1.2排列與組合1.ppt

1.2排列與組合,(一),1.2.1排列,教學(xué)目標(biāo)：1.知道排列的有關(guān)概念及計算方法。并能解決一些簡單應(yīng)用題。2.推導(dǎo)排列數(shù)的兩個公式，理解并掌握解決排列應(yīng)用題的常用方法。3.培養(yǎng)學(xué)生一題多解和一題多變的能力。重點：理解概念，公式推導(dǎo)。難點：排列問題的綜合應(yīng)用,做一件事情，完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有.種不同的方法,N=m1+m2+mn,分類加法計數(shù)原理,N=m1m2mn,做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有_種不同的方法.,分步乘法計數(shù)原理,復(fù)習(xí)引入：,例9中我們看到,用分步乘法計數(shù)原理解決這個問題時,因做了一些重復(fù)性工作而顯得繁瑣,能否對這一類計數(shù)問題給出一種簡捷的方法呢?,問題1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項活動，其中1名同學(xué)參加上午的活動，另1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的選法？,分析：把題目轉(zhuǎn)化為從甲、乙、丙3名同學(xué)中選2名，按照參加上午的活動在前，參加下午的活動在后的順序排列，求一共有多少種不同的排法？,探究,為了尋求簡便的計數(shù)方法，我們先來分析這類問題的兩個簡單例子.,甲丙,甲乙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙,第一步：確定參加上午活動的同學(xué)即從3名中任選1名，有3種選法.,第二步：確定參加下午活動的同學(xué)，有2種方法,根據(jù)分步計數(shù)原理：32=6即共6種方法。,上午,下午,相應(yīng)的排法,把上面問題中被取的對象叫做元素,于是問題就可以敘述為：,從3個不同的元素a,b,c中任取2個，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？,ab,ac,ba,bc,ca,cb,問題2：從1，2，3，4這4個數(shù)中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？,分析：解決這個問題分三個步驟：第一步，確定百位上的數(shù)字，在4個數(shù)字中任取1個，有4種方法；第二步，確定十位上的數(shù)字，從余下的3個數(shù)字中取，有3種方法；第三步，確定個位上的數(shù)字，從余下的2個數(shù)字中取，有2種方法。,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有43224種不同的排法。如下圖所示,有此可寫出所有的三位數(shù)：123，124，132，134，142，143;213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342;412，413，421，423，431，432。,同樣，問題可以歸結(jié)為：,從個不同的元素a，b，c，d中任取個，然后按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？,abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.,探究：上面兩個問題有什么共同特征？你能將它們推廣到一般的情形嗎？,(1)有順序的(2)不論是排列之前，還是之后，所有的元素都不相同。,一般的，從n個不同的元素中取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。,排列的定義：,排列的特征,(1)排列問題實際包含兩個過程：,先從n個不同元素中取出m個不同的元素;,再把這m個不同元素按照一定的順序排成一列.,(2)兩個排列相同的條件：,元素完全相同;,元素的排列順序也相同.,例1下列問題中哪些是排列問題？,（1）10名學(xué)生中抽2名學(xué)生開會的選法；,（2）10名學(xué)生中選2名做正、副組長的選法；,（3）從2,3,5,7,11中任??；兩個數(shù)相乘積的個數(shù),（4）從2,3,5,7,11中任取兩個數(shù)相除商的個數(shù)；,（6）以圓上的10個點為端點作弦的條數(shù)；,（7）以圓上的10個點中的某一點為起點，作過另一個點的射線的條數(shù)；,（8）有10個車站，共需要多少種車票；,（5）安排5個學(xué)生為班里的5個班干部，每人一個職位.,24578,“排列數(shù)”是指從n個不同元素中，任取m個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)；所以符號只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列.,排列數(shù)：,從n個不同的元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的排列數(shù)。用符號表示。,“排列”和“排列數(shù)”有什么區(qū)別和聯(lián)系？,“一個排列”是指：從n個不同元素中，任取m個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；,問題1中是求從3個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)，記為:,問題2中是求從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)，記為:,從n個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)是多少？