同濟(jì)大學(xué)彈性力學(xué)往年試題

同濟(jì)大學(xué)本科課程期終考試（考查）統(tǒng)一命題紙 A卷20062007學(xué)年第 一 學(xué)期課程名稱：彈性力學(xué) 課號(hào)： 任課教師：專業(yè)年級(jí)： 學(xué)號(hào)： 姓名： 考試（）考查（ ） 考試（查）日期： 2007 年1月 22 日 出考卷教師簽名：朱合華、許強(qiáng)、王君杰、李遇春、陳堯舜、鄒祖軍、賴永瑾、蔡永昌教學(xué)管理室主任簽名：1是非題（認(rèn)為該題正確，在括號(hào)中打；該題錯(cuò)誤，在括號(hào)中打。）(每小題2分)（1）薄板小撓度彎曲時(shí)，體力可以由薄板單位面積內(nèi)的橫向荷載q來(lái)等代。 ( )（2）對(duì)于常體力平面問(wèn)題，若應(yīng)力函數(shù)滿足雙調(diào)和方程，那么由確定的應(yīng)力分量必然滿足平衡微分方程。 （ ）（3）在求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，要謹(jǐn)慎選擇逆解法和半逆解法，因?yàn)榻獾姆绞讲煌?，解的結(jié)果會(huì)有所差別。 （ ）（4）如果彈性體幾何形狀是軸對(duì)稱時(shí)，就可以按軸對(duì)稱問(wèn)題進(jìn)行求解。 （ ）（5）無(wú)論是對(duì)于單連通桿還是多連通桿，其截面扭矩均滿足如下等式：,其中為扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)。 （ ）（6）應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的幾何意義是：物體在變形前是連續(xù)的，變形后也是連續(xù)的。 （ ）（7）平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程相同，但應(yīng)力協(xié)調(diào)方程不同。 （ ）（8）對(duì)于兩種介質(zhì)組成的彈性體，連續(xù)性假定不能滿足。 ( )（9）位移變分方程等價(jià)于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的靜力邊界條件。（ ）（10）三個(gè)主應(yīng)力方向一定是兩兩垂直的。 ( )2填空題（在每題的橫線上填寫必要的詞語(yǔ)，以使該題句意完整。）（共20分，每小題2分）(1)彈性力學(xué)是研究彈性體受外界因素作用而產(chǎn)生的 的一門學(xué)科。(2)平面應(yīng)力問(wèn)題的幾何特征是： 。(3)平衡微分方程則表示物體 的平衡，應(yīng)力邊界條件表示物體 的平衡。(4) 在通過(guò)同一點(diǎn)的所有微分面中，最大正應(yīng)力所在的平面一定是 。(5)彈性力學(xué)求解過(guò)程中的逆解法和半逆解法的理論基礎(chǔ)是： 。(6)應(yīng)力函數(shù)如果能作為應(yīng)力函數(shù)，其的關(guān)系應(yīng)該是 。(7)軸對(duì)稱的位移對(duì)應(yīng)的 一定是軸對(duì)稱的。(8)瑞利里茲法的求解思路是：首先選擇一組帶有待定系數(shù)的、滿足 的位移分量，由位移求出應(yīng)變、應(yīng)力，得到彈性體的總勢(shì)能，再對(duì)總勢(shì)能取極值。(9)克希霍夫的直法線假設(shè)是指：變形前垂直于薄板中面的直線段（法線）在變形后仍保持為直線，并垂直于變形后的中面，且 。(10)一般說(shuō)來(lái)，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后的平面問(wèn)題的基本方程有 個(gè)，但其不為零的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分量有 個(gè)。3 分析題（共20分，每題10分）（1）曲梁的受力情況如圖1所示，請(qǐng)寫出其應(yīng)力邊界條件（固定端不必寫）。 圖1（2）一點(diǎn)應(yīng)力張量為 已知在經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的某一平面上應(yīng)力矢量為零，求及該平面的單位法向矢量。4計(jì)算題（共40分）（1）圖2中楔形體兩側(cè)受均布水平壓力q作用，求其應(yīng)力分量（體力為零）。提示：設(shè)應(yīng)力函數(shù)為： （10分）圖2（2） 如圖3所示的懸臂梁結(jié)構(gòu)，在自由端作用集中力P，不計(jì)體力，彈性模量為E，泊松比為，應(yīng)力函數(shù)可取，試求應(yīng)力分量。