一些特殊曲線

.,5旋輪線6旋輪線也叫擺線7旋輪線是最速降線8心形線9星形線10圓的漸伸線11笛卡兒葉形線12雙紐線13阿基米德螺線14雙曲螺線,主目錄（125）,15,16,2,3,1曲邊梯形的面積,4曲邊扇形的面積,.,19平行截面面積為已知的立體的體積。20半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。21求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積。22旋轉(zhuǎn)體體積(y=f(x)繞x軸)23旋轉(zhuǎn)體體積(x=g(y)繞y軸）24旋轉(zhuǎn)體體積（柱殼法）25旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,18,17,求由雙紐線,內(nèi)部的面積。,.,.,元素法,1化整為零,2以直代曲(以常代變),3積零為整,y=f(x),.,.,分法越細(xì)，越接近精確值,1.曲邊梯形的面積,f(i),.,.,元素法,4取極限,y=f(x),令分法無限變細(xì),.,.,.,.,分法越細(xì)，越接近精確值,1化整為零,2以直代曲(以常代變),3積零為整,1.曲邊梯形的面積,.,f(i),.,元素法,4取極限,y=f(x),令分法無限變細(xì),.,.,.,.,分法越細(xì)，越接近精確值,1化整為零,2以直代曲(以常代變),3積零為整,1.曲邊梯形的面積,.,f(i),S=,.,S,.,.,2,。,。,2.,4,4,4,解方程組：,得交點(diǎn)：(8,4)，(2,2),問題：選誰為積分變量？,.,。,。,3.,3,3,得兩切線的斜率為,故兩切線為,其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,。,。,S=,l1,l2,.,(),d,o,+d,r=(),元素法,1取極角為積分變量，其變化區(qū)間為,以圓扇形面積近似小曲邊扇形面積，得到面積元素：,.,.,4.曲邊扇形的面積,dS,S,3作定積分,.,r,.,a,圓上任一點(diǎn)所畫出的曲線。,5.旋輪線,一圓沿直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)，,.,來看動(dòng)點(diǎn)的慢動(dòng)作,圓上任一點(diǎn)所畫出的曲線。,.,一圓沿直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)，,5.旋輪線,.,2a,2a,a,x=a(tsint)y=a(1cost),t的幾何意義如圖示,t,a,當(dāng)t從02，x從02a,即曲線走了一拱,a,圓上任一點(diǎn)所畫出的曲線。,5.旋輪線,.,一圓沿直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)，,.,x=a(tsint)y=a(1cost),將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板,6.旋輪線也叫擺線,單擺,.,x=a(tsint)y=a(1cost),將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板,.,單擺,6.旋輪線也叫擺線,.,單擺,.,6.旋輪線也叫擺線,x=a(tsint)y=a(1cost),將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板,.,兩個(gè)旋輪線形狀的擋板,使擺動(dòng)周期與擺幅完全無關(guān)。在17世紀(jì)，旋輪線即以此性質(zhì)出名，所以旋輪線又稱擺線。,單擺,.,6.旋輪線也叫擺線,x=a(tsint)y=a(1cost),將旋輪線的一拱一分為二，并倒置成擋板,.,x=a(tsint),B,A,答案是：當(dāng)這曲線是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。,最速降線問題:質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿曲線從固定點(diǎn)A滑到固定點(diǎn)B，當(dāng)曲線是什么形狀時(shí)所需要的時(shí)間最短？,y=a(1cost),7.旋輪線是最速降線,生活中見過這條曲線嗎？,.,x=a(tsint),B,A,答案是：當(dāng)這曲線是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。,最速降線問題:質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿曲線從固定點(diǎn)A滑到固定點(diǎn)B，當(dāng)曲線是什么形狀時(shí)所需要的時(shí)間最短？,y=a(1cost),.,生活中見過這條曲線嗎？,7.旋輪線是最速降線,.,x=a(tsint),B,A,答案是：當(dāng)這曲線是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。,最速降線問題:質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿曲線從固定點(diǎn)A滑到固定點(diǎn)B，當(dāng)曲線是什么形狀時(shí)所需要的時(shí)間最短？,y=a(1cost),生活中見過這條曲線嗎？,7.旋輪線是最速降線,.,.,x=a(tsint),B,A,答案是：當(dāng)這曲線是一條翻轉(zhuǎn)的旋輪線。