,同理可以這樣計算,一般地可以這樣計算：,（3）共有m個因數(shù),排列數(shù)公式,觀察排列數(shù)公式有何特征：,（1）第一個因數(shù)是n，后面每一個因數(shù)比它前面一個因數(shù)少1,（2）最后一個因數(shù)是nm1,n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，這時公式中的n=m，即有:,就是說，n個不同元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積，,正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示，,所以n個不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成,另外，我們規(guī)定0!1,例1計算：,17,14,例3某年全國足球甲級（A組）聯(lián)賽共有14個隊參加，每隊要與其余各隊在主、客場分別比賽一次，求總共要進行多少場比賽.,解：任意兩隊間進行1次主場比賽與1次客場比賽，對應(yīng)于從14個元素中任取2個元素的一個排列因此，比賽的總場次是,=1413=182.,例4（1）從5本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）從5種不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？,(種),(種),解法一：直接法,0是“特殊元素”，特殊元素要特殊（優(yōu)先）處理。,有限制條件的排列問題,1特殊元素、特殊位置問題,例5用0到9這十個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？,對排列方法分步思考。,求總數(shù)：從0到9這十個數(shù)字中任取三個數(shù)字的排列數(shù)為:,解法三：間接法.,所求的三位數(shù)的個數(shù)是:,求以0為排頭的排列數(shù)為:,從總數(shù)中去掉不合條件的排列的種數(shù),解法二：直接法,第一類：每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有,第二類：個位數(shù)字是0的三位數(shù)有,第三類：十位數(shù)字是0的三位數(shù)有,符合條件的三位數(shù)的個數(shù)是:,小結(jié)一：對于“在”與“不在”等有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)限法）。,練習(xí)（1）用0,1,2,3,4,5可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；,解法1（位置分析法）首位是特殊位置，0不能排，有5種排法,其余4個位置有A45種排法，由乘法原理知共有5A45=55432=600,解法2.（間接法）6個數(shù)中取5個數(shù)的排列減去0排首位的排列，共有:A56-A45=600,第二類：個位不是0,個位有兩種排法，首位有4種排法，中間四位有A44種排法，所以第二類共有24A44=192,解；可分為兩類，,第一類：是個位為0的有A55個;,由加法原理共有A55+192=312,練習(xí)（2）用0,1,2,3,4,5可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的六位偶數(shù)；,練習(xí)（3）用0,1,2,3,4,5可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的大于213045的自然數(shù).,A13A55,A13A44,A12A33,A12A22,第五類：形如213054有一個,因此滿足要求的數(shù)共有449個,第一類：第一位排3或4或5,共有：,第二類:第一位排2，第二位排3或4或5，共有：,第三類：第一二位排21，第三位排4或5共有：,第四類：第一二三位排213第四位排4或5，共有,A66=720.,共有A61A66=4320.,共有A61A66=4320.,例67位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？,A775040.,7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？,解：問題可以看作：余下的6個元素的全排列,解：問題可以看作：7個元素的全排列,7位同學(xué)站成一排，其中甲不站在首位，共有多少種不同的排法？,解法1：甲站其余六個位置之一有A61種，,其余6人全排列有A66種，,解法2：從其他6人中先選出一人站首位，有,A61,剩下6人(含甲)全排列,有,A66,解：根據(jù)分步計數(shù)原理：第一步甲,乙站在兩端有,則共有A22A55=240種排列方法,例6(4)7位同學(xué)站成一排甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？,A22種.,第二步余下的5名同學(xué)進行全排列有,A55種,解法3：7人全排列有,甲在首位的有,A66,所以共有A77-A66=7A66-A66=4320.,所以一共有A52A552400種排列方法,例6(5)7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？,解：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有,A52種方法,第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進行排列（全排列）有,A55種方法,例6(6)若甲不在排頭,乙不在排尾,有多少種不同的排法?,解法一（直接法）：,以甲作為分類標(biāo)準(zhǔn),分為兩類：,第一類：先安排甲在中間,再安排乙,有,第二類：先安排甲在排尾,再安排其他人,有,共有：3720種方法,例6(6)若甲不在排頭,乙不在排尾,有多少種不同的排法?,解法二（間接法）：,所有排法中除去不符合的.,所有排法：,甲在排頭：,乙在排尾：,甲在排頭、乙在排尾：,共有：,3720種方法,(7)7位同學(xué)站成兩排(前3后4),共有多少種不同的排法？,解:可以看成是排成一排的全排列：=76543217！=5040.,有限制條件的排列問題,2相鄰問題,(9)甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？,例6(8)甲、乙兩同學(xué)相鄰的排法共有多少種？