2020屆廣東省廣州市高三12月調(diào)研測試數(shù)學(xué)理試題

2020 屆廣州市高三年級(jí)調(diào)研測試 理科數(shù)學(xué) 2019.12 本試卷共 5 頁，23 小題，滿分 150 分，考試用時(shí) 120 分鐘。 注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，用 2B 鉛筆在答 題卡的相應(yīng)位置填涂考生號(hào)、并將試卷類型（A）填圖在答題卡的相應(yīng)位置上。 2. 作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用 2B 鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑； 如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。 3. 非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須卸載答題卡各題目制定區(qū)域內(nèi)的相 應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆盒涂改液，不 按以上要求作答無效。 4. 考生必須保持答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。 一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合 題目要求的。 1如圖 1，已知全集 U=Z，集合 A2，1，0，1，2，集合 B=1，2，3，4，則圖中陰影部分表示 的集合是（ ） A3，4 B2，1，0 C1，2 D2，3，4 2已知Z= i i 1 1 2 （i為虛數(shù)單位）,在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 3 1 2 1 a，3log2b，6log4c，則a,b,c的大小關(guān)系為（ ） A bca B cba C cba D bca 4已知實(shí)數(shù)yx,滿足 042 033 022 yx yx yx ，則yxz3的最小值為（ ） A-7 B-6 C1 D6 5某大學(xué)選拔新生補(bǔ)充進(jìn)“籃球”，“電子競技”，“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，新生通過 考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立，2019 年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校 的“籃球”，“電子競技”，“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為概率依次為 m， 3 1 ，n，已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為 24 1 ，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為 4 3 ，且mn則 nm（ ） A 2 1 B 3 2 C 4 3 D 12 5 6如圖2，利用該算法在平面直角坐標(biāo)系上打印一系列點(diǎn)，則打印的點(diǎn)在圓x2 +y2=25內(nèi)的個(gè)數(shù)為（ ） A2 B3 C4 D5 7已知F為雙曲線1 2 2 2 2 b y a x 的右焦點(diǎn)，過F做C的漸近線的垂線FD，垂足為 D，且滿足OFFD 2 1 （O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心力為（ ） A 3 32 B2 C3 D 3 10 8函數(shù) 0,sinlnxxxxxf且的大致圖像是（ ） A B C D 9如圖3，在ABC中，, 1,3,ADBDBCABAD則 ADAC（ ） A 3 B3 C 3 D-3 101772年德國的天文學(xué)家J.E.波得發(fā)現(xiàn)了求太陽的行星距離的法則。記地球距離太陽的平均距離為 10，可以算得當(dāng)時(shí)已知的六大行星距離太陽的平均距離如下表： 星名 水星 金星 地球 火星 木星 土星 與太陽的距離 4 7 10 16 52 100 除水星外，其余各星與太陽的距離都滿足波得定則（某一數(shù)列規(guī)律），當(dāng)是德國數(shù)學(xué)家高斯根據(jù)此 定則推算，火星和木星之間距離太陽28還有一顆大行星，1801年，意大利天文學(xué)家皮亞齊用過觀測 ，果然找到了火星和木星之間距離太陽28的谷神星以及它所在的小行星帶。請(qǐng)你根據(jù)這個(gè)定則，估 算從水星開始由近到遠(yuǎn)算，第10個(gè)行星與太陽的平均距離大約是 A388 B772 C1540 D3076 11已知點(diǎn)A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，1AB，以M為圓心的圓過A,B兩點(diǎn)，且與直線012y相 切，若存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，MPMA 為定值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 A 4 1 0， B 2 1 0， C 4 1 0， D 2 1 0， 12已知偶函數(shù) xf滿足xfxf44，且當(dāng)4 , 0x時(shí)， 2 x xexf ，若關(guān)于x的不等式 200,2000 2 在xafxf上有且只有300個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A 2 2 3 4,3ee B 2 1 2 3 ,3ee C 2 3 1 3,2ee D 2 2 1 4,ee 二填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13已知 3 4 4 tan0 ，則cossin_. 