,最速降線問題:質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿曲線從固定點(diǎn)A滑到固定點(diǎn)B，當(dāng)曲線是什么形狀時(shí)所需要的時(shí)間最短？,y=a(1cost),生活中見過這條曲線嗎？,滑板的軌道就是這條曲線,7.旋輪線是最速降線,.,.,a,a,一圓沿另一圓外緣無滑動(dòng)地滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一點(diǎn)所畫出的曲線。,8.心形線,(圓外旋輪線),.,a,來看動(dòng)點(diǎn)的慢動(dòng)作,一圓沿另一圓外緣無滑動(dòng)地滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一點(diǎn)所畫出的曲線。,.,8.心形線,(圓外旋輪線),a,.,a,a,2a,來看動(dòng)點(diǎn)的慢動(dòng)作,一圓沿另一圓外緣無滑動(dòng)地滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一點(diǎn)所畫出的曲線。,.,(圓外旋輪線),8.心形線,.,2a,r=a(1+cos),02,0r2a,P,r,一圓沿另一圓外緣無滑動(dòng)地滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一點(diǎn)所畫出的曲線。,.,(圓外旋輪線),8.心形線,.,a,a,一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動(dòng)地滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一點(diǎn)所畫出的曲線。,9.星形線,(圓內(nèi)旋輪線),.,a,a,來看動(dòng)點(diǎn)的慢動(dòng)作,一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動(dòng)地滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一點(diǎn)所畫出的曲線。,.,9.星形線,(圓內(nèi)旋輪線),.,a,a,一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動(dòng)地滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一點(diǎn)所畫出的曲線。,來看動(dòng)點(diǎn)的慢動(dòng)作,.,9.星形線,(圓內(nèi)旋輪線),.,a,a,02,或,.,P,.,一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動(dòng)地滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一點(diǎn)所畫出的曲線。,.,9.星形線,(圓內(nèi)旋輪線),.,一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動(dòng)）直線上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡,10.圓的漸伸線,a,.,一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動(dòng)）直線上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡,.,a,10.圓的漸伸線,再看一遍,.,.,a,一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動(dòng)）直線上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡,10.圓的漸伸線,.,.,a,一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動(dòng)）直線上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡,10.圓的漸伸線,.,a,0,x,M,t,t,a,at,(x,y),試由這些關(guān)系推出曲線的方程,.,一直線沿圓周滾轉(zhuǎn)（無滑動(dòng)）直線上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡,10.圓的漸伸線,.,1.曲線關(guān)于y=x對(duì)稱,2.曲線有漸進(jìn)線x+y+a=0,分析,3.令y=tx,得參數(shù)式,故在原點(diǎn)，曲線自身相交.,11.狄卡兒葉形線,4.,.,x+y+a=0,曲線關(guān)于y=x對(duì)稱,曲線有漸近線x+y+a=0,.,11.狄卡兒葉形線,.,P,r,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,曲線在極點(diǎn)自己相交，與此對(duì)應(yīng)的角度為=,.,.,.,.,.,距離之積為a2的點(diǎn)的軌跡,直角系方程,12.雙紐線,.,.,所圍面積,.,.,.,由對(duì)稱性,.,12.例,求雙紐線,.,0,r,r=a,曲線可以看作這種點(diǎn)的軌跡：,動(dòng)點(diǎn)在射線上作等速運(yùn)動(dòng),同時(shí)此射線又繞極點(diǎn)作等速轉(zhuǎn)動(dòng),從極點(diǎn)射出半射線,13.