公務(wù)員考試數(shù)量關(guān)系數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題

中公教育給人改變未來的力量 泰州中公教育電話地址：泰州市海陵區(qū)青年北路 219 號金茂大廈 817 室 數(shù)量關(guān)系數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題 數(shù)量關(guān)系數(shù)學(xué)中把含有數(shù)量關(guān)系的實際問題用語言或文字?jǐn)⑹龀鰜恚?這樣所形成的題目 叫做應(yīng)用題。任何一道應(yīng)用題都由兩部分構(gòu)成。第一部分是已知條件（簡稱條件），第二部 分是所求問題（簡稱問題）。應(yīng)用題的條件和問題，組成了應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)。 應(yīng)用題可分為一般應(yīng)用題與典型應(yīng)用題。 沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運(yùn)算的應(yīng)用題，叫做一般應(yīng)用題。 題目中有特殊的數(shù)量關(guān)系， 可以用特定的步驟和方法來解答的應(yīng)用題， 叫做典型應(yīng)用題。 這本資料主要研究以下 30 類典型應(yīng)用題： 1 1、歸一問題、歸一問題 2 2、歸總問題、歸總問題 3 3、和差問題、和差問題 4 4、和倍問題、和倍問題 5 5、差倍問題、差倍問題 6 6、倍比問題、倍比問題 7 7、相遇問題、相遇問題 8 8、追及問題、追及問題 9 9、植樹問題、植樹問題 1010、年齡問題、年齡問題 1111、行船問題、行船問題 1212、列車問題、列車問題 1313、時鐘問題、時鐘問題 1414、盈虧問題、盈虧問題 1515、工程問題、工程問題 1616、正反比例問題、正反比例問題 1717、按比例分配、按比例分配 1818、百分?jǐn)?shù)問題、百分?jǐn)?shù)問題 1919、“牛吃草牛吃草”問題問題 2020、雞兔同籠問題、雞兔同籠問題 2121、方陣問題、方陣問題 2222、商品利潤問題、商品利潤問題 2323、存款利率問題、存款利率問題 2424、溶液濃度問題、溶液濃度問題 2525、構(gòu)圖布數(shù)問題、構(gòu)圖布數(shù)問題 2626、幻方問題、幻方問題 2727、抽屜原則問題、抽屜原則問題 2828、公約公倍問題、公約公倍問題 2929、最值問題、最值問題 3030、列方程問題、列方程問題 1 1歸一問題歸一問題 【含義】【含義】在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求 出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題。出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題。 【數(shù)量關(guān)系】【數(shù)量關(guān)系】總量總量份數(shù)份數(shù)1 1 份數(shù)量份數(shù)量 1 1 份數(shù)量份數(shù)量所占份數(shù)所求幾份的數(shù)量所占份數(shù)所求幾份的數(shù)量 另一總量另一總量（總量（總量份數(shù)）所求份數(shù)份數(shù)）所求份數(shù) 【解題思路和方法】【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。 例 1買 5 支鉛筆要 0.6 元錢，買同樣的鉛筆 16 支，需要多少錢？ 解（1）買 1 支鉛筆多少錢？0.650.12（元） （2）買 16 支鉛筆需要多少錢？0.12161.92（元） 列成綜合算式0.65160.12161.92（元） 答：需要 1.92 元。 例 23 臺拖拉機(jī) 3 天耕地 90 公頃，照這樣計算，5 臺拖拉機(jī) 6 天耕地多少公頃？ 解（1）1 臺拖拉機(jī) 1 天耕地多少公頃？903310（公頃） （2）5 臺拖拉機(jī) 6 天耕地多少公頃？ 1056300（公頃） 列成綜合算式9033561030300（公頃） 答：5 臺拖拉機(jī) 6 天耕地 300 公頃。 例 35 輛汽車 4 次可以運(yùn)送 100 噸鋼材， 如果用同樣的 7 輛汽車運(yùn)送 105 噸鋼材， 需要運(yùn) 幾次？ 解 （1）1 輛汽車 1 次能運(yùn)多少噸鋼材？100545（噸） （2）7 輛汽車 1 次能運(yùn)多少噸鋼材？5735（噸） 中公教育給人改變未來的力量 泰州中公教育電話地址：泰州市海陵區(qū)青年北路 219 號金茂大廈 817 室 （3）105 噸鋼材 7 輛汽車需要運(yùn)幾次？ 105353（次） 列成綜合算式105（100547）3（次） 答：需要運(yùn) 3 次。 2 2歸總問題歸總問題 【含義【含義】解題時解題時，常常先找出常常先找出“總數(shù)量總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問然后再根據(jù)其它條件算出所求的問 題，叫歸總問題。所謂題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量總數(shù)量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝 地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等。地上的總產(chǎn)量、幾小時行的總路程等。 【數(shù)量關(guān)系】【數(shù)量關(guān)系】1 1 份數(shù)量份數(shù)量份數(shù)總量份數(shù)總量 總量總量1 1 份數(shù)量份數(shù)份數(shù)量份數(shù) 總量總量另一份數(shù)另一每份數(shù)量另一份數(shù)另一每份數(shù)量 【解題思路和方法】【解題思路和方法】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。 例 1服裝廠原來做一套衣服用布 3.2 米， 改進(jìn)裁剪方法后， 每套衣服用布 2.8 米。 