矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系2009-3-22,第3章矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形,武漢理工大學(xué)理學(xué)院,3.1一元多項(xiàng)式,定義.設(shè)n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，表達(dá)式,2,3,則稱f(x)與g(x)相等，記作f(x)=g(x)。,若其同次項(xiàng)的系數(shù)都相等，即,定義.,4,多項(xiàng)式加法,為了方便起見，設(shè),5,運(yùn)算規(guī)律:,6,數(shù)乘多項(xiàng)式,運(yùn)算規(guī)律:,7,多項(xiàng)式乘法,其中k次項(xiàng)的系數(shù)是,8,運(yùn)算規(guī)律:,9,定理3.1.1（帶余除法）設(shè)f(x)和g(x)是數(shù)域F上的多項(xiàng)式，,并且q(x)和r(x)是唯一的，,帶余除法,且g(x)0，則必存在多項(xiàng)式q(x)和r(x)，使得,若r(x)=0，則稱g(x)是f(x)的因式，f(x)是g(x)的倍式，,也稱g(x)能整除f(x)，并記作g(x)|f(x)。,10,例3.1.1設(shè)f(x)和g(x)是有理數(shù)域F上的兩個(gè)多項(xiàng)式,11,12,3.2因式分解定理,若h(x)既是f(x)的因式，又是g(x)的因式，,則稱h(x)為f(x)與g(x)的一個(gè)公因式。,定義.,若h(x)既是f(x)的倍式，又是g(x)的倍式，,則稱h(x)為f(x)與g(x)的一個(gè)公倍式。,則稱d(x)為f(x)和g(x)的一個(gè)最大公因式。,則稱d(x)為f(x)和g(x)的一個(gè)最小公倍式。,，并且滿足:,，并且滿足:,14,不可約多項(xiàng)式,定義.設(shè)，若在數(shù)域F上只有平凡因式，,則稱為域F上的不可約多項(xiàng)式，,否則，稱為域F上的可約多項(xiàng)式。,注意：(1)一次多項(xiàng)式總是不可約多項(xiàng)式；,(2)多項(xiàng)式的不可約性與其所在系數(shù)域密切相關(guān)。,例如，,15,因式分解唯一性定理,定理.數(shù)域F上任一個(gè)次數(shù)不小于1的多項(xiàng)式f(x)都可以,唯一地分解成數(shù)域F上有限個(gè)不可約多項(xiàng)式的乘積。,其唯一性是指，若有兩個(gè)分解式,則s=t,并且經(jīng)過對(duì)因式的適當(dāng)排序后有,其中為非零常數(shù)。,16,稱為標(biāo)準(zhǔn)分解式。,分解式,其中a是f(x)的首項(xiàng)系數(shù)，是首項(xiàng)系數(shù)為的,不可約多項(xiàng)式，而是正整數(shù),17,復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理：,因式分解定理,次數(shù)不小于1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上,可唯一地分解成一次因式的乘積。,標(biāo)準(zhǔn)分解式為,其中是正整數(shù)，且,18,實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理：,次數(shù)不小于1的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上,可唯一地分解成一次因式和二次不可約因式的乘積。,標(biāo)準(zhǔn)分解式為,其中和是正整數(shù)，且,的標(biāo)準(zhǔn)分解式。,例求,在實(shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式:,在復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式:,Problem：矩陣A到底和一個(gè)多簡單的矩陣相似？Solution：理想情況下：A為對(duì)角形并非所有的矩陣都可以對(duì)角化Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論。Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用:微分方程組的解,3.3矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,Jordan塊:形如,的ni階矩陣稱為ni階Jordan塊。,分塊對(duì)角陣,稱為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,定理：任何n階復(fù)方陣A都和一個(gè)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形相似,即存在可逆陣P，和Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,使得,Jordan標(biāo)準(zhǔn)形基本理論,求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法(I),求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法(I),(1),行列式因子(Determinatedivisor),(2),計(jì)算行列式因子的步驟：,Step1,Step2,Remark.,例,不變因子(Invariantdivisor),(3),Remark.,例,30,(3)定義：設(shè)A(l)的各階不變因子在復(fù)數(shù)域的標(biāo)準(zhǔn)分解式,初等因子,稱指數(shù)為A(l)的初等因子。