,解:甲、乙合在一起有A22種排法,與另五個同學(xué)全排列有A66種排法，,共有N=A22A66=720,捆綁法,3不相鄰問題,解法一：間接法,(11)甲、乙、丙按指定順序排列。,(10)甲、乙和丙三個同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？,解法二：先將其余五個同學(xué)排好有:,再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個“空位”有:,種方法，,此時他們留下六個“空位”，,種方法,插空法,A44A53=1440,其余四人在7個位置中選4個，有:,A74方法，,甲、乙和丙三個同學(xué)在其余3個位置中，只有一種方法,共有N=A741=840種站法.,練習(xí)1若有四個男孩和三個女孩站成一排照相：,若其中的A小孩必須站在B小孩的左邊，有多少種不同的排法？,所以在全排列中，A在B左邊與A在B右邊的排法數(shù)相等,解:A在B左邊的一種排法必對應(yīng)著A在B右邊的一種排法,插空法,若三個女孩要站在一起，四個男孩也要站在一起，有多少種不同的排法？,捆綁法,若三個女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？,解：先把四個男孩排成一排有A44種排法，,五個空檔(包括兩端)再把三個女孩插入空檔中有A53種方法,插空法,練習(xí)2某人射擊8槍，命中4槍，4槍命種恰好3槍連在一起的不同種數(shù)有多少？,解：連續(xù)命中的3槍和命中的另一槍被未命中的4槍所隔開，如圖表示沒有命中，,_,命中的三槍看作一個元素和另外命中的一槍共兩個元素插到五個空檔中有A52=54=20種排法,練習(xí)3.一排長椅上共有10個座位，現(xiàn)有4人就座，恰有五個連續(xù)空位的坐法種數(shù)為。（用數(shù)字作答）,480,如果女生全排在一起，有多少種不同排法？如果女生全分開，有多少種不同排法？如果兩端都不能排女生，有多少種不同排法？如果兩端不能都排女生，有多少種不同排法？,（1）A66A33=4320,（2）A55A63=14400,（3）A52A66=14400,（4）A52A66+2A31A51A66=36000或A88-A32A66=36000,練習(xí)5三名女生和五名男生排成一排，,例題7.同室4名學(xué)生各寫一張賀卡，放在一起，然后各人從中各拿一張，但均不能拿自己寫的那張，共有多少種拿法？,解法1：設(shè)四張貨卡分別為a，b，c，d,由題意知，某人（不妨設(shè)為a卡的供卡人）取卡的情況有3種，據(jù)此將卡的分配方式分為3類，用樹狀圖可得共有9種不同的分配方式。,解法2：讓a，b，c，d四人依次拿一張別人送出的賀年卡，則可以分3步，,由乘法原理共有3311=9種拿法,第一步，a先拿，有3種不同的方法；,第三步，剩下的兩人都各有一種取法；,第二步，讓被a拿走的那張卡片的主人拿，有3種不同的方法；,練習(xí)7（1）.a,b,c,d排成一行，其中a不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排第四的不同排法有多少種?（2）.有四張卡片，每張分別寫著1，2，3，4，有四個空箱，分別寫著號碼1，2，3，4.把卡片放到空箱中，每箱必須且只能放一張，且卡片號碼與箱子號碼不一致，有多少種放法？,數(shù)學(xué)、體育均不排在第一節(jié)和第六節(jié)，有種,例8某天課表共六節(jié)課，要排政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、體育共六門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，共有多少種不同的排課方法？,第一類,數(shù)學(xué)排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié)有種,第三類,第四類,其他有種，,共有種；,其他有種，,一,第二類,共有種；,數(shù)學(xué)排在第一節(jié)、體育不在第六節(jié)有種，,其他有種，,共有種；,數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié)有種，,其他有種，,共有種；,所以符合條件的排法共有種,對特殊元素:數(shù)學(xué)和體育進行分類解決.,例8某天課表共六節(jié)課，要排政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、體育共六門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，共有多少種不同的排課方法？,本題也可采用間接排除法解決,解法2：,不考慮任何限制條件共有種排法，,不符合題目要求的排法有：,（1）數(shù)學(xué)排在第六節(jié)有種；,（2）體育排在第一節(jié)有種；,考慮到這兩種情況均包含了數(shù)學(xué)排在第六節(jié)和體育排在第一節(jié)的情況種,所以符合條件的排法共有種。,例9某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為多少？,第一步:將一班的3位同學(xué)“捆綁”成一個大元素;,第二步:這個大元素與其它班5位同學(xué)共6個元素的全排列,第三步:這個大元素與其它班的5位同學(xué)共6個元素的全排列排好后產(chǎn)生的7個空擋中排列二班的2位同學(xué);,第四步:“釋放”一班的3位同學(xué)“捆綁”成的大元素，,解：符合要求的基本事件（排法）共有：,所以共有個；,而基本事件總數(shù)為個;,所以符合條件的概率為,例10：在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有個.,解：本題在解答時只須考慮個位和千位這兩個特殊位置的限制;,個位為1、2、3、4中的某一個有4種方法;,十位和百位方法數(shù)為種,千位在余下的4個非0數(shù)中選擇也有4種方法，,故方法總數(shù)為種,例11.用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有個.（用數(shù)字作答）,解：,第一步:將1和2“捆綁”成一個大元素，3和4“捆綁”成一個大