原來做 791 套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？ 解（1）這批布總共有多少米？3.27912531.2（米） （2）現(xiàn)在可以做多少套？2531.22.8904（套） 列成綜合算式3.27912.8904（套） 答：現(xiàn)在可以做 904 套。 例 2小華每天讀 24 頁書，12 天讀完了紅巖一書。小明每天讀 36 頁書，幾天 可以讀完紅巖？ 解（1）紅巖這本書總共多少頁？ 2412288（頁） （2）小明幾天可以讀完紅巖？ 288368（天） 列成綜合算式2412368（天） 答：小明 8 天可以讀完紅巖。 例 3食堂運(yùn)來一批蔬菜，原計劃每天吃 50 千克，30 天慢慢消費完這批蔬菜。后 來根據(jù)大家的意見，每天比原計劃多吃 10 千克，這批蔬菜可以吃多少天？ 解（1）這批蔬菜共有多少千克？50301500（千克） （2）這批蔬菜可以吃多少天？1500（5010）25（天） 列成綜合算式5030（5010）15006025（天） 答：這批蔬菜可以吃 25 天。 3 3和差問題和差問題 【含義含義】已知兩個數(shù)量的和與差已知兩個數(shù)量的和與差， 求這兩個數(shù)量各是多少求這兩個數(shù)量各是多少， 這類應(yīng)用題叫和差問題這類應(yīng)用題叫和差問題。 【數(shù)量關(guān)系】【數(shù)量關(guān)系】大數(shù)（和差）大數(shù)（和差） 2 2 小數(shù)（和差）小數(shù)（和差） 2 2 【解題思路和方法】【解題思路和方法】簡單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式簡單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。 例 1甲乙兩班共有學(xué)生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求兩班各有多少人？ 解甲班人數(shù)（986）252（人） 中公教育給人改變未來的力量 泰州中公教育電話地址：泰州市海陵區(qū)青年北路 219 號金茂大廈 817 室 乙班人數(shù)（986）246（人） 答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。 例 2長方形的長和寬之和為 18 厘米，長比寬多 2 厘米，求長方形的面積。 解長（182）210（厘米） 寬（182）28（厘米） 長方形的面積 10880（平方厘米） 答：長方形的面積為 80 平方厘米。 例 3有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重 32 千克，乙丙兩袋共重 30 千克，甲丙兩袋 共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。 解甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（3230）2 千克， 且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知 甲袋化肥重量（222）212（千克） 丙袋化肥重量（222）210（千克） 乙袋化肥重量321220（千克） 答：甲袋化肥重 12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重 10 千克。 例 4甲乙兩車原來共裝蘋果 97 筐， 從甲車取下 14 筐放到乙車上， 結(jié)果甲車比乙車 還多 3 筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？ 解“從甲車取下 14 筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多 3 筐”，這說明甲車是 大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（1423），甲與乙的和是 97，因此甲車筐數(shù) （971423）264（筐） 乙車筐數(shù)976433（筐） 答：甲車原來裝蘋果 64 筐，乙車原來裝蘋果 33 筐。 4 4和倍問題和倍問題 【含義】【含義】已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要 求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題。求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題。 【數(shù)量關(guān)系】【數(shù)量關(guān)系】總和總和 （幾倍（幾倍1 1）較小的數(shù)）較小的數(shù) 總和總和 較小的數(shù)較小的數(shù) 較大的數(shù)較大的數(shù) 較小的數(shù)較小的數(shù) 幾倍幾倍 較大的數(shù)較大的數(shù) 【解題思路和方法】【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。 例 1果園里有杏樹和桃樹共 248 棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的 3 倍，求杏樹、桃樹各 多少棵？ 解（1）杏樹有多少棵？248（31）62（棵） （2）桃樹有多少棵？623186（棵） 答：杏樹有 62 棵，桃樹有 186 棵。 例 2東西兩個倉庫共存糧 480 噸， 東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的 1.4 倍， 求兩庫各存 糧多少噸？ 中公教育給人改變未來的力量 泰州中公教育電話地址：泰州市海陵區(qū)青年北路 219 號金茂大廈 817 室 解（1）西庫存糧數(shù)480（1.41）200（噸） （2）東庫存糧數(shù)480200280（噸） 答：東庫存糧 280 噸，西庫存糧 200 噸。 例 3甲站原有車 52 輛，乙站原有車 32 輛，若每天從甲站開往乙站 28 輛，從乙站 開往甲站 24 輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的 2 倍？ 