2017數(shù)學二真題

正?？佳薪逃W(wǎng)一、選擇題（每小題4分，共32分）（1）若函數(shù)在處連續(xù)，則（）。A. B. C. D. 【答案】A【解析】由連續(xù)的定義可知：其中，從而，也即，故選A.【試題點評】本題考查函數(shù)的連續(xù)性。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第一章函數(shù)、極限、連續(xù)和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（2）設(shè)二階可導函數(shù)滿足，且，則（）。A. B. C. D. 【答案】B【解析】由于可知其中的圖像在其任意兩點連線的曲線下方，也即，因此同理，因此從而，故選B.【試題點評】本題考查二階導數(shù)與拐點的關(guān)系。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第二章導數(shù)與微分和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（3）設(shè)數(shù)列收斂，則（）。A.當時，B.當時，C.當時，D.當時，【答案】D【解析】，而要使，只有a=0，故D正確?！驹囶}點評】本題考查級數(shù)收斂性。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第九章級數(shù)和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（4）微分方程的特解可設(shè)為（）。A. B. C. D. 【答案】C【解析】齊次方程的特征根為，原方程可分解為兩個非齊次方程：和，可知第一個方程的特解為，第二個方程的特解為，故選C.【試題點評】本題考查微分方程的解。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第五章微分方程和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（5）設(shè)具有一階偏導數(shù)，且在任意的，都有，則（）。A. B. C. D. 【答案】D【解析】易知分別關(guān)于單調(diào)遞增和單調(diào)遞減，所以選D.【試題點評】本題考查函數(shù)的導數(shù)。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第二章導數(shù)與微分和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（6）甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10（單位：m）處，圖中，實線表示甲的速度曲線（單位：m/s），虛線表示乙的速度曲線，三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10，20，3，計時開始后乙追上甲的時刻記為（單位：s），則（）。A. B. C. D. 【答案】C【解析】時，乙比甲多跑10m，而最開始的時候甲在乙前方10m處?！驹囶}點評】本題考查函數(shù)的導數(shù)。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第二章導數(shù)與微分和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（7）設(shè)為三階矩陣，為可逆矩陣，使得，則（）。A. B. C. D. 【答案】B【解析】由相似矩陣的特征值與特征向量的定義，可知.【試題點評】本題考查可逆矩陣。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第二部分線性代數(shù)有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班線性代數(shù)第二章矩陣和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（8）已知矩陣，則（）。A.A與C相似，B與C相似B. A與C相似，B與C不相似C. A與C不相似，B與C相似D. A與C不相似，B與C不相似【答案】B【解析】A，B的特征值為2,2,1，但A有三個線性無關(guān)的特征向量，而B只有兩個，所以A可對角化，B則不行.【試題點評】本題考查相似矩陣。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第二部分線性代數(shù)有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班線性代數(shù)第五章特征值與特征向量和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。二、填空題（每小題4分，共24分）（9）曲線的斜漸近線方程為_。【答案】【解析】，則斜漸近線方程為.【試題點評】本題考查導數(shù)的應(yīng)用。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第三章中值定理與導數(shù)應(yīng)用和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（10）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，則=_?！敬鸢浮俊窘馕觥俊驹囶}點評】本題考查二階導數(shù)。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第二章導數(shù)與微分和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（11）=_?！敬鸢浮?【解析】【試題點評】本題考查定積分的性質(zhì)。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第四章不定積分和定積分和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（12）設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，且，則=_?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意可知，即即故c=0,.【試題點評】本題考查函數(shù)的導數(shù)。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第二章導數(shù)與微分和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（13）=_?！敬鸢浮俊窘馕觥俊驹囶}點評】本題考查定積分的性質(zhì)。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第四章不定積分和定積分和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（14）設(shè)矩陣的一個特征向量為，則=_。【答案】-1【解析】【試題點評】本題考查矩陣。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第二部分線性代數(shù)有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班線性代數(shù)第五章特征值與特征向量和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。三、解答題（共94分）（15）（本題滿分10分）求【答案】【解析】令【試題點評】本題考查函數(shù)的極限。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第一章函數(shù)、極限、連續(xù)和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)具有2階連續(xù)性偏導數(shù)，求?！敬鸢浮浚弧窘馕觥俊驹囶}點評】本題考查切線方程與導數(shù)的關(guān)系。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第三章中值定理與導數(shù)的應(yīng)用和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（17）（本題滿分10分）求?！敬鸢浮俊窘馕觥俊驹囶}點評】本題考查級數(shù)。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第九章級數(shù)和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（18）（本題滿分10分）已知函數(shù)由方程確定，求的極值。【答案】當x=1時函數(shù)有極大值，極大值為1，當x=-1時函數(shù)有極小值，極小值為0.【解析】方程兩邊對x求導得：令當方程兩邊再對x求導: 令當x=1，y=1時，當x=-1時，所以當x=1時函數(shù)有極大值，極大值為1，當x=-1時函數(shù)有極小值，極小值為0.【試題點評】本題考查多元函數(shù)極值。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第六章空間解析幾何與多元微分學和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（19）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有2階導數(shù)，且，證明：（）方程在區(qū)間內(nèi)至少存在一個實根；（）方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個不同實根?！敬鸢浮柯浴窘馕觥浚ǎ┳C：因為，由極限的局部保號性知，存在，使得，而，由零點存在定理可知，存在，使得。（）構(gòu)造函數(shù)，因此，因為，所以，由拉格朗日中值定理知，存在，使得，所以，因此根據(jù)零點定理可知存在，使得，所以，所以原方程至少有兩個不同實根?！驹囶}點評】本題考查二階導數(shù)。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第二章導數(shù)與微分和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（20）（本題滿分11分）已知平面區(qū)域，計算二重積分?！敬鸢浮俊窘馕觥俊驹囶}點評】本題考查二重積分。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第七章重積分和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（21）（本題滿分11分）設(shè)是區(qū)間內(nèi)的可導函數(shù)，且，點是曲線上的任意一點，在點處的切線與軸相交于點，法線與軸相交于點，若，求上點的坐標滿足的方程?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)曲線L在（x,y）處的切線方程為，所以對應(yīng)的法線方程為，所以因此，即這是一個齊次方程，可令，最終求得方程的通解為再由得【試題點評】本題考查切線方程與導數(shù)的關(guān)系。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第一部分高等數(shù)學有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班高等數(shù)學第三章中值定理與導數(shù)的應(yīng)用和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（22）（本題滿分11分）設(shè)3階矩陣有3個不同的特征值，且，（）證明；（）如果，求方程組的通解?！敬鸢浮浚ǎ┞?；（）。【解析】（）證：因為有三個不同的特征值，所以不是零矩陣，因此，若，那么特征根0是二重根，這與假設(shè)矛盾，因此，又根據(jù)，所以，因此。（）因為，所以的基礎(chǔ)解系中只有一個解向量，又，即，因此基礎(chǔ)解系的一個解向量為。因為，故的特解為，因此的通解為?！驹囶}點評】本題考查線性方程組的解。此知識點在沖刺階段的數(shù)學沖刺串講班中第二部分線性代數(shù)有重點講解，在強化階段數(shù)學強化班線性代數(shù)第四章線性方程組和強化階段數(shù)學重點題型精講班也均有涉及。（23）（本題滿分11分）設(shè)二次型在正交變換下的標準型為，求的值及一個正交矩陣?！敬鸢浮?，