基于多元線性回歸的薪酬合理性分析

第六屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了昆明理工大學(xué)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的。如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們的參賽報名序號為：信自學(xué)院第 5 隊 我們選擇的題號是（A題/B題）： A 我們的參賽性質(zhì)是（學(xué)院代表隊/個人參賽隊）： 學(xué)院 參賽隊員 (打印并簽名) ：1.信息工程與自動化學(xué)院 年級姓名 簽名 2.信息工程與自動化學(xué)院年級姓名簽名 3.信息工程與自動化學(xué)院 年級姓名簽名 數(shù)學(xué)建模聯(lián)絡(luò)員 (打印并簽名)：簽名 日期：2011年 05月23日評閱編號（由組委會評閱前進行編號）：第六屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽評 閱 專 用 頁評閱編號（由組委會評閱前進行編號）：評閱記錄（供評閱時使用）：評閱人評分備注總分基于多元線性回歸的薪酬合理性分析摘要本文圍繞學(xué)校工資制度合理性問題進行研究，以概率論數(shù)理統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)，通過多元線性回歸分析方法，建立現(xiàn)有薪金模型：分析了該學(xué)校教職工工資與可控因素的關(guān)系，并進一步考察了女工的待遇情況。再次根據(jù)模型得出的科學(xué)合理地設(shè)計了新的高校薪金分配方案。針對問題(1)：建立多元線性回歸模型，對數(shù)據(jù)表中的非數(shù)值數(shù)據(jù)引入虛擬變量，利用SPSS統(tǒng)計分析軟件對回歸系數(shù)及檢驗統(tǒng)計量進行求解，確定了日平均工資與各因素的關(guān)系，再運用逐步分析法，進一步說明了與哪些因素更加密切。根據(jù)問上邊已建立的多元回歸模型，再利用SPSS軟件進行性別與女性婚姻狀況的單因素方差分析，畫出單個因素的均值散點圖，從而考察了性別和婚姻狀況這兩個單因素分別對女工收入的影響。根據(jù)模型的特點，發(fā)現(xiàn)單因素線性回歸模型沒有考慮各因素之間的交互作用，故有必要引入交互變量，再次利用SPSS軟件進行雙因素方差分析，建立合理的含交互變量的回歸模型，同時對模型進行誤差分析。針對問題(2)：我們添加虛擬變量：x9科研成果,x10職稱，x11課時，x12地區(qū)因素，使用隨機數(shù)來模擬某理工大學(xué)這些虛擬變量的數(shù)值，同時我們結(jié)合目前績效工資改革，提出一種更合理的事業(yè)單位薪資計算模型。關(guān)鍵詞：虛擬變量 交互變量 多元線性回歸模型 SPSS軟件 單、雙因素方差分析 逐步回歸法 均值散點圖一問題重述某地人事部門為研究大學(xué)教師的薪金與他們的資力、性別、教育程度及培訓(xùn)情況等因素之間的關(guān)系，要建立一個數(shù)學(xué)模型，分析人事策略的合理性，特別是考察女教師是否受到不公正的待遇，以及她們的婚姻狀況是否會影響收入。為此，從當?shù)亟處熤须S機選了一些進行觀察，附表是90位教師的相關(guān)數(shù)據(jù)，現(xiàn)將表中數(shù)據(jù)的符號介紹如下：Z月薪（元）； X1工作時間（月）；X2=1男性，X2=0女性；X3=1男性或單身女性，X3=0已婚女性；X4學(xué)歷（取值06，值越大表示學(xué)歷越高）；X5=1受雇于重點大學(xué)，X5=0其它；X6=1受過培訓(xùn)的畢業(yè)生，X6=0未受過培訓(xùn)的畢業(yè)生或受過培訓(xùn)的肄業(yè)生；X7=1已兩年以上未從事教學(xué)工作，X7=0其它。請解決以下問題：（1） 建立數(shù)學(xué)模型，分析人事策略的合理性，特別是考察女教師是否受到不公正的待遇，以及她們的婚姻狀況是否會影響收入。（2） 表中所列的數(shù)據(jù)指標是否全面、合理，結(jié)合目前全國正在進行的工資改革，請為某所重點理工大學(xué)擬定一份績效工資分配方案。