解每天從甲站開往乙站 28 輛，從乙站開往甲站 24 輛，相當(dāng)于每天從甲站開往乙站 （2824）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作 1 倍量，這時乙站的車輛數(shù)就是 2 倍量，兩站 的車輛總數(shù)（5232）就相當(dāng)于（21）倍， 那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為 （5232）（21）28（輛） 所求天數(shù)為（5228）（2824）6（天） 答：6 天以后乙站車輛數(shù)是甲站的 2 倍。 例 4甲乙丙三數(shù)之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三數(shù)各是 多少？ 解乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為 1 倍量。 因為乙比甲的 2 倍少 4，所以給乙加上 4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的 2 倍； 又因為丙比甲的 3 倍多 6，所以丙數(shù)減去 6 就變?yōu)榧讛?shù)的 3 倍； 這時（17046）就相當(dāng)于（123）倍。那么， 甲數(shù)（17046）（123）28 乙數(shù)282452 丙數(shù)283690 答：甲數(shù)是 28，乙數(shù)是 52，丙數(shù)是 90。 5 5差倍問題差倍問題 【含義】【含義】已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要 求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。 【數(shù)量關(guān)系】【數(shù)量關(guān)系】兩個數(shù)的差兩個數(shù)的差（幾倍（幾倍1 1）較小的數(shù)）較小的數(shù) 較小的數(shù)較小的數(shù)幾倍較大的數(shù)幾倍較大的數(shù) 【解題思路和方法】【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。 例 1果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的 3 倍，而且桃樹比杏樹多 124 棵。求杏樹、桃樹 各多少棵？ 解（1）杏樹有多少棵？124（31）62（棵） （2）桃樹有多少棵？623186（棵） 答：果園里杏樹是 62 棵，桃樹是 186 棵。 例 2爸爸比兒子大 27 歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的 4 倍，求父子二人今年 各是多少歲？ 解（1）兒子年齡27（41）9（歲） （2）爸爸年齡9436（歲） 中公教育給人改變未來的力量 泰州中公教育電話地址：泰州市海陵區(qū)青年北路 219 號金茂大廈 817 室 答：父子二人今年的年齡分別是 36 歲和 9 歲。 例 3商場改革經(jīng)營管理辦法后， 本月盈利比上月盈利的 2 倍還多 12 萬元， 又知本 月盈利比上月盈利多 30 萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？ 解如果把上月盈利作為 1 倍量，則（3012）萬元就相當(dāng)于上月盈利的（21） 倍，因此 上月盈利（3012）（21）18（萬元） 本月盈利183048（萬元） 答：上月盈利是 18 萬元，本月盈利是 48 萬元。 例 4糧庫有 94 噸小麥和 138 噸玉米， 如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是 9 噸， 問幾天 后剩下的玉米是小麥的 3 倍？ 解由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等， 所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差 （13894）。把幾天后剩下的小麥看作 1 倍量，則幾天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么， （13894）就相當(dāng)于（31）倍，因此 剩下的小麥數(shù)量（13894）（31）22（噸） 運(yùn)出的小麥數(shù)量942272（噸） 運(yùn)糧的天數(shù)7298（天） 答：8 天以后剩下的玉米是小麥的 3 倍。 6 6倍比問題倍比問題 【含義】【含義】有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出 這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題。這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題。 【數(shù)量關(guān)系】【數(shù)量關(guān)系】總量總量一個數(shù)量倍數(shù)一個數(shù)量倍數(shù) 另一個數(shù)量另一個數(shù)量倍數(shù)另一總量倍數(shù)另一總量 【解題思路和方法】【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。 例 1100 千克油菜籽可以榨油 40 千克，現(xiàn)在有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少？ 解（1）3700 千克是 100 千克的多少倍？370010037（倍） （2）可以榨油多少千克？40371480（千克） 列成綜合算式40（3700100）1480（千克） 答：可以榨油 1480 千克。 例 2今年植樹節(jié)這天，某小學(xué) 300 名師生共植樹 400 棵，照這樣計算，全縣 48000 名師生共植樹多少棵？ 解（1）48000 名是 300 名的多少倍？48000300160（倍） （2）共植樹多少棵？40016064000（棵） 列成綜合算式400（48000300）64000（棵） 答：全縣 48000 名師生共植樹 64000 棵。 例 3鳳翔縣今年蘋果大豐收， 田家莊一戶人家 4 畝果園收入 11111 元， 照這樣計算， 全鄉(xiāng) 800 畝果園共收入多少元？