（15分） 圖3（3） 如圖4所示，簡(jiǎn)支梁受均布荷載和跨中集中荷載作用，試用瑞雷里茲法求解跨中撓度。撓度函數(shù)表達(dá)式分別為：(1) ；（2）。比較兩種撓度函數(shù)計(jì)算結(jié)果間的差異。（15分） 圖4 同濟(jì)大學(xué)本科課程期終考試（考查）統(tǒng)一命題紙 A卷 標(biāo)準(zhǔn)答案20062007學(xué)年第 一 學(xué)期1是非題（認(rèn)為該題正確，在括號(hào)中打；該題錯(cuò)誤，在括號(hào)中打。）(每小題2分)（1）薄板小撓度彎曲時(shí)，體力可以由薄板單位面積內(nèi)的橫向荷載q來(lái)等代。 ()（2）對(duì)于常體力平面問(wèn)題，若應(yīng)力函數(shù)滿足雙調(diào)和方程，那么由確定的應(yīng)力分量必然滿足平衡微分方程。 （）（3）在求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，要謹(jǐn)慎選擇逆解法和半逆解法，因?yàn)榻獾姆绞讲煌?，解的結(jié)果會(huì)有所差別。 （）（4）如果彈性體幾何形狀是軸對(duì)稱時(shí)，就可以按軸對(duì)稱問(wèn)題進(jìn)行求解。 （）（5）無(wú)論是對(duì)于單連通桿還是多連通桿，其載面扭矩均滿足如下等式：,其中為扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)。 （）（6）應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的幾何意義是：物體在變形前是連續(xù)的，變形后也是連續(xù)的。 （）（7）平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程相同，但應(yīng)力協(xié)調(diào)方程不同。 （）（8）對(duì)于兩種介質(zhì)組成的彈性體，連續(xù)性假定不能滿足。 ()（9）位移變分方程等價(jià)于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的靜力邊界條件。（）（10）三個(gè)主應(yīng)力方向一定是兩兩垂直的。 ()2填空題（在每題的橫線上填寫必要的詞語(yǔ)，以使該題句意完整。）（共20分，每小題2分）(1)彈性力學(xué)是研究彈性體受外界因素作用而產(chǎn)生的 應(yīng)力、應(yīng)變和位移 的一門學(xué)科。(2)平面應(yīng)力問(wèn)題的幾何特征是： 物體在一個(gè)方向的尺寸遠(yuǎn)小于另兩個(gè)方向的尺寸 。(3)平衡微分方程則表示物體 內(nèi)部 的平衡，應(yīng)力邊界條件表示物體 邊界 的平衡。(4) 在通過(guò)同一點(diǎn)的所有微分面中，最大正應(yīng)力所在的平面一定是 主平面 。(5)彈性力學(xué)求解過(guò)程中的逆解法和半逆解法的理論基礎(chǔ)是： 解的唯一性定律 。(6)應(yīng)力函數(shù)如果能作為應(yīng)力函數(shù)，其的關(guān)系應(yīng)該是 。(7)軸對(duì)稱的位移對(duì)應(yīng)的幾何形狀和受力 一定是軸對(duì)稱的。(8)瑞利里茲法的求解思路是：首先選擇一組帶有待定系數(shù)的、滿足 位移邊界條件或幾何可能 的位移分量，由位移求出應(yīng)變、應(yīng)力，得到彈性體的總勢(shì)能，再對(duì)總勢(shì)能取極值。(9)克希霍夫的直法線假設(shè)是指：變形前垂直于薄板中面的直線段（法線）在變形后仍保持為直線，并垂直于變形后的中面，且 長(zhǎng)度不變 。(10)一般說(shuō)來(lái)，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后的平面問(wèn)題的基本方程有8個(gè)，但其不為零的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分量有9個(gè)。3 分析題（共20分，每題10分）(1) 主要邊界： 次要邊界： (2) 一點(diǎn)的應(yīng)力張量與該點(diǎn)的任意斜面上各應(yīng)力分量的關(guān)系為：及 故有及 解得：由此得： 4計(jì)算題（共40分）(1) 解：極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量為：應(yīng)力邊界條件為：將應(yīng)力分量代入邊界條件，可解得： 所以應(yīng)力分量解答為： (2) 解：由題可知，體力X=0，Y=0，且為彈性力學(xué)平面應(yīng)力問(wèn)題。