阿基米德螺線,.,0,r,曲線可以看作這種點(diǎn)的軌跡：,動(dòng)點(diǎn)在射線上作等速運(yùn)動(dòng),同時(shí)此射線又繞極點(diǎn)作等速轉(zhuǎn)動(dòng),從極點(diǎn)射出半射線,.,13.阿基米德螺線,r=a,.,0,r,曲線可以看作這種點(diǎn)的軌跡：,動(dòng)點(diǎn)在射線上作等速運(yùn)動(dòng),同時(shí)此射線又繞極點(diǎn)作等速轉(zhuǎn)動(dòng),從極點(diǎn)射出半射線,再看一遍,請(qǐng)問：動(dòng)點(diǎn)的軌跡什么樣？,.,13.阿基米德螺線,r=a,.,0,r,.,13.阿基米德螺線,r=a,.,0,r,r=a,.,13.阿基米德螺線,.,0,r,r=a,.,13.阿基米德螺線,.,r,這里從0+,8,r=a,0,2a,每兩個(gè)螺形卷間沿射線的距離是定數(shù),.,13.阿基米德螺線,.,0,r,8,當(dāng)從0,r=a,.,13.阿基米德螺線,.,r,0,.,這里從0+,8,.,.,14.雙曲螺線,.,r,0,.,當(dāng)從0,8,.,14.雙曲螺線,.,15.,2,.,.,S=,=1+cos,3,r=3cos,由3cos=1+cos,得交點(diǎn)的坐標(biāo),S,2,.,.,.,.,.,.,.,.,16.,1,令cos2=0,由sin0,聯(lián)立后得交點(diǎn)坐標(biāo),.,.,.,S=2,.,.,17.,1,s1,s2,.,.,.,.,.,.,s,S=,=1+cos,.,求由雙紐線,.,.,.,.,由對(duì)稱性,.,18.,a,內(nèi)部的面積。,雙紐線化成極坐標(biāo),令r=0,S=,4,+,.,.,A(x),dV=A(x)dx,x,已知平行截面面積為A(x)的立體,.,a,V,以下是幾個(gè)例子,19.平行截面面積為已知的立體的體積,b,.,半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。,R,o,x,y,20.,.,o,y,R,x,R,R,20.,.,半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。,.,o,y,R,x,x,y,R,R,.,.,.,.,ytan,問題：還有別的方法嗎？,(x,y),截面積,A(x),.,半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。,20.,.,.,o,y,R,x,R,R,方法2,.,20.,半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。,.,o,y,R,x,R,R,方法2,A,B,C,D,BC,DC,.,.,.,.,截面積,S(y),(x,y),=2x,=ytan,.,S(y),.,20.,半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。,.,R,x,o,y,R,21.,求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積。,.,R,x,o,x,A(x),A(x),V=,.,.,.,.,R,y,21.,.,求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積。,y,.,f(x),a,b,曲邊梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0繞x軸旋轉(zhuǎn),22.求旋轉(zhuǎn)體體積,.,f(x),a,b,x,.,.,111111111,.,曲邊梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0繞x軸旋轉(zhuǎn),22.求旋轉(zhuǎn)體體積,V=,x=g(y),c,d,曲邊梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d繞y軸,23.求旋轉(zhuǎn)體體積,x=g(y),c,d,曲邊梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d繞y軸,.,23.求旋轉(zhuǎn)體體積,x=g(y),c,d,y,.,.,.,23.求旋轉(zhuǎn)體體積,.,曲邊梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d繞y軸,.,a,b,f(x),y,x,0,24.求旋轉(zhuǎn)體體積柱殼法,曲邊梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0繞y軸,x,dx,.,x,a,b,y,x,0,內(nèi)表面積,.,dx,.,24.求旋轉(zhuǎn)體體積柱殼法,曲邊梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0繞y軸,dV=,2xf(x)dx,f(x),.,b,y,x,0,a,.,24.求旋轉(zhuǎn)體體積柱殼法,曲邊梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0繞y軸,dV=,2xf(x)dx,f(x),.,b,y,x,0,a,.,24.求旋轉(zhuǎn)體體積柱殼法,曲邊梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0繞y軸,dV=,2xf(x)dx,f(x),.,0,y,0,x,b,x,a,dx,.,24.求旋轉(zhuǎn)體體積柱殼法,曲邊