全縣 16000 畝果園共收入多少元？ 中公教育給人改變未來的力量 泰州中公教育電話地址：泰州市海陵區(qū)青年北路 219 號金茂大廈 817 室 解（1）800 畝是 4 畝的幾倍？8004200（倍） （2）800 畝收入多少元？111112002222200（元） （3）16000 畝是 800 畝的幾倍？1600080020（倍） （4）16000 畝收入多少元？22222002044444000（元） 答：全鄉(xiāng) 800 畝果園共收入 2222200 元， 全縣 16000 畝果園共收入 44444000 元。 7 7相遇問題相遇問題 【含義】【含義】兩個運(yùn)動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫兩個運(yùn)動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫 做相遇問題。做相遇問題。 【數(shù)量關(guān)系】【數(shù)量關(guān)系】相遇時間總路程相遇時間總路程（甲速乙速）（甲速乙速） 總路程（甲速乙速）總路程（甲速乙速）相遇時間相遇時間 【解題思路和方法】【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。 例 1南京到上海的水路長 392 千米， 同時從兩港各開出一艘輪船相對而行， 從南京 開出的船每小時行 28 千米，從上海開出的船每小時行 21 千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？ 解392（2821）8（小時） 答：經(jīng)過 8 小時兩船相遇。 例 2小李和小劉在周長為 400 米的環(huán)形跑道上跑步， 小李每秒鐘跑 5 米， 小劉每秒 鐘跑 3 米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時 間？ 解“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。 因此總路程為 4002 相遇時間（4002）（53）100（秒） 答：二人從出發(fā)到第二次相遇需 100 秒時間。 例 3甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行 15 千米，乙每小時行 13 千米，兩人在距中點 3 千米處相遇，求兩地的距離。 解“兩人在距中點 3 千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎 得快，乙騎得慢，甲過了中點 3 千米，乙距中點 3 千米，就是說甲比乙多走的路程是（32） 千米，因此， 相遇時間（32）（1513）3（小時） 兩地距離（1513）384（千米） 答：兩地距離是 84 千米。 8 8追及問題追及問題 【含義】【含義】兩個運(yùn)動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，兩個運(yùn)動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)， 或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運(yùn)動，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運(yùn)動，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的， 行進(jìn)速度較慢些行進(jìn)速度較慢些，在一定時間之內(nèi)在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題這類應(yīng)用題就叫做追及問題。 【數(shù)量關(guān)系】【數(shù)量關(guān)系】追及時間追及路程追及時間追及路程（快速慢速）（快速慢速） 中公教育給人改變未來的力量 泰州中公教育電話地址：泰州市海陵區(qū)青年北路 219 號金茂大廈 817 室 追及路程（快速慢速）追及路程（快速慢速）追及時間追及時間 【解題思路和方法】【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。 例 1好馬每天走 120 千米，劣馬每天走 75 千米，劣馬先走 12 天，好馬幾天能追上 劣馬？ 解（1）劣馬先走 12 天能走多少千米？7512900（千米） （2）好馬幾天追上劣馬？900（12075）20（天） 列成綜合算式7512（12075）9004520（天） 答：好馬 20 天能追上劣馬。 例 2小明和小亮在 200 米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用 40 秒，他們從同一地點 同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了 500 米，求小亮的速度是每秒多少米。 解小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即 200 米，此時小亮跑了（500200） 米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑 500 米所用的時間。又知小明跑 200 米用 40 秒，則跑 500 米用40（500200）秒，所以小亮的速度是 （500200）40（500200） 3001003（米） 答：小亮的速度是每秒 3 米。 例 3我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人， 敵人在下午 16 點開始從甲地以每小時 10 千米的速度逃跑，解放軍在晚上 22 點接到命令，以每小時 30 千米的速度開始從乙地追擊。 已知甲乙兩地相距 60 千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？ 解敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（2216）小時，這段時間敵人逃跑的 路程是10（226）千米，甲乙兩地相距 60 千米。