（提示：是否需要考慮教師的課時量、科研成果等，或者考慮大學(xué)排名用到的指標）二模型假設(shè)(1).政府政策方針與企業(yè)的人力資源規(guī)劃在一定時期內(nèi)保持不變。(2).假設(shè)員工收入僅與題中所給因素有關(guān)，不受其他因素影響。(3).假設(shè)員工的待遇僅由收入這一單方面來考察。 (4).假設(shè)該企業(yè)提供的各項數(shù)據(jù)都真實可靠。三符號說明四問題分析4.1 對問題（1）分析4.1.1 人事策略的合理性分析 由題意可知，本題是要求分析平均日工資與所給因素之間的關(guān)系，尤其要分析出與哪些關(guān)系更加密切。平均日工資=性別、婚姻、學(xué)歷、工齡等因素的線性組合。由于部分變量是定性非數(shù)值型數(shù)據(jù)，于是采用引入虛擬變量的方法，建立基本的多元線性回歸模型，利用SPSS統(tǒng)計分析軟件對回歸系數(shù)及檢驗統(tǒng)計量進行求解，從而確定日平均工資與各因素的線性關(guān)系。進而對模型用逐步分析法加以修正，得出收入與哪些因素關(guān)系更加密切。同時間接反映出現(xiàn)有薪資體系的利弊，使這些因素在一定程度上指導(dǎo)事業(yè)單位工資制度的改革，營造更加合理人性化的社會。4.1.2 是否已婚對女性收入影響 本題是利用性別、婚姻狀況單因素方差分析及它們與工齡和教育的雙因素方差分析結(jié)果，再結(jié)合均值散點圖，考察出性別和婚姻狀況這兩個單因素分別對女工收入的影響，從而分析出現(xiàn)有的人事策略是不是對女性存在性別歧視和她們的婚姻狀況是不是會影響到收入。4.2 問題（2）的求解 本題是模型改進及優(yōu)化。依據(jù)多元線性回歸模型的特點，由于部分因素之間存在交互作用，故利用SPASS軟件對各個因素進行兩兩雙因素方差分析，進而引入交叉項，改進單因素方差分析的不合理之處，同時進行模型誤差分析。五 模型的建立及求解5.1 問題（1）求解5.1.1分析平均日工資與其他因素之間的關(guān)系，尤其需要說明與哪些因素關(guān)系密切。(1)引入虛擬變量；1、定義設(shè)變量D表示某種屬性，該屬性有兩種相互排斥的類型，即當屬性存在時D取值為1；當屬性不存在時D取值為0。記為 (2)建立多元線性回歸模型： 5.1.2 模型的求解利用Spss回歸分析對模型進行求解，可得出回歸系數(shù)及，結(jié)果。表5.1.1 模型概覽表模型匯總模型RR 方調(diào)整 R 方標準 估計的誤差1.891a.794.7767.67175a. 預(yù)測變量: (常量), 經(jīng)驗, 重點, 工年齡, 婚否, 培訓(xùn), 性別, 學(xué)歷。表5.1.2 方差分析表Anovab模型平方和df均方FSig.1回歸18606.69772658.10045.163.000a殘差4826.1668258.856總計23432.86389a. 預(yù)測變量: (常量), 經(jīng)驗, 重點, 工年齡, 婚否, 培訓(xùn), 性別, 學(xué)歷。b. 因變量: 工資（元/天）表5.1.3 系數(shù)表系數(shù)a模型非標準化系數(shù)標準系數(shù)B 的 95.0% 置信區(qū)間B標準 誤差試用版tSig.下限上限1(常量)37.5861.84720.354.00033.91341.260工年齡.090.007.70713.222.000.076.103性別1.3642.397.042.569.571-3.4046.132婚否-.4492.519-.013-.178.859-5.4614.563學(xué)歷5.3471.394.4013.836.0002.5748.120重點1.0451.958.032.534.595-2.8494.940培訓(xùn)2.5644.092.065.627.533-5.57610.705經(jīng)驗-.0422.118-.001-.020.984-4.2554.170a. 因變量: 工資（元/天）由表5.1.1模型概覽表可得出，；從表5.12得出，表明模型的線性關(guān)系在95的置信水平下顯著成立。