2020屆校聯(lián)盟（全國i卷）高三上學(xué)期12月教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2020屆校聯(lián)盟（全國i卷）高三上學(xué)期12月教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則先計算出，再減去，即可.【詳解】故選：C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，屬于容易題.2已知集合，則（ ）ABCD【答案】C【解析】解不等式，確定集合，解不等式，確定集合，再將集合與集合求交集，即可.【詳解】依題意，則，故.故選：C【點睛】本題考查集合的運算，屬于較易題.3記等比數(shù)列的前n項和為，若,，則（ ）A或B或CD【答案】B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，依題意，解得或，則或故選：B【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.4設(shè)向量m，n滿足，現(xiàn)有如下命題：命題的值可能為9；命題“”的充要條件為“”；則下列命題中，真命題為（ ）ApBCD【答案】C【解析】首先判斷命題與命題的真假，再由簡單邏輯聯(lián)接詞連接命題的真假表即可判斷.【詳解】依題意，的最大值為8，即向量m，n共線反向時取得，故命題p為假；，故命題q為真；故為真故選：C【點睛】本題考查了命題的真假判斷以及簡單邏輯聯(lián)接詞聯(lián)接命題的真假表，屬于基礎(chǔ)題.5記拋物線的焦點為F，點M在拋物線上，若，且，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為（ ）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出點，代入拋物線方程求出即可求解.【詳解】因為，故點N為線段MF的中點；因為，則，代入中，得，即解得故拋物線C的準(zhǔn)線方程為故選：B【點睛】本題主要考查了求拋物線的準(zhǔn)線方程，需熟記拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.6函數(shù)在上的圖象大致為（ ）ABCD【答案】A【解析】先判斷函數(shù)的奇偶性，排除C；再驗證的值，排除B，D，即可.【詳解】依題意，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除C；，排除B，D.故選：A【點睛】本題考查函數(shù)圖象問題.此類問題可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、特值檢驗，通過排除法解決.屬于中檔題.7元朝著名的數(shù)學(xué)家朱世杰在四元玉鑒中有一首詩“我有一壺酒攜著游春走，遇店添一倍，開始逢友飲一斗，”基于此情境，設(shè)計了如圖所示的程序框圖，若入的的值為，輸出的值為9則判斷框中可以填（ ）ABCD【答案】B【解析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的與值，當(dāng)時退出循環(huán)，因此判斷框可填入條件.【詳解】運行該程序，第一次，第二次，第三次，第四次，第五次，此時，需要輸出的值，觀察可知.故選：B【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程，判斷程序運行的值是解題的關(guān)鍵.屬于較易題.82019年10月，德國爆發(fā)出“芳香烴門”事件，即一家權(quán)威的檢測機(jī)構(gòu)在德國銷售的奶粉中隨機(jī)抽檢了16款(德國4款，法國8款，荷蘭4款)，其中8款檢測出芳香烴礦物油成分，此成分會嚴(yán)重危害嬰幼兒的成長，有些奶粉已經(jīng)遠(yuǎn)銷至中國A地區(qū)聞訊后，立即組織相關(guān)檢測員對這8款品牌的奶粉進(jìn)行抽檢，已知該地區(qū)有6家嬰幼兒用品商店在售這幾種品牌的奶粉，甲、乙、丙3名檢測員分別負(fù)責(zé)進(jìn)行檢測，每人至少抽檢1家商店，且檢測過的商店不重復(fù)檢測，則甲檢測員檢測2家商店的概率為（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意分類討論三人各檢測的數(shù)量分配，求出所以情況的數(shù)量，再求出滿足甲檢測2家商店的情況數(shù)量，根據(jù)古典概型概率的求法即可求解.【詳解】若3人檢測的數(shù)量為2：2：2，則所有的情況為種，若3人檢測的數(shù)量為3：2：1，則所有的情況為種，若3人檢測的數(shù)量為4：1：1，則所有的情況為種，故所有的情況為540種，其中滿足甲檢測2家商店的情況為種，故所求概率.故選：B【點睛】本題主要考了排列組合在實際中的應(yīng)用以及古典概型概率的求法，屬于基礎(chǔ)題.9已知正方體中，點是線段的中點，點是線段上靠近的三等分點，則直線，所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】B【解析】取線段上靠近的三等分點，過點作，且，連接，故，則，即異面直線，所成角的為，分別計算長度，由余弦定理，求解即可.【詳解】取線段上靠近的三等分點，過點作，且，連接，故；，所以，則即為直線，的所成角；不妨設(shè)，則，故.故選：B【點睛】本題考查異面直線所成角的余弦值，解決此類問題的關(guān)鍵在于將異面直線的夾角通過平移轉(zhuǎn)化為共面直線的夾角.屬于中檔題.10已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且滿足，且當(dāng)時，若，則（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)題意首先求出函數(shù)的周期為4，從而求出；再由函數(shù)的奇偶性即可求出，由，代入解析式即可求解.【詳解】因為，故函數(shù)的周期為4，則；而，由可得；而,解得故選：C【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性求函數(shù)值以及根據(jù)函數(shù)值求參數(shù)值，屬于中檔題.11已知雙曲線的左、右焦點分別為，過引直線l交雙曲線C的漸近線于y軸右側(cè)P，Q兩點，其中，記的內(nèi)心為M若點M到直線PQ的距離為，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意設(shè)P，Q分別在第一象限、第四象限；由的內(nèi)心為M過點M分別作，垂足為N，垂足為T，可得四邊形MTPN為正方形，焦點到漸近線的距離為b，可知，從而可求得漸近線方程.