1）、本題所設(shè)應(yīng)力函數(shù)滿足雙調(diào)和方程： (a)2）、應(yīng)力分量為： (b)3)、用應(yīng)力邊界條件求待定常數(shù)A、B、C、D：應(yīng)力邊界條件，在上、下表面處，必須精確滿足： (c)則有： (d)X=0的左邊界為次要邊界，利用圣維南原理則有：X方向力的等效：；對(duì)0點(diǎn)的力矩等效：；Y方向力的等效：。將式(b)代入上式得： (e)聯(lián)立式(d)和式(e)，解得：；(4)、應(yīng)力分量為：(3) 解：1）撓度函數(shù)取為：(1) 梁的總勢(shì)能為對(duì)總勢(shì)能求駐值得回代即得梁的撓度函數(shù)令，則有跨中撓度 2）撓度函數(shù)取為：梁的總勢(shì)能為對(duì)總勢(shì)能求駐值得回代并令，即得梁的跨中撓度兩種撓度函數(shù)假定下相差為 b。 完畢同濟(jì)大學(xué)本科課程期終考試（考查）統(tǒng)一命題紙 B卷20062007學(xué)年第 一 學(xué)期課程名稱：彈性力學(xué) 課號(hào)： 任課教師：專業(yè)年級(jí)： 學(xué)號(hào)： 姓名： 考試（）考查（ ） 考試（查）日期： 2007 年1月 22 日 出考卷教師簽名：朱合華、許強(qiáng)、王君杰、李遇春、陳堯舜、鄒祖軍、賴永瑾、蔡永昌教學(xué)管理室主任簽名：1、 圖1中楔形體頂端受水平集中力P作用，求其應(yīng)力分量（體力為零）。提示：設(shè)應(yīng)力函數(shù)為： （20分）圖12、如圖2所示的懸臂梁結(jié)構(gòu)，在自由端有一個(gè)微小的垂直位移，不計(jì)體力，彈性模量為E，泊松比為，應(yīng)力函數(shù)可取，試求應(yīng)力分量。（20分）圖23、 圖3所示懸臂梁，截面抗彎剛度EI，梁長(zhǎng)L，豎向彈簧剛度k；懸臂端受集中荷載F作用。試用瑞雷李茲法求解懸臂端撓度和固定端彎矩。提示：梁的撓度函數(shù)可選為： （20分）圖34、圖4所示材料密度為的三角形截面壩體，一側(cè)受靜水壓力，水的密度為1，另一側(cè)自由。設(shè)壩中應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)力狀態(tài)：請(qǐng)利用平衡方程和邊界條件確定常數(shù)和。（20分）圖5圖45、如圖5所示的半無(wú)限平面，證明應(yīng)力為本問(wèn)題的解答。（20分）同濟(jì)大學(xué)本科課程期終考試（考查）統(tǒng)一命題紙 B卷 標(biāo)準(zhǔn)答案20062007學(xué)年第 一 學(xué)期1、解：極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量為：兩斜面應(yīng)力邊界條件為： 自動(dòng)滿足由隔離體平衡條件：將應(yīng)力分量代入上面二式，可解得： 所以應(yīng)力分量解答為： 2、 解：由題可知，體力X=0，Y=0，且為平面應(yīng)力問(wèn)題。1）、本題所設(shè)應(yīng)力函數(shù)滿足雙調(diào)和方程： (a)2）、應(yīng)力分量為： (b)3）、由物理方程得應(yīng)變分量為： (c)4）、由幾何方程得出位移分量為： (d)由式(d)的前兩式積分得： (e)將上式(e)代入式(d)的第三式，整理得： (f)欲使上式恒等地成立，只能令 (g)其中，常數(shù)a，b滿足 (h)解式(g)得： (i)則位移分量為： (j)5)、由應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件求待定常數(shù)A、B、C1、C2和a、b：應(yīng)力邊界條件，在上、下表面處，必須精確滿足： (k)則有： (l)位移邊界條件，則有： (m)聯(lián)立解式(l)、式(h)和式(m)得： (n)6）、本題的應(yīng)力分量：應(yīng)力分量為： (o)3、 解：總勢(shì)能為對(duì)總勢(shì)能求駐值得回代并令即得懸臂梁撓度函數(shù)令，則有懸臂端撓度為梁彎矩為令，則有固定端彎矩為 完畢4、(一)由平衡方程(1)得：(2)(二)邊界條件(3)在邊界上：故邊界條件可寫為(4)在邊界上：故邊界條件可寫為(5)聯(lián)合方程(2)、(3)、(4)可解得5、證明：（1）應(yīng)力滿足相容方程代入得：滿足。（2）滿足平衡方程將應(yīng)力代入平衡方程得滿足。（3）邊界條件將應(yīng)力代入得滿足。故其為本問(wèn)題解答。