因此，該模型從整體上看是可用的，由系數(shù)表中的各項可以得到回歸方程。對模型中回歸系數(shù)的初步解釋如下，的系數(shù)是0.090，說明在其他因素不變情況下，工齡增長一個月其月工資增長0.090元；的系數(shù)是1.364大于0，說明在其他因素不變的情況下，男性員工要比女性員工的月工資多1.364元；的系數(shù)為-0.449小于0，說明在其他因素相同的情況下，已婚女性工資要比未婚女性工資要低0.449元/天；的系數(shù)均為正數(shù)，說明在其他因素相同的前提下，員工的學(xué)歷越同高、受雇重點大學(xué)、參加過培訓(xùn)，他們對于學(xué)歷較低、受雇于一般大學(xué)、沒有參加過培訓(xùn)的工資相對要高。的系數(shù)為-0.02小于0，說明在其他因素保持不變的條件下，管理部門的員工平均日工資要比技術(shù)的部門的員工平均年工資要低0.042元每天，管理部分員工比技術(shù)部門員工工資低，這個有存在的合理性。以上就根據(jù)回歸系數(shù)對各因素與平均日工資的關(guān)系進行了分析。對模型的進一步討論：由表5.1.1可以看出相關(guān)系數(shù)=0.794，可能存在多重共線性，為了進一步優(yōu)化模型，使接近于1，也就是更接近現(xiàn)實。故須用逐步回歸法（Stepwise）加以修正。表5.1.4模型概覽表模型匯總模型RR 方調(diào)整 R 方標準 估計的誤差1.750a.563.55810.790792.889b.790.7857.522883.890c.792.7857.529664.891d.793.7837.552965.891e.793.7817.59763a. 預(yù)測變量: (常量), 工齡。b. 預(yù)測變量: (常量), 工齡, 學(xué)歷。c. 預(yù)測變量: (常量), 工齡, 學(xué)歷, 重點。d. 預(yù)測變量: (常量), 工齡, 學(xué)歷, 重點, 培訓(xùn)。e. 預(yù)測變量: (常量), 工齡, 學(xué)歷, 重點, 培訓(xùn), 經(jīng)驗。表5.1.5 Anovaf模型平方和df均方FSig.1回歸13186.038113186.038113.242.000a殘差10246.82488116.441總計23432.863892回歸18509.21129254.606163.527.000b殘差4923.6518756.594總計23432.863893回歸18557.02336185.674109.103.000c殘差4875.8398656.696總計23432.863894回歸18583.84644645.96281.441.000d殘差4849.0168557.047總計23432.863895回歸18584.05153716.81064.389.000e殘差4848.8118457.724總計23432.86389a. 預(yù)測變量: (常量), 工齡。b. 預(yù)測變量: (常量), 工齡, 學(xué)歷。c. 預(yù)測變量: (常量), 工齡, 學(xué)歷, 重點。d. 預(yù)測變量: (常量), 工齡, 學(xué)歷, 重點, 培訓(xùn)。e. 預(yù)測變量: (常量), 工齡, 學(xué)歷, 重點, 培訓(xùn), 經(jīng)驗。f. 因變量: 工資（元/天）表5.1.6系數(shù)a由表5.1.4可得樣本相關(guān)系數(shù)，比前面所得回歸方程的要小，但這主要是由于解釋變量減少引起的，這點從方程總體線性顯著性檢驗的遠遠大于檢驗的臨界值，且可以看出來。因此，該模型從整體上看其線性關(guān)系在95的置信水平下是顯著成立的，再由系數(shù)表得兩個系數(shù)的顯著性均為0.000，小于0.05，說明系數(shù)都通過了t檢驗。于是由系數(shù)表中的各項可以得到簡化后的回歸方程：由此分析出，對平均日工資影響比較密切的兩個因素是員工的受教育程度和工齡，其中工齡影響尤為顯著，其對收入的影響可由均值散點直觀的看出，如圖圖5.1.7學(xué)歷對日均工資影響從圖中可以直觀的看出，工齡對薪水影響最密切，呈現(xiàn)一定的線性關(guān)系。