實變函數與泛函分析基礎ppt課件

第三節(jié)可測函數的構造,第四章可測函數,1,可測函數,簡單函數是可測函數?？蓽y函數當且僅當可表示成一列簡單函數列的極限。,問：可測函數是否可表示成一列連續(xù)函數的極限？,可測集E上的連續(xù)函數為可測函數。,2,魯津定理,實變函數的三條原理（J.E.Littlewood）（1）任一可測集差不多就是開集（至多可數個開區(qū)間的并）。,設f(x)為E上幾乎處處有限的可測函數，則使得m(E-F)且f(x)在F上連續(xù)。,（去掉一小測度集，在留下的集合上成為連續(xù)函數）即：可測函數“基本上”是連續(xù)函數.,（2）任一點點收斂的可測函數列差不多就是一致收斂列。,（3）任一可測函數差不多就是連續(xù)函數。,3,引理：,4,5,證明：由于mE|f|=+=0，故不妨令f(x)為有限函數(1)當f(x)為簡單函數時，,當xEi時，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上連續(xù)，而Fi為兩兩不交閉集，故f(x)在上連續(xù)，顯然F為閉集，且有,設f(x)為E上幾乎處處有限的可測函數，則使得m(E-F)且f(x)在F上連續(xù)。,魯津定理（Lusin）,6,(2)當f(x)為有界可測函數時，存在簡單函數列n(x)在E上一致收斂于f(x)，,由n(x)在F連續(xù)及一致收斂于f(x)，易知f(x)在閉集F上連續(xù)。,利用(1)的結果知,7,則g(x)為有界可測函數，應用(2)即得：,(3)當f(x)為一般可測函數時，作變換,g(x)為E上幾乎處處有限可測函數,則使得m(E-F)且g(x)在F上連續(xù)。,故，f(x)在F上為連續(xù)函數。,8,注1：魯津定理另外一種形式：,若f(x)為上幾乎處處有限的可測函數，,使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)，且supg(x)|xR=supf(x)|xF；infg(x)|xR=inff(x)|xF；（對n維空間也成立）【分】由魯津定理：,則及R上的連續(xù)函數g(x),則且f(x)在F上連續(xù)。下面只需將f(x)延拓為R上的連續(xù)函數g(x)即可。,若f(x)為上幾乎處處有限可測，,9,由于FC為R上的開集，根據R上開集構造，FC可唯一地表示成有限個或可數個互不相交的開區(qū)間的并：。,bi,ai,則g(x)滿足要求，且在R上連續(xù).（參見課本p91）,10,注2：魯津定理的逆定理成立。,設f(x)為E上幾乎處處有限的實函數，若使得m(E-F)且f(x)在F上連續(xù)，則f(x)在E上為可測函數。,11,例1對ER1上的a.e.有限的可測函數f(x)，一定存在R上的連續(xù)函數列使于E。,從而,令，即得我們所要的結果。,證明：由魯津定