數(shù)學(xué)建模 - 建模過(guò)程、比例性和幾何相似性

第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性 韓建偉 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei 2011/09/26 . . 現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界 構(gòu)建模型來(lái)了解世界 對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的行為或現(xiàn)象的未來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，分析各種行為對(duì)其影響 系統(tǒng): 一些有規(guī)律的相互作用或內(nèi)在的依賴(lài)關(guān)系聯(lián)結(jié)在一起的對(duì)象 集合體 建模者希望了解一個(gè)特殊的系統(tǒng)是怎么工作的 是什么造成了系統(tǒng)變化系統(tǒng)對(duì)某些變化有多敏感 預(yù)測(cè)系統(tǒng)變化以及何時(shí)發(fā)生變化 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/262 / 31 . 為什么要建模 直接進(jìn)行試驗(yàn)成本很高 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/263 / 31 . 建模的步驟 . . . 1 通過(guò)觀察，識(shí)別有關(guān)實(shí)際行為的主要因素，可能要做簡(jiǎn)化 . . . 2 猜測(cè)因素之間暫時(shí)的關(guān)系 . . . 3 將數(shù)學(xué)分析用于所得到的模型 . . . 4 借助實(shí)際問(wèn)題來(lái)解釋數(shù)學(xué)的結(jié)論 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/264 / 31 . 數(shù)學(xué)模型 . 定義 . . . . . . . . 為了研究特定的實(shí)際系統(tǒng)或現(xiàn)象而設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，圖示、符號(hào)、模擬 和實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)都包括在內(nèi). 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/265 / 31 . 模型的性質(zhì) 保真性 模型表示現(xiàn)實(shí)的精確性 成本 建模過(guò)程的總費(fèi)用 靈活性 當(dāng)收集到了所需要的數(shù)據(jù)時(shí)，改變和控制影響改模型的諸 多條件的能力 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/266 / 31 . 模型的構(gòu)建 . . . 1 識(shí)別問(wèn)題 . . . 2 做出假設(shè) . . . 1識(shí)別變量并對(duì)變量進(jìn)行分類(lèi) . . . 2確定研究中所選擇的變量和子模型之間的相互關(guān)系 . . . 3 求解或解釋模型 . . . 4 驗(yàn)證模型 . . . 1表述了問(wèn)題嗎？ . . . 2在通常的意義下它有意義嗎? . . . 3用實(shí)際數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)該模型 . . . 5 實(shí)施模型 . . . 6 維修模型 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/267 / 31 . 車(chē)輛的停止距離 情景 車(chē)與車(chē)之間的跟隨距離 每 10 英里的速度允許一輛車(chē)長(zhǎng)度的跟隨距離 看著前車(chē)剛駛過(guò)的點(diǎn), 2 秒之內(nèi)到達(dá)表示太近了 識(shí)別問(wèn)題 預(yù)測(cè)作為車(chē)輛速率函數(shù)的車(chē)輛的總的停止距離 (跟車(chē)距離) 假設(shè) 總的停止距離 = 反應(yīng)距離 + 剎車(chē)距離 反應(yīng)距離 = f(反應(yīng)時(shí)間, 速率) 剎車(chē)距離 = h(重量, 速率) 驗(yàn)證 不符合實(shí)際駕駛情形 評(píng)估某些假設(shè), 或重新構(gòu)建子模型 實(shí)施 只有易于理解并易于使用的才是有效的 維修 機(jī)動(dòng)剎車(chē)或圓盤(pán)剎、車(chē)胎設(shè)計(jì)等基本變化 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/268 / 31 . 和科學(xué)方法的對(duì)比 . . . 1 對(duì)現(xiàn)象做一些一般性的觀察 . . . 2 形成關(guān)于觀察的假設(shè) . . . 3 研制檢驗(yàn)該假設(shè)的一種方法 . . . 4 收集用于改檢驗(yàn)的數(shù)據(jù) . . . 5 利用改數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)假設(shè) . . . 6 肯定或者拒絕該假設(shè) 相似之處 都包括假設(shè)、收集實(shí)際數(shù)據(jù)以及用數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)或驗(yàn)證假設(shè) 不同之處 數(shù)學(xué)建模是假設(shè)一個(gè)模型，而科學(xué)方法是確認(rèn)模型；數(shù)學(xué) 模型的目標(biāo)不是肯定或者拒絕該模型，而是檢驗(yàn)其合理性 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/269 / 31 . 模型的迭代性質(zhì) 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2610 / 31 . 數(shù)學(xué)建模的藝術(shù)：根據(jù)需要簡(jiǎn)化或改進(jìn)模型 模型簡(jiǎn)化模型改進(jìn) 1. 限制問(wèn)題的識(shí)別1. 擴(kuò)展問(wèn)題 2. 忽略一些變量2. 考慮額外的變量 3. 若干變量合并的效果3. 仔細(xì)考慮每個(gè)變量 4. 令某些變量為常數(shù)4. 允許變量變化 5. 假設(shè)簡(jiǎn)單的（線(xiàn)性）關(guān)系5. 