常微分方程常數(shù)變異法

第四章常微分方程,第一節(jié)常微分方程的基本概念與分離變量法,第二節(jié)一階線性微分方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,一、微分方程的基本概念,微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程,特別當(dāng)微分方程中所含的未知函數(shù)是一元函數(shù)時(shí)，時(shí)的微分方程就稱為常微分方程.,微分方程的階：微分方程中，所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)定義為該微分方程的階數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,線性微分方程:當(dāng)微分方程中所含的未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)全是一次冪時(shí)，微分方程就稱為線性微分方程.,在線性微分方程中，若未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)全是常數(shù)，則稱這樣的微分方程為常系數(shù)線性微分方程,微分方程的解：如果將函數(shù),代入微分方程后,能使方程成為恒等式，,這個(gè)函數(shù)就稱為該微分方程的解,微分方程的解有兩種形式：,常微分方程的通解,微分方程的特解,如果解中包含任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同，則稱這樣的解為,不含有任意常數(shù)的解，稱為,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,初始條件：用未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在某個(gè)特定點(diǎn)的值作為確定通解中任意常數(shù)的條件，稱為初始條件,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,二、分離變量法,稱為可分離變量的方程.,可分離變量方程的特點(diǎn)：,等式右邊可以分解成兩個(gè)函數(shù)之積，,其中一個(gè)只是的函數(shù)，另一個(gè)只是的函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,可分離變量方程的解法：,（1）分離變量：將該方程化為等式一邊只含變量，,而另一邊只含變量的形式，即,（2）兩邊積分：,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,例2.求微分方程,的通解.,解:分離變量得,兩邊積分,得,即,(C為任意常數(shù)),或,說(shuō)明:在求解過(guò)程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、,減解.,(此式含分離變量時(shí)丟失的解y=0),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,解方程變形為,分離變量得,兩邊積分得,求積分得,所以,即,(此式含分離變量時(shí)丟失的解y=0),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,例4.解初值問(wèn)題,解:分離變量得,兩邊積分得,即,由初始條件得C=1,(C為任意常數(shù)),故所求特解為,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,例5.,成正比,求,解:根據(jù)牛頓第二定律列方程,初始條件為,對(duì)方程分離變量,然后積分:,得,利用初始條件,得,代入上式后化簡(jiǎn),得特解,并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)(t=0)速度為0,設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度,降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.,t足夠大時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1.微分方程的概念,微分方程;,初始條件;,2.可分離變量方程的求解方法:,說(shuō)明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一個(gè)解.,例如,方程,分離變量后積分;,根據(jù)初始條件定常數(shù).,解;,階;,通解;,特解,y=x及y=C,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,找出事物的共性及可貫穿于全過(guò)程的規(guī)律列方程.,常用的方法:,1)根據(jù)幾何關(guān)系列方程,2)根據(jù)物理規(guī)律列方程,3)根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程,(2)利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定初始條件.,(3)求通解,并根據(jù)初始條件確定特解.,3.解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,練習(xí):,解法1分離變量,即,(C0),解法2,故有,積分,(C為任意常數(shù)),所求通解:,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,引例1.,一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),在該曲線上任意點(diǎn)處的,解:設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:,(C為任意常數(shù)),由得C=1,因此所求曲線方程為,由得,切線斜率為2x,求該曲線的方程.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,一、一階線性微分方程,一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:,若Q(x)0,稱為非齊次方程.,1.解齊次方程,分離變量,兩邊積分得,故通解為,稱為齊次方程;,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,已知函數(shù),對(duì)應(yīng)齊次方程通解,齊次方程通解,非齊次方程特解,2.解非齊次方程,用常數(shù)變易法:,則,故原方程的通解,即,即,作變換,兩端積分得,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,上述求解方法稱為常數(shù)變易法,用常數(shù)變易法求一階非齊次線性方程的通解的步驟為：,（1）先求出非齊次線性方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解,（3）將所設(shè)解代入非齊次線性方程,解出,并寫出非齊次線性方程的通解.,（2）根據(jù)所求出的齊次方程的通解設(shè)出非齊次線性方程的解(將所求出的齊次方程的通解中的任意常數(shù)C改為待定函數(shù)即可).,齊次方程通解,非齊次方程特解,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,首先對(duì)(1)式所對(duì)應(yīng)的齊次方程求解,方程(2)分離變量得,兩邊積分得,所以,齊次方程（2）的通解為,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,將通解中的任意常數(shù),換成待定函數(shù),即令,為原方程的通解,將其代入原方程得,于是,