,Remark.來自不同的不變因子的一次因式的方冪不能合并.,例,的初等因子:,初級(jí)因子與Jordan塊的關(guān)系,對(duì)于ni階的Jordan塊，我們有：,初級(jí)因子與Jordan塊的關(guān)系,(4),例,例設(shè),求矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。,初等因子組:,36,3.4l陣的標(biāo)準(zhǔn)形,定義.元素是l的多項(xiàng)式的矩陣稱為l矩陣，記作A(l),例如,定義.設(shè)l矩陣A(l),B(l)滿足,稱A(l)為可逆的l矩陣，且B(l)為A(l)的逆。,顯然，A(l)可逆,38,定義.l矩陣的初等變換,39,定義:若l矩陣A(l)經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)锽(l)，,l矩陣的等價(jià),則稱A(l)與B(l)等價(jià)，記作,40,定理：設(shè)A(l)為mn階l矩陣，則A(l)等價(jià)于分塊對(duì)角陣,稱為A(l)等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，其中,并且首項(xiàng)系數(shù)為1，,l矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形,例：求l矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形,41,42,43,l矩陣的秩,定義：l矩陣A(l)的不恒為零的子式的最高階數(shù),顯然，等價(jià)的l矩陣有相同的秩。,稱為A(l)的秩。,事實(shí)上，l矩陣的初等變換不會(huì)改變其子式恒為零與否,的狀態(tài)，也就不會(huì)改變其不恒為零子式最高階數(shù)。,的秩為n。,行列式因子,定義：l矩陣A(l)的所有k階子式的首1最大公因式稱為A(l)的k階行列式因子，記作Dk(l),定理：等價(jià)的l矩陣有相同的各階行列式因子。,事實(shí)上，初等變換不會(huì)改變A(l)各階子式的最大公因式,也就不會(huì)改變其各階行列式因子。,46,例：求A(l)的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的各階行列式因子。,依行列式因子的定義：,47,不變因子和初等因子,定義：設(shè)為l矩陣A(l)的k階行列式因子，,定理：等價(jià)的l矩陣有相同的各階不變因子。,稱為A(l)的k階不變因子。,定理：等價(jià)的l矩陣有相同的初等因子。,48,定理：l矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的，我們稱之為Smith標(biāo)準(zhǔn)形.,注意到，A(l)的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形中D(l)的對(duì)角元是A(l)的,各階不變因子。,求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法（II）,50,例2設(shè),求矩陣A的并求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,解：,54,求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J，并求可逆陣P,使,例設(shè),（P.61例3.1.6）,55,解：A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為,56,57,58,定義：設(shè)A為n階方陣，若多項(xiàng)式,滿足,則稱j(l)為A的零化多項(xiàng)式。,3.5矩陣的最小多項(xiàng)式,定理：(Hamilton-Cayley),設(shè)A為n階方陣，則A的特征多項(xiàng)式,為A的零化多項(xiàng)式。,哈密頓（Hamilton，WilliamRowan)愛爾蘭人哈密頓自幼聰明，被稱為神童他3歲英語已讀得非常好，4歲時(shí)是不錯(cuò)的地理學(xué)者；5歲時(shí)能閱讀和翻譯拉丁語、希臘語和希伯來語，喜歡用希臘語朗誦荷馬史詩；8歲掌握了意大利語和法院，覺得英語過于平庸，用拉丁文的六韻步詩體；10歲不到開始學(xué)習(xí)阿拉伯語、梵語、波斯語；同時(shí)學(xué)習(xí)馬來語、孟加拉語、古敘利亞語.；他即將學(xué)習(xí)漢語，但是太難搞到書。14歲時(shí)，因在都柏林歡迎波斯大使宴會(huì)上用波斯語與大使交談而出盡風(fēng)頭主要貢獻(xiàn)：力學(xué)、數(shù)學(xué)、光學(xué),Hamilton，1805-1865,定義：設(shè)A為n階方陣，則稱A的次數(shù)最低的