由此推知 追及時間10（226）60（3010） 2202011（小時） 答：解放軍在 11 小時后可以追上敵人。 例 4一輛客車從甲站開往乙站， 每小時行 48 千米； 一輛貨車同時從乙站開往甲站， 每小時行 40 千米，兩車在距兩站中點 16 千米處相遇，求甲乙兩站的距離。 解這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16 2）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間， 這個時間為162（4840）4（小時） 所以兩站間的距離為（4840）4352（千米） 列成綜合算式（4840）162（4840） 884 352（千米） 答：甲乙兩站的距離是 352 千米。 例 5兄妹二人同時由家上學(xué)，哥哥每分鐘走 90 米，妹妹每分鐘走 60 米。哥哥到校 門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校 180 米處和妹妹相遇。問他們家離 學(xué)校有多遠(yuǎn)？ 中公教育給人改變未來的力量 泰州中公教育電話地址：泰州市海陵區(qū)青年北路 219 號金茂大廈 817 室 解要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時間（從 出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（1802）米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走（9060） 米， 那么，二人從家出走到相遇所用時間為 1802（9060）12（分鐘） 家離學(xué)校的距離為9012180900（米） 答：家離學(xué)校有 900 米遠(yuǎn)。 例 6孫亮打算上課前 5 分鐘到學(xué)校，他以每小時 4 千米的速度從家步行去學(xué)校， 當(dāng) 他走了 1 千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了 10 分鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時上課。后來 算了一下， 如果孫亮從家一開始就跑步， 可比原來步行早 9 分鐘到學(xué)校。 求孫亮跑步的速度。 解手表慢了 10 分鐘，就等于晚出發(fā) 10 分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（105） 分鐘，后段路程跑步恰準(zhǔn)時到學(xué)校，說明后段路程跑比走少用了（105）分鐘。如果從家 一開始就跑步，可比步行少 9 分鐘，由此可知，行 1 千米，跑步比步行少用9（105） 分鐘。 所以 步行 1 千米所用時間為19（105） 0.25（小時） 15（分鐘） 跑步 1 千米所用時間為159（105）11（分鐘） 跑步速度為每小時111605.5（千米） 答：孫亮跑步速度為每小時 5.5 千米。 9 9植樹問題植樹問題 【含義】【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩 個量，要求第三個量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題。個量，要求第三個量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題。 【數(shù)量關(guān)系】【數(shù)量關(guān)系】線形植樹線形植樹棵數(shù)距離棵數(shù)距離棵距棵距1 1 環(huán)形植樹環(huán)形植樹棵數(shù)距離棵數(shù)距離棵距棵距 方形植樹方形植樹棵數(shù)距離棵數(shù)距離棵距棵距4 4 三角形植樹三角形植樹棵數(shù)距離棵數(shù)距離棵距棵距3 3 面積植樹面積植樹棵數(shù)面積棵數(shù)面積（棵距（棵距行距）行距） 【解題思路和方法】【解題思路和方法】先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。 例 1一條河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解1362168169（棵） 答：一共要栽 69 棵垂柳。 例 2一個圓形池塘周長為 400 米， 在岸邊每隔 4 米栽一棵白楊樹， 一共能栽多少棵 白楊樹？ 解4004100（棵） 答：一共能栽 100 棵白楊樹。 中公教育給人改變未來的力量 泰州中公教育電話地址：泰州市海陵區(qū)青年北路 219 號金茂大廈 817 室 例 3一個正方形的運(yùn)動場，每邊長 220 米，每隔 8 米安裝一個照明燈，一共可以安 裝多少個照明燈？ 解2204841104106（個） 答：一共可以安裝 106 個照明燈。 例 4給一個面積為 96 平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長和寬分別是 60 厘米和 40 厘米，問至少需要多少塊地板磚？ 解96（0.60.4）960.24400（塊） 答：至少需要 400 塊地板磚。 例 5一座大橋長 500 米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔 50 米有一個電桿， 每個電桿上安裝 2 盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？ 解（1）橋的一邊有多少個電桿？50050111（個） （2）橋的兩邊有多少個電桿？11222（個） （3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22244（盞） 答：大橋兩邊一共可以安裝 44 盞路燈。 1010年齡問題年齡問題 【含義【含義】這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變它的主要特點是兩人的年齡差不變， ， 但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。 