考慮非線(xiàn)性關(guān)系 6. 融入更多的假設(shè)6. 減少假設(shè)的數(shù)量 強(qiáng)健 結(jié)論并不依賴(lài)于精確地滿(mǎn)足其假設(shè) 脆弱 結(jié)論依賴(lài)于要滿(mǎn)足某些類(lèi)型的條件 敏感性 模型結(jié)論所依賴(lài)的某個(gè)條件變化時(shí)結(jié)論的變化程度 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2611 / 31 . 利用比例性進(jìn)行建模 . 定義 . . . . . . . .y x 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)某個(gè)常數(shù) k 0，有 y = kx y x2 y = k1x2 y lnx y = k2lnx y ex y = k3ex y x,x z y z 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2612 / 31 . 船的排水量 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2613 / 31 . 著名的比例性定律 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2614 / 31 . 開(kāi)普勒第三定律 T = cR 3 2, 其中 T 是周期（天數(shù)）而 R 是到太陽(yáng)的平均距離 c = 90466.8 88 220869.1 216 0.410 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2615 / 31 . 對(duì)車(chē)輛停止距離建模 . 一般規(guī)則 . . . . . . . . 每 10 英里的速度允許一輛車(chē)長(zhǎng)度的跟隨距離 看著前車(chē)剛駛過(guò)的點(diǎn), 2 秒之內(nèi)到達(dá)表示太近了 為使兩條規(guī)則一致，在 10 英里/小時(shí)的情形： 如果車(chē)長(zhǎng)只有 15ft 呢？ 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2616 / 31 . 觀測(cè)數(shù)據(jù) 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2617 / 31 . 反應(yīng)距離 總的停止距離 = 反應(yīng)距離 + 剎車(chē)距離 反應(yīng)距離 = f(反應(yīng)時(shí)間, 速率) 假設(shè)反應(yīng)時(shí)間內(nèi)汽車(chē)以原速率運(yùn)行: dr= trv 驗(yàn)證: 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2618 / 31 . 剎車(chē)距離 剎車(chē)距離 = h(重量, 速率) 所做的功 = Fdb= 1 2mv 2 假設(shè)剎車(chē)的最大減速不變，由 F = ma 可知, F m 由上面兩點(diǎn)可知，db v2 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2619 / 31 . 模型驗(yàn)證 d = 1.1v + 0.054v2 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2620 / 31 . 改進(jìn)觀察前車(chē)法則 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2621 / 31 . 新法則 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2622 / 31 . 利用幾何相似性進(jìn)行建模 l l = w w = h h = k V V = lwh lwh = k3 S S = 2lh+2wh+2wl 2lh+2wh+2wl = k2= l2 l2 S l2,V l3 y = f(l,S,V) = g(l,l2,l3) 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2623 / 31 . 從不動(dòng)的云層落下的雨滴 F = Fg Fd= ma 終極速度時(shí)，加速度為 0，故 Fg Fd= 0 或 Fg= Fd 假設(shè) Fd Sv2 Fg w,w m Fg m 假設(shè)雨滴幾何相似: S l2,V l3 S V2/3 質(zhì)量和體積成正比 m V, 故 S m(2/3) 因?yàn)?Fg= Fd故 m m(2/3)v2 m1/6 v 雨滴的終極速度與其質(zhì)量的六分之一次方成正比 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2624 / 31 . 釣魚(yú)比賽建模 V l3 W l3 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2625 / 31 . 驗(yàn)證模型 W = 0.00853l3 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2626 / 31 . 改進(jìn)模型 V leffAavg V lg2 W = klg2 W = 0.0196lg2 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2627 / 31 . 駭鳥(niǎo)尺寸建模 W = kl3,k 0 同樣的思想. 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2628 / 31 . 汽車(chē)的汽油里程 識(shí)別問(wèn)題 汽車(chē)的速度和它的燃油里程之間是什么關(guān)系? 假設(shè) 燃油里程 = f(推進(jìn)力，阻力，駕駛習(xí)慣，等等) 限制問(wèn)題的識(shí)別 忽略溫度、空氣密度、路況、駕駛習(xí)慣等因素 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/2629 / 31 . 建模 汽車(chē)常速行駛: Fp= Fr K 為每加侖汽油能量，Cr為單位時(shí)間油耗, 則 F CrK v , 假設(shè) K 不 變, F Cr v 阻力 Fr Sv2, 假設(shè)汽車(chē)橫截面積不變 Fr v2 Fp= Fr CrK v v2 Cr v3 燃油里程 = 距離 油耗 = vt Crt = v Cr v2 該模型可靠嗎？ 韓建偉 ( 浙江工商大學(xué)信息學(xué)院 hanjianwei )第 2 章建模過(guò)程、比例性和幾何相似性2011/09/263