【詳解】不妨設(shè)P，Q分別在第一象限、第四象限；則M在角平分線上，過點M分別作，垂足為N，垂足為T，由可得四邊形MTPN為正方形，由焦點到漸近線的距離為b，得；又，故，故，故，故,故所求漸近線方程為故選：C【點睛】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.12已知函數(shù)，其中，若在上恒成立，則 的最大值為（ ）AB0CD【答案】B【解析】由題意求出，根據(jù)恒成立求出的范圍，從而由求出的取值范圍，進(jìn)而求出答案.【詳解】因為,故；由，即，得，故，故，解得，；又，故，故，故的最大值為0故選：B【點睛】本題考查了三角函數(shù)中不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.二、填空題13曲線在點處的切線方程為_.【答案】【解析】利用切線的斜率是函數(shù)在切點處導(dǎo)數(shù),求出切線斜率,再利用直線方程的點斜式,即可求出切線方程.【詳解】 函數(shù)在處的切線斜率為，又切點坐標(biāo)為，切線方程為故答案為:【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程,其中解答中準(zhǔn)確求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),合理利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.14已知實數(shù)，滿足，則的最大值為_.【答案】【解析】畫出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)圖象，確定最大值即可.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示；觀察可知，當(dāng)直線過點時，有最大值；聯(lián)立，解得，故的最大值為.故答案為：【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題，屬于較易題.15記等差數(shù)列的前n項和為，若，則的前n項和_【答案】【解析】由等差數(shù)列的通項公式以及前項和公式代入可求得，再由分組求和即可求解.【詳解】因為是等數(shù)差數(shù)列，而，所以，解得，則，；數(shù)列構(gòu)成首項為9，公差為9的等差數(shù)列；若n為偶數(shù)，則，若n為奇數(shù)，則T 故.故答案為：【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式以及分組求和，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.16已知三棱錐P-ABC中，是面積為的等邊三角形，則當(dāng)點C到平面PAB的距離最大時，三棱錐P-ABC外接球的表面積為_【答案】【解析】首先確定當(dāng)平面平面PAB時，三棱錐P-ABC的體積達(dá)到最大；然后作出球的球心求出半徑，即可求出外接球的表面積.【詳解】當(dāng)平面平面PAB時，三棱錐P-ABC的體積達(dá)到最大；記點D，E分別為，的外心，并過兩個三角形的外心作三角形所在平面的垂線，兩垂線交于點O，則點O即為三棱錐P-ABC外接球的球心，AO即為球的半徑；因為故；在中，則，由正弦定理可，故，記AB的中點為F，則，故，故外接球的表面積故答案為：【點睛】本題主要考查立體幾何中球的外接內(nèi)切問題、正弦定理解三角形，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.三、解答題17已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（1）求A的大小；（2）若，求面積的最大值以及周長的最大值【答案】（1）；（2）面積的最大值為，周長最大值為【解析】（1）利用正弦定理邊化角以及余弦定理即可求解.（2）根據(jù)余弦定理以及基本不等式即可求解.【詳解】（1）依題意，故,即，由余弦定理得，故，因為，故；（2）由余弦定理，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；故的面積，故面積的最大值為.而，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；故的周長故周長的最大值為.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式以及基本不等式，在運用基本不等式時注意驗證等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.18如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是菱形，點P，Q，M分別是線段SD，PD，AP的中點，點N是線段SB上靠近B的四等分點（1）若R在直線MQ上，求證：平面ABCD；（2）若平面ABCD，求平面SAD與平面SBC所成的銳二面角的余弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）利用面面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)定理即可證出.（2）以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，求出平面SBC的一個法向量與平面SAD的一個法向量，利用向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】（1）依題意，故，而平面ABCD，平面ABCD，故平面ABCD；因為，故，而平面ABCD，平面ABCD，故平面ABCD；因為，故平面平面ABCD；因為平面QMN，故平面ABCD；（2）如圖，以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，設(shè)平面SBC的一個法向量為，則，取，可得，易知平面SAD的一個法向量，設(shè)平面SAD與平面SBC所成銳二面角為，則，平面SAD與平面SBC所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查面面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)定理以及空間向量求二面角，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題.19為了響應(yīng)國家號召，某校組織部分學(xué)生參與了“垃圾分類，從我做起”的知識問卷作答，并將學(xué)生的作答結(jié)果分為“合格”與“不合格”兩類與“問卷的結(jié)果”有關(guān)？