【數(shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題【數(shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題 的解題思路是一致的，要緊緊抓住的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變年齡差不變”這個特點。這個特點。 【解題思路和方法】【解題思路和方法】可以利用可以利用“差倍問題差倍問題”的解題思路和方法。的解題思路和方法。 例 1爸爸今年 35 歲，亮亮今年 5 歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解3557（倍） （35+1）（5+1）6（倍） 答：今年爸爸的年齡是亮亮的 7 倍， 明年爸爸的年齡是亮亮的 6 倍。 例 2母親今年 37 歲，女兒今年 7 歲，幾年后母親的年齡是女兒的 4 倍？ 解（1）母親比女兒的年齡大多少歲？37730（歲） （2）幾年后母親的年齡是女兒的 4 倍？30（41）73（年） 列成綜合算式（377）（41）73（年） 答：3 年后母親的年齡是女兒的 4 倍。 例 33 年前父子的年齡和是 49 歲，今年父親的年齡是兒子年齡的 4 倍，父子今年 各多少歲？ 解今年父子的年齡和應(yīng)該比 3 年前增加（32）歲， 今年二人的年齡和為493255（歲） 把今年兒子年齡作為 1 倍量，則今年父子年齡和相當(dāng)于（41）倍，因此，今年 兒子年齡為55（41）11（歲） 中公教育給人改變未來的力量 泰州中公教育電話地址：泰州市海陵區(qū)青年北路 219 號金茂大廈 817 室 今年父親年齡為11444（歲） 答：今年父親年齡是 44 歲，兒子年齡是 11 歲。 例 4甲對乙說： “當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才 4 歲”。乙對甲說： “當(dāng) 我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將 61 歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？ 解 這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析： 過去某一年今年將來某一年 甲歲歲61 歲 乙4 歲歲歲 表中兩個“”表示同一個數(shù)，兩個“”表示同一個數(shù)。 因為兩個人的年齡差總相等：461，也就是 4，61 成等差 數(shù)列，所以，61 應(yīng)該比 4 大 3 個年齡差， 因此二人年齡差為（614）319（歲） 甲今年的歲數(shù)為611942（歲） 乙今年的歲數(shù)為421923（歲） 答：甲今年的歲數(shù)是 42 歲，乙今年的歲數(shù)是 23 歲。 1111行船問題行船問題 【含義】【含義】行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速， 船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只 順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。 【數(shù)量關(guān)系】【數(shù)量關(guān)系】（順?biāo)俣饶嫠俣龋標(biāo)俣饶嫠俣龋? 2船速船速 （順?biāo)俣饶嫠俣龋標(biāo)俣饶嫠俣龋? 2水速水速 順?biāo)俅夙標(biāo)俅? 2逆水速逆水速水速逆水速逆水速水速2 2 逆水速船速逆水速船速2 2順?biāo)夙標(biāo)偎夙標(biāo)夙標(biāo)偎? 2 【解題思路和方法】【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。 例 1一只船順?biāo)?320 千米需用 8 小時，水流速度為每小時 15 千米，這只船逆水 行這段路程需用幾小時？ 解由條件知，順?biāo)俅偎?208，而水速為每小時 15 千米，所以，船速 為每小時32081525（千米） 船的逆水速為251510（千米） 船逆水行這段路程的時間為3201032（小時） 答：這只船逆水行這段路程需用 32 小時。 例 2甲船逆水行 360 千米需 18 小時， 返回原地需 10 小時； 乙船逆水行同樣一段距 離需 15 小時，返回原地需多少時間？ 解由題意得甲船速水速3601036 甲船速水速3601820 可見（3620）相當(dāng)于水速的 2 倍， 所以，水速為每小時（3620）28（千米） 中公教育給人改變未來的力量 泰州中公教育電話地址：泰州市海陵區(qū)青年北路 219 號金茂大廈 817 室 又因為， 乙船速水速36015， 所以，乙船速為36015832（千米） 乙船順?biāo)贋?2840（千米） 所以，乙船順?biāo)叫?360 千米需要 360409（小時） 答：乙船返回原地需要 9 小時。 例 3一架飛機(jī)飛行在兩個城市之間， 飛機(jī)的速度是每小時 576 千米， 風(fēng)速為每小時 24 千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛行 3 小時到達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時？ 解這道題可以按照流水問題來解答。 （1）兩城相距多少千米？ （57624）31656（千米） （2）順風(fēng)飛回需要多少小時？ 1656（57624）2.76（小時） 列成綜合算式 （57624）3（57624） 2.76（小時） 答：飛機(jī)順風(fēng)飛回需要 2.76 小時。 1212列車問題列車問題 【含義】【含義】這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。 【數(shù)量關(guān)系】【數(shù)量關(guān)系】火車過橋：過橋時間（車長橋長）火車過橋：過橋時間（車長橋長）車速車速 火車追及：火車追及： 追及時間（甲車長乙車長距離）追及時間（甲車長乙車長距離） （甲車速乙車速）（甲車速乙車速） 火車相遇：火車相遇： 相遇時間（甲車長乙車長距離）相遇時間（甲車長乙車長距離） （甲車速乙車速）（甲車速乙車速） 【解題思路和方法】【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。 