ， 1， y=f（ x） = 2x+ ） 1 2， ， 函數(shù) y=f（ x）在 ， 上的值域是： 2， 第 13 頁（共 20 頁） 18某市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取 100 名按年齡分組：第 1 組 20， 25），第 2 組 25， 30），第 3 組 30， 35），第4 組 35， 40），第 5 組 40， 45，得到的頻率分布直方圖如圖所示 （ ）若從第 3， 4， 5 組中 用分層抽樣的方法抽取 6 名志愿者參廣場的宣傳活動，應(yīng)從第 3，4， 5 組各抽取多少名志愿者？ （ ） 在（ 1）的條件下，該市決定在第 3， 4 組的志愿者中隨機(jī)抽取 2 名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，求第 4 組至少有一名志愿者被抽中的概率 【考點(diǎn)】 等可能事件的概率；頻率分布直方圖 【分析】 （ ）先分別求出這 3 組的人數(shù)，再利用分層抽樣的方法即可得出答案； （ ）從 5 名志愿者中抽取 2 名志愿者有 10 種情況，其中第 4 組的 2 名志愿者 少有一名志愿者被抽中有 7 種情況，再利用 古典概型的概率計(jì)算公式即可得出 【解答】 解：（ ） 第 3 組的人數(shù)為 100=30，第 4 組的人數(shù)為 100=20，第 5 組的人數(shù)為 100=10 因?yàn)榈?3， 4， 5 組共有 60 名志愿者， 所以利用分層抽樣的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者， 每組抽取的人數(shù)分別為：第 3 組： 6=3； 第 4 組： 6=2； 第 5 組： 6=1 所以 應(yīng)從第 3， 4， 5 組中分別抽取 3 人， 2 人， 1 人； （ ） 記第 3 組的 3 名志愿者為 4 組的 2 名志愿者為 則從 5 名志愿者中抽取 2 名志愿者有： （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 有 10 種 其中第 4 組的 2 名志愿者 少有一名志愿者被抽中的有： （ （ （ （ （ （ （ 共有 7 種 所以第 4 組至少有一名志愿者被抽中的概率為 19如圖所示，在直三棱柱 ， D、 M、 N 分別是 中點(diǎn) （ ）求證： 平面 （ ）再若 C， 在 找一點(diǎn) F，使 平面 證明你的結(jié)論 第 14 頁（共 20 頁） 【考點(diǎn)】 直線與平面垂直的性質(zhì)；直線與平面平行的判定 【分析】 （ ）連接 H 為 中點(diǎn)），由 M、 N 分別為 中點(diǎn)可得， 平面 面 可證明 平面 （ ）作 E，延長 F，連接 平面 據(jù) 平面 面 D=D，滿足線面垂直的判定定理，則 平面 【解答】 解：（ ）證明：連接 H 為 中點(diǎn)），由 M、 N 分別為 中點(diǎn)可得， 面 面 平面 由 直三棱柱，從而有 平面 （ ）解：作 E，延長 F，連接 平面 F 即為所求 平面 面 D=D， 平面 此時(shí)點(diǎn) F 為靠近 B 的四等分點(diǎn) 20已知拋物線 C： p 0）的焦點(diǎn)為 F， A 為 C 上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn) （ 1）若直線 l 過焦點(diǎn) F，且與拋物線 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，若 F 是 一個靠近點(diǎn) B 的三等分點(diǎn)，且點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 1，弦長 時(shí)，求拋物線 C 的方程； （ 2）在（ 1）的條件下，若 M 是拋物線 C 上位于曲線 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，不含端點(diǎn) A，B）上的一點(diǎn)，求 最大面積 【考點(diǎn)】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 （ 1）求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用 =2 ，且點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 1，可得 由拋物線的定義，可得弦長公式，解方程可得 p，進(jìn)而得到拋物線的方程； 第 15 頁（共 20 頁） （ 2）求得 A， B 的坐標(biāo)和直線 方程，當(dāng)與直線 行的直線與拋物線 C 相切于第一象限的點(diǎn) M 時(shí)， 面積取得最大值求得曲線對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切點(diǎn) M 的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)的距離公式，可得三角形的面積的最大值 【解答】 解：（ 1）拋物線 C： 焦點(diǎn) F（ ， 0），準(zhǔn)線 l： x= ， 設(shè)點(diǎn) A（ =2 ，且點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 1， 則 ， 由拋物線的定義，得 ， 解得 p=4， 所以拋物線 C 的方程為 x （ 2）由（ 1）得，焦點(diǎn) F（ 2， 0）， 將 x=1 代入拋物線 C： x 中，得 ，得點(diǎn) ； 將 x=4 代入拋物線 C： x 中，得 ，得點(diǎn) 當(dāng)取點(diǎn) 時(shí)，點(diǎn) ， 此時(shí)直線 方程為 當(dāng)與直線 行的直線與拋物線 C 相切于第一象限的點(diǎn) M 時(shí)， 面積取得最大值 由 x（ y 0），得 ，取導(dǎo)數(shù) ， 令 ，得 將 代入拋物線 C： x 中，得 所以當(dāng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 時(shí)， 面積取得最大值， 此時(shí)點(diǎn) M 到直線 的距離是 ， ， 所以 最大面積是 當(dāng)取點(diǎn) 時(shí)，點(diǎn) ， 同理，也驗(yàn)證 最大面積是 ； 綜上， 最大面積是 第 16 頁（共 20 頁） 21設(shè)函數(shù) f（ x） = 2+2 （ 1）當(dāng) a=1 時(shí)，求函數(shù) f（ x）在區(qū)間 ， 2上的最值； （ 2）若 f（ x） 2 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 （ 1）求得 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于 0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于 0，可得減區(qū)間，即可得到最小值求得端點(diǎn)處的函數(shù)值，可得最大值； （ 2）求出 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，討論 a=0， a 0， a 0，判斷單調(diào)性，可得最小值，解不等式即可得到所求 a 的范圍 【解答】 解：（ 1）當(dāng) a=1 時(shí)， ，其定義域?yàn)椋?0， +）， 則 f（ x） = + = ， 令 f（ x） 0，得 0 x 1；令 f（ x） 0，得 x 1， 所以函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ 0， 1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ 1， +）上單調(diào)遞增， 所以函數(shù) f（ x）在區(qū)間 上的最小值為 f（ 1） =0； 又 ， f（ 2） = 1+2 ， 所以 ， 所以函數(shù) f（ x）在區(qū)間 上的最大值為 （ 2） ， 當(dāng) a 0 時(shí)，令 f（ x） 0，得 ；令 f（ x） 0，得 ， 所以函數(shù) f（ x）在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增 所以函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ 0， +）上的最小值為 ； 若 f（ x） 2 恒成立，則 ，即 2a 2 2 2，即 2a（ 1 0， 又因?yàn)?a 0，所以 1 0，解得 a e，所以 0 a e； 當(dāng) a=0 時(shí)， 恒成立，所以 a=0 符合題意； 當(dāng) a 0 時(shí) ，令 f（ x） 0，得 ；令 f（ x） 0，得 ， 所以函數(shù) f（ x）在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減 數(shù)形結(jié)合易知，一定存在某個 0，使得在區(qū)間（ +）上， 第 17 頁（共 20 頁） 函數(shù) 的圖象在函數(shù) y= 2圖象的下方， 即滿足 ，即 ，即 f（ x） 2 所以