不合格合格男生1416女生1020（1）是否有90%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問卷的結(jié)果”有關(guān)？（2）在成績合格的學(xué)生中，利用性別進(jìn)行分層抽樣，共選取9人進(jìn)行座談，再從這9人中隨機(jī)抽取5人發(fā)送獎品，記拿到獎品的男生人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望附：010000500010000127033841663510828【答案】（1）沒有90%的把握認(rèn)為“性別”與“問卷的結(jié)果”有關(guān)；（2）分布列見解析，【解析】（1）根據(jù)獨立性檢驗的思想即可判斷.（2）依題意，成績合格的男生抽取4人，成績合格的女生抽取5人，X的可能取值為，求出各隨機(jī)變量的概率，列出分布列即可求出期望.【詳解】（1）完善列聯(lián)表如下所示：不合格合格合計男生141630女生102030合計243660，故沒有90%的把握認(rèn)為“性別”與“問卷的結(jié)果”有關(guān)（2）依題意，成績合格的男生抽取4人，成績合格的女生抽取5人，故X的可能取值為，,，故X的分布列為：01234所以.【點睛】本題考查了獨立性檢驗以及數(shù)學(xué)期望，解題的關(guān)鍵是列出列聯(lián)表和分布列，屬于基礎(chǔ)題.20已知橢圓的上、下焦點分別為，離心率為，點 在橢圓C上，延長交橢圓于N點（1）求橢圓C的方程；（2）P，Q為橢圓上的點，記線段MN，PQ的中點分別為A，B（A，B異于原點O），且直線AB過原點O，求面積的最大值【答案】（1）；（2）最大值為3【解析】（1）利用待定系數(shù)法以及橢圓的離心率即可求解.（2）由（1）可知，可求，與橢圓聯(lián)立，設(shè)，根據(jù)設(shè)而不求的思想求出，設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，由弦長公式以及點到直線的距離公式求出面積表達(dá)式，借助基本不等式即可求出.【詳解】（1）依題意，解得，故橢圓C的方程為；（2）由（1）可知，故直線，設(shè)，則，兩式相減得，因為PQ不過原點，所以，即，同理：，又因為直線AB過原點O，所以，所以，設(shè)直線，由得，由，得，由韋達(dá)定理得，所以,又因為到直線PQ的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以面積的最大值為3【點睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系以及弦長公式，考查了學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.21已知函數(shù)，（1）若，求函數(shù)的最值；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)【答案】（1）最小值為，最大值為1；（2）當(dāng)或時，在內(nèi)有1個零點；當(dāng)時，在內(nèi)無零點【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令，求出極值，再求出端點值即可求解. （2）由題意將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點個數(shù)，對求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)結(jié)合定義域分三種情況討論當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時，分別求出函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間，從而可判斷出函數(shù)零點的個數(shù).【詳解】（1）若，則，令，解得；而，故函數(shù)的最小值為，最大值為1（2）令，因為，故，令，故問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點個數(shù)；而，當(dāng)時，即，當(dāng)時，故在上單調(diào)遞減，故當(dāng)，即時，在上恒成立，當(dāng)時，在內(nèi)無零點；當(dāng)，即，即時，由零點存在性定理可知，此時在內(nèi)有零點，因為函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，此時在內(nèi)有一個零點；當(dāng)時，即，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)，即時，由零點存在性定理，此時在內(nèi)有零點，因為在內(nèi)單調(diào)遞增，故僅有1個零點；當(dāng)時，此時在內(nèi)無零點；當(dāng)時，即，當(dāng)時，當(dāng)時，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故，此時在內(nèi)無零點；綜上所述，當(dāng)或時，在內(nèi)有1個零點；當(dāng)時，在內(nèi)無零點【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、最值中的應(yīng)用，考查了分類討論的思想，綜合性比較強(qiáng)，屬于難題.22在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且直線與曲線交于，兩點.（1）求直線的普通方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若，求的值.【答案】（1）：，：；（2）【解析】（1）將，相加，消去參數(shù)，整理得直線的普通方程；在方程兩邊同時乘以，再利用轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可. （2）將直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用參數(shù)的幾何意義求解，即可.【詳解】（1）依題意，直線：；曲線：，即；（2）依題意，直線的參數(shù)方程