例 1一座大橋長 2400 米，一列火車以每分鐘 900 米的速度通過大橋，從車頭開上 橋到車尾離開橋共需要 3 分鐘。這列火車長多少米？ 解火車 3 分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。 （1）火車 3 分鐘行多少米？90032700（米） （2）這列火車長多少米？27002400300（米） 列成綜合算式90032400300（米） 答：這列火車長 300 米。 例 2一列長 200 米的火車以每秒 8 米的速度通過一座大橋，用了 2 分 5 秒鐘時間， 求大橋的長度是多少米？ 解火車過橋所用的時間是 2 分 5 秒125 秒，所走的路程是（8125）米，這段路程 就是（200 米橋長），所以，橋長為 8125200800（米） 答：大橋的長度是 800 米。 中公教育給人改變未來的力量 泰州中公教育電話地址：泰州市海陵區(qū)青年北路 219 號金茂大廈 817 室 例 3一列長 225 米的慢車以每秒 17 米的速度行駛， 一列長 140 米的快車以每秒 22 米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？ 解從追上到追過，快車比慢車要多行（225140）米，而快車比慢車每秒多行（22 17）米，因此，所求的時間為 （225140）（2217）73（秒） 答：需要 73 秒。 例 4一列長 150 米的列車以每秒 22 米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒 3 米的 速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？ 解如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問題。 150（223）6（秒） 答：火車從工人身旁駛過需要 6 秒鐘。 例 5一列火車穿越一條長 2000 米的隧道用了 88 秒， 以同樣的速度通過一條長 1250 米的大橋用了 58 秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？ 解車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因為隧道比大橋長。 可知火車在（8858）秒的時間內(nèi)行駛了（20001250）米的路程，因此，火車的車速為每 秒 （20001250）（8858）25（米） 進(jìn)而可知，車長和橋長的和為（2558）米， 因此，車長為25581250200（米） 答：這列火車的車速是每秒 25 米，車身長 200 米。 1313時鐘問題時鐘問題 【含義】【含義】就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針 成一線、兩針夾角為成一線、兩針夾角為 6060 度等。時鐘問題可與追及問題相類比。度等。時鐘問題可與追及問題相類比。 【數(shù)量關(guān)系】【數(shù)量關(guān)系】分針的速度是時針的分針的速度是時針的 1212 倍，倍， 二者的速度差為二者的速度差為 11/1211/12。 通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。 【解題思路和方法】【解題思路和方法】變通為變通為“追及問題追及問題”后可以直接利用公式。后可以直接利用公式。 例 1從時針指向 4 點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？ 解鐘面的一周分為 60 格，分針每分鐘走一格，每小時走 60 格；時針每小時走 5 格， 每分鐘走 5/601/12 格。每分鐘分針比時針多走（11/12）11/12 格。4 點整，時針在 前，分針在后，兩針相距 20 格。所以 分針追上時針的時間為20（11/12） 22（分） 答：再經(jīng)過 22 分鐘時針正好與分針重合。 例 2四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？ 解鐘面上有 60 格，它的 1/4 是 15 格，因而兩針成直角的時候相差 15 格（包括分針 在時針的前或后 15 格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（54）格，如果分針在 中公教育給人改變未來的力量 泰州中公教育電話地址：泰州市海陵區(qū)青年北路 219 號金茂大廈 817 室 時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走（5415）格，如果分針在時針前與 它成直角，那么分針就要比時針多走（5415）格。再根據(jù) 1 分鐘分針比時針多走（1 1/12）格就可以求出二針成直角的時間。 （5415）（11/12） 6（分） （5415）（11/12） 38（分） 答：4 點 06 分及 4 點 38 分時兩針成直角。 例 3六點與七點之間什么時候時針與分針重合？ 解六點整的時候，分針在時針后（56）格，分針要與時針重合，就得追上時針。 這實際上是一個追及問題。 （56）（11/12） 33（分） 答：6 點 33 分的時候分針與時針重合。 1414盈虧問題盈虧問題 【含義】【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈）， 一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧 問題。問題。 【數(shù)量關(guān)系】【數(shù)量關(guān)系】一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)（盈虧）參加分配總?cè)藬?shù)（盈虧）分配差分配差 如果兩次都盈或都虧，則有：如果兩次都盈或都虧，則有： 參加分配總?cè)藬?shù)（大盈小盈）參加分配總?cè)藬?shù)（大盈小盈）分配差分配差 參加分配總?cè)藬?shù)（大虧小虧）參加分配總?cè)藬?shù)（大虧小虧）分配差分配差 【解題思路和方法】【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。 例 1給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分 3 個就余 11 個；若每人分 4 個就少 1 個。 