同濟(jì)大學(xué)課程考核試卷（A卷）2007 2008 學(xué)年第 一 學(xué)期命題教師簽名： 審核教師簽名：課號(hào)：030192 課名： 彈性力學(xué) 考試考查：考試此卷選為：期中考試( )、期終考試( )、重考( )試卷年級(jí) 專業(yè) 學(xué)號(hào) 姓名 得分 一是非題（正確，在括號(hào)中打；該題錯(cuò)誤，在括號(hào)中打。）(共20分，每小題2分)（1）在薄板小撓度彎曲時(shí)將邊界上的扭矩變換為靜力等效的橫向剪力，再將它與原來(lái)的橫向剪力合并成總的分布剪力來(lái)處理邊界條件問(wèn)題。 （ ）（2）求解位移變分方程時(shí)所設(shè)的位移分量不必事先滿足位移邊界條件，只要滿足靜力邊界條件即可。 （ ）（3）由彈性扭轉(zhuǎn)的薄膜比擬可知，最大的剪應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在橫截面周界上，找到周界上斜率最大的點(diǎn)，就是最大剪應(yīng)力所在之處，它的方向一定沿著周界在該點(diǎn)的切線方向。（ ）（4）如果主應(yīng)力，則的方向與和的方向可以垂直也可以不垂直，但和的方向相互必須垂直。 （ ）（5） 在軸對(duì)稱問(wèn)題中，與軸對(duì)稱應(yīng)力對(duì)應(yīng)的位移一定是軸對(duì)稱的。 （ ）（6） 平面問(wèn)題中的應(yīng)力協(xié)調(diào)方程與材料無(wú)關(guān)，應(yīng)變協(xié)調(diào)方程與材料有關(guān)。 （ ）（7）對(duì)于單連通和多連通物體來(lái)說(shuō)，應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是保證物體連續(xù)的充要條件。 （ ）（8）真實(shí)解答一定滿足該彈性問(wèn)題的平衡方程和物理方程。 （ ）（9）滿足平衡方程的一組應(yīng)力分量，也一定滿足應(yīng)力相容方程。 （ ）（10）開口薄壁桿的抗扭剛度比相同形狀同材料、同截面積的閉口薄壁桿的抗扭剛度小。（ ）二填空題（在每題的橫線上填寫必要的詞語(yǔ)，以使該題句意完整。）（共20分，每小題2分）(1)圣維南原理：若把作用在物體 邊界上的面力用另一組與它靜力等效的力系來(lái)代替，則在力系作用區(qū)域的附近，應(yīng)力分布將有顯著的改變，但在遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。(2)在平面問(wèn)題中，取二次多項(xiàng)式為應(yīng)力函數(shù)，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為 應(yīng)力狀態(tài)。(3)最小勢(shì)能原理簡(jiǎn)述為：在滿足 邊界條件的一切 中，真正的 使總勢(shì)能取最小值。(4)用伽遼金法時(shí)所選擇的位移函數(shù)式，不僅滿足 條件，而且還滿足 條件。(5)過(guò)物體內(nèi)某一點(diǎn)總可以找到三個(gè)相互垂直的方向，這三個(gè)方向的微分線段在物體變形后只有相對(duì)伸長(zhǎng)或縮短，而且相互之間的夾角保持直角不變，該方向稱為 主方向。(6) 若已知彈性體僅受體力與面力作用，則彈性體在平衡時(shí)，體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量與應(yīng)變分量是 的；若已知彈性體受體力與面力作用，還在部分邊界上已知位移，則彈性體在平衡時(shí)，體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變以及位移分量是 的。(7)假定物體在不同方向上具有相同的物理性質(zhì)，從而使應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系不隨坐標(biāo)方向的改變而改變。這個(gè)假定為 假設(shè)。(8)若t為板厚、z=0為板的中面，則薄板截面上最大正應(yīng)力（絕對(duì)值）發(fā)生在薄板 處。 (9) 對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題（z 是平面的法向），則 ，但 。(10)已知微體中主應(yīng)力為，則斜截面上的正應(yīng)力為 。三分析題（共20分）1、（7分）試寫出右圖所示問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件2、（13分）已知彈性體某點(diǎn)P的應(yīng)力張量為 ，三個(gè)主應(yīng)力之一為，求該主應(yīng)力的方向余弦和另外兩個(gè)主應(yīng)力。四計(jì)算題（