5.1.3 考察女工是否受到不公正待遇 通過對問題一的求解結(jié)果可知，受教育情況對員工的收入影響顯著，所以在考慮性別對員工收入的影響時，先考察工齡、教育狀況與性別的雙因素對員工收入的影響。結(jié)果見表5.2.1及表5.2.2表5.2.1主體間效應(yīng)的檢驗因變量:工資（元/天）源III 型平方和df均方FSig.模型.639a794071.894123.420.000x23.55913.559.108.749x120610.72870294.4398.925.000x2 * x1210.518730.074.912.532誤差362.9131132.992總計.55290a. R 方 = .999（調(diào)整 R 方 = .991）由表5.2.1知，從而可知工齡和性別的交叉因素對員工收入的影響可忽略。表5.2.2主體間效應(yīng)的檢驗因變量:工資（元/天）源III 型平方和df均方FSig.模型.923a838415.240213.989.000x2211.6031211.6031.179.281x45166.87241291.7187.195.000x2 * x4745.5832372.7922.077.132誤差14720.62982179.520總計.55290a. R 方 = .954（調(diào)整 R 方 = .950）表5.2.3由表 5.2.2可知，性別和教育這一交叉因素也可忽略。 可通過對模型中性別這一因素進行單因素方差分析來分析性別對女工是否受到不公正待遇。分析結(jié)果如下， 由表5.2.3可得出，大于的檢驗臨界值， ，顯然性別通過了顯著性檢驗。又如下圖圖5.2.4可以看出，女工的平均日工資顯然要比男性的平均日工資要低。由此可得出女工受到了不公正待遇。5.2.1 女性婚姻狀況對收入的影響 為考察這一問題，同樣也是先考察工齡、教育狀況與女性婚姻狀況的交叉因素對員工收入的影響。分析結(jié)果見表5.2.5及表5.2.6表5.2.5主體間效應(yīng)的檢驗因變量:工資（元/天）源III 型平方和df均方FSig.模型.013a804022.663175.249.000x120625.30370294.64712.836.000x3123.4701123.4705.379.043x1 * x3260.757832.5951.420.296誤差229.5391022.954總計.55290a. R 方 = .999（調(diào)整 R 方 = .994）由表5.2.5可知，工齡與女性婚姻狀況這一交叉因素對員工收入的影響可忽略。表5.2.6主體間效應(yīng)的檢驗因變量:工資（元/天）源III 型平方和df均方FSig.模型.147a743833.021239.172.000x3188.2311188.2311.027.314x45028.46541257.1166.859.000x3 * x415.504115.504.085.772誤差15211.40583183.270總計.55290由表5.2.6可知，教育狀況與女性婚姻這一交叉因素對員工收入的影響也可忽略。進而可通過對女性婚姻狀況這一因素進行單因素分析，考察女性婚姻狀況是否影響其收入。分析結(jié)果如表5.2.7所示表5.2.7ANOVA工資（元/天）平方和df均方F顯著性組間2067.83812067.8388.517.004組內(nèi)21365.02488242.784總數(shù)23432.86389由表5.2.7可得出，大于的檢驗臨界值， ，顯然女性婚姻狀況這一因素也通過了顯著性檢驗。如下圖圖5.2.8由上圖可知，未婚女性平均日工資要比已婚女性平均日工資要低，由此可知，女性的婚姻狀況會影響她們的收入。X3=0為已婚女性，日薪的平均值為51元左右，而x3=1未婚男性或者女性日薪平均值為61元左右，很明顯已婚女性的收入低于未婚男性或者女性，她們的婚姻狀況影響收入。5.1.4 問題（1）模型分析的結(jié)果通過多元線性回歸分析方法，建立現(xiàn)有薪金模型，通過以上對人事策略因子的分析和比較，得出以下結(jié)論：（1）現(xiàn)有的人事策略不夠合理，面對新一輪的績效工資改革，我們需要完善大學(xué)教師薪金分配，激勵優(yōu)秀。（2）在現(xiàn)有的薪金體制下，存在一定的性別和婚姻歧視，從我們的模型得出結(jié)論：在其他因素相同或者接近的情況下，女性的日工資水平低于男性的，已婚女性的工資水平低于未婚女性或者男性。