問有多少小朋友？有多少個蘋果？ 解按照“參加分配的總?cè)藬?shù)（盈虧）分配差”的數(shù)量關(guān)系： （1）有小朋友多少人？（111）（43）12（人） （2）有多少個蘋果？3121147（個） 答：有小朋友 12 人，有 47 個蘋果。 例 2修一條公路，如果每天修 260 米，修完全長就得延長 8 天；如果每天修 300 米，修完全長仍得延長 4 天。這條路全長多少米？ 解題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的 總?cè)藬?shù)（大虧小虧）分配差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知 原定完成任務(wù)的天數(shù)為 （26083004）（300260）22（天） 這條路全長為300（224）7800（米） 答：這條路全長 7800 米。 例 3學(xué)校組織春游，如果每輛車坐 40 人，就余下 30 人；如果每輛車坐 45 人，就 剛好坐完。問有多少車？多少人？ 中公教育給人改變未來的力量 泰州中公教育電話地址：泰州市海陵區(qū)青年北路 219 號金茂大廈 817 室 解本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有 （1）有多少車？（300）（4540）6（輛） （2）有多少人？40630270（人） 答：有 6 輛車，有 270 人。 1515工程問題工程問題 【含義】【含義】工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類 問題在已知條件中問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出只提出“一項工程一項工程”、“一塊土地一塊土地”、 、 “一條水渠一條水渠”、“一件工作一件工作”等，在解題時，常常用單位等，在解題時，常常用單位“1 1”表示工作總量。表示工作總量。 【數(shù)量關(guān)系【數(shù)量關(guān)系】解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1 1”，這樣這樣，工作效率就是工工作效率就是工 作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、 工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。 工作量工作效率工作量工作效率工作時間工作時間 工作時間工作量工作時間工作量工作效率工作效率 工作時間總工作量工作時間總工作量（甲工作效率乙工作效率）（甲工作效率乙工作效率） 【解題思路和方法】【解題思路和方法】變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。 例 1一項工程，甲隊單獨做需要 10 天完成，乙隊單獨做需要 15 天完成，現(xiàn)在兩 隊合作，需要幾天完成？ 解題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把 此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需 10 天完成，那么每天完成這項工程的 1/10；乙 隊單獨做需15天完成， 每天完成這項工程的1/15； 兩隊合做， 每天可以完成這項工程的 （1/10 1/15）。 由此可以列出算式：1（1/101/15）11/66（天） 答：兩隊合做需要 6 天完成。 例 2一批零件，甲獨做 6 小時完成，乙獨做 8 小時完成。現(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù) 時甲比乙多做 24 個，求這批零件共有多少個？ 解設(shè)總工作量為 1，則甲每小時完成 1/6，乙每小時完成 1/8，甲比乙每小時多完成 （1/61/8），二人合做時每小時完成（1/61/8）。因為二人合做需要1（1/61/8） 小時，這個時間內(nèi)，甲比乙多做 24 個零件，所以 （1）每小時甲比乙多做多少零件？ 241（1/61/8）7（個） （2）這批零件共有多少個？ 7（1/61/8）168（個） 答：這批零件共有 168 個。 解二上面這道題還可以用另一種方法計算： 兩人合做，完成任務(wù)時甲乙的工作量之比為1/61/843 由此可知，甲比乙多完成總工作量的43/431/7 所以，這批零件共有241/7168（個） 中公教育給人改變未來的力量 泰州中公教育電話地址：泰州市海陵區(qū)青年北路 219 號金茂大廈 817 室 例 3一件工作，甲獨做 12 小時完成，乙獨做 10 小時完成，丙獨做 15 小時完成。 現(xiàn)在甲先做 2 小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？ 解必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來 方便，因此，我們設(shè)總工作量為 12、10、和 15 的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù) 60，則甲乙 丙三人的工作效率分別是 601256010660154 因此余下的工作量由乙丙合做還需要 （6052）（64）5（小時） 答：還需要 5 小時才能完成。 例 4一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。 當(dāng)打開 4 個進(jìn)水管時，需要 5 小時才能注滿水池；當(dāng)打開 2 個進(jìn)水管時，需要 15 小時才能 注滿水池；現(xiàn)在要用 2 小時將水池注滿，至少要打開多少個進(jìn)水管？ 解注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項工 程，水的流量就是工作量，單位時間內(nèi)水的流量就是工作效率。 要 2 小時內(nèi)將水池注滿，即要使 2 小時內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此 需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要