因薪資概率方案應(yīng)該考慮到現(xiàn)有體制中存在的弊端，我們將在問題（2）中通過合理科學(xué)的模型，建立一種全面、合理、科學(xué)的工資分配方案。5.3對問題（2）求解5.3.1 模型的建立（1）通過前邊的分析，我們得出結(jié)論：x2性別因素和x3是否已婚這兩個因素影響薪金模型合理科學(xué)，同時考慮到向模型中加入其他對于高校薪金影響力較大的因素：課時，職稱，地區(qū)，科研成果等因素，我們把這四個因素和因素一起求解分析，建立更加數(shù)學(xué)模型。引入四個值的虛擬隨機變量，講四個因素數(shù)量化。（2）使用Matlab生成隨機數(shù)，來模擬某高校的教師科研情況具體數(shù)量值見附件二.xls5.3.2 模型的求解運用多元回歸分析的方法建立模型：我們直接用Matlab命令Stepwise求解，圖5-1有三部分組成從上往下依次是：Stepwise Plot, Stepwise Table, Stepwise History圖5-1從圖中我們看到相關(guān)性系數(shù)R2=0.，接近0.8即自變量與應(yīng)變量有較強的線性關(guān)系，x1,x4,x5,x6,x7,x9,x10,x11,x12的置信區(qū)間均包含原點，x1,x4,x5,x6,x7,x9,x10,x11,x12對應(yīng)變量的影響比較顯著。擬合分析得到的值為：b = 39.3209 0.0901 4.9734 1.6540 3.8233 -0.2636 1.0270 -0.0166 0.0886 -1.0498帶入回歸方程得到：加入新的虛擬變量以后得到的回歸方程：接著就是利用檢測量R,F,P的值判斷改模型是否可用。（1）判定系數(shù)R2的評價：一般地，怕頂系數(shù)在0.81范圍內(nèi)，課判斷回歸自變量與因變量具有較強的線性相關(guān)性。本例中R2為 0.7481，表明線性相關(guān)性較強。（2）F檢驗法：當FnF1-(k,n-k-1)時則拒絕原假設(shè)，即認為因變量y與自變量x1，x2，x3xk之間顯著地有線性相關(guān)關(guān)心；否則熱為因變量y與自變量x1，x2，x3xk之間線性相關(guān)關(guān)心不明顯。本例中FnF1-(k,n-k-1)，線性關(guān)系明顯。（3）P檢驗法：若P（為預(yù)訂顯著水平），則說明因變量y與自變量x1，x2，x3xk之間有顯著地線性想干關(guān)系。本例中P=0.004a，所以有較好的線性關(guān)系。以上三種統(tǒng)計推斷方法的結(jié)果是一致的，說明因變量y與自變量x1，x2xk之間顯著地有線性相關(guān)關(guān)系，所以回歸模型可用。六.模型優(yōu)化殘差分析殘差ei=yi-yi（i=1,2，90），是各觀測值yi與回歸方程所對應(yīng)得到的擬合值yi之差，實際上， 它是線性回歸模型中誤差的估計值。（0，2）即有零均值和常值方差，利用殘差的這種性質(zhì)反過來考察原模型的合理性就是殘差分析的基本思想。利用MATLAB進行殘差分析則是通過殘差圖。從回歸模型的殘差e與擬合值y的散點圖，我們可以清楚的看淡殘差大都分布在零的附近，因此還是比較好的，不過40,48,49,58,59,65,85，90這八個樣本點的殘差偏離遠點較遠，如果作為奇異點看待，去掉后重新擬合。模型改進去掉壞點后，利用MATLAB求解，各個回歸系數(shù)分別為b = 39.5587 0.0007 0.0287 0.0095 0.0571 -0.0088 0.0015 0.0059 0.0003 -0.0079stats =0.8931 61.2654 0 0.0019擬合方程為： 除去壞點以后，回歸系數(shù)的置信期間更小均不包含原點，統(tǒng)計變量stats包含三個統(tǒng)計計量回歸系數(shù)R2，假設(shè)檢驗統(tǒng)計計量F，概率P，分別為：0.8931 61.2654 0.0019，和上邊比較可知，R2，F(xiàn)均增加，模型得到改進。六、 模型的評價和推廣6.1 優(yōu)點：(1)本文解決問題的模型是簡單的多元線性回歸模型，但是這并