14若 n x x 1 3展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和是 64，則展開式中的常數(shù) 項(xiàng)的值是_. 15已知某三棱錐的側(cè)棱長大雨底邊長，其外接球體積為 6 125 ， 三視圖如圖3所示，則其側(cè)視圖的面積為_. 16在ABC中，設(shè)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為cba,，記ABC 的面積為S，且 222 24cba，則 2 a S 的最大值為_. 三三解答題：共解答題：共 70 分。解答應(yīng)些出文字說明證明過程或演算步驟。第分。解答應(yīng)些出文字說明證明過程或演算步驟。第 1321 題為必考題，每題為必考題，每個(gè)試題考生個(gè)試題考生 都必須作答。第都必須作答。第 22,23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共 60 分。 17（12分）已知 n a為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，18 52 aa，80 43 aa，設(shè)數(shù)列 n b滿足 422222 3 3 2 2 1 n a n nb bbb， Nn. （1）求數(shù)列 n a的通項(xiàng)；（2）求數(shù)列 n b的前n項(xiàng)和 n S. 18.（12分）如圖5，已知四邊形ABCD是變成為2的菱形，ABC=60，平面 AEFC平面 ABCD， EFAC，AE=AB,AC=2EF. （1）求證：平面BED平面 AEFC； （2）若四邊形 AEFC 為直角梯形，且 EAAC，求二面角 B-FC-D 的余弦值。 19.（12分）某城市A公司外賣配送員底薪是每月 1800元/人， 設(shè)每月每人配送的單數(shù)為 X， 若 X1， 300，每單提成 3 元，若 X（300，600），每單提成 4 元，若 X（600，+），每單提成 4.5 元，B 公司配送員底薪是每月 2100 元，設(shè)每月配送單數(shù)為 Y，若 Y1，400，每單提成 3 元， 若 Y（400，+），每單提成 4 元，小想在 A 公司和 B 公司之間選擇一份配送員工作，他隨機(jī) 調(diào)查了美團(tuán)外賣配送員甲和餓了么外賣配送員乙在2019年4月份（30天）的送餐量數(shù)據(jù)，如下表： 表1：A公司配送員甲送餐量統(tǒng)計(jì) 日送餐量x（單） 13 14 16 17 18 20 天數(shù) 2 6 12 6 2 2 表2：B公司配送員乙送餐量統(tǒng)計(jì) 日送餐量x（單） 11 13 14 15 16 18 天數(shù) 4 5 12 3 5 1 （1）設(shè)A公司配送員月工資為f（X），B公司配送員月工資為g（Y），當(dāng) X=Y 且 X，Y300，600 時(shí)，比較f（X）與g（Y）的大小關(guān)系 （2）將甲乙9月份的日送餐量的頻率視為對(duì)應(yīng)公司日送餐量的概率 （i）計(jì)算外賣配送員甲和乙每日送餐量的數(shù)學(xué)期望E（X）和E（Y） （ii）請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇，并說明理由 20.（12分）已知橢圓01 3 2 2 2 a y a x C：的右焦點(diǎn)F到左頂點(diǎn)的距離為3. （1）求橢圓C的方程； （2）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)（A,B不在x軸上），若OBOAOE,延 長AO交橢圓與點(diǎn)G，求四邊形AGBE的面積S的最大值. 21.（12分）已知函數(shù) .ln 2 xkxxxf （1）討論函數(shù) xf的單調(diào)性； （2）若函數(shù) xf有兩個(gè)極值點(diǎn) 21,x x，證明： .2 4 1 11 kxfxf 頁 5 第 （二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 。 22.（10分）【選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 m my m mx 1 1 （m為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐 標(biāo)方程為. 03cossin3 （1）求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)系方程； （2）已知1 , 0P直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn)，求 PBPA 11 的值 23. 【選修45：不等式選講】（10分） 已知 .22axxxaxxf （1）當(dāng)2a時(shí)，求不等式 0xf的解集； （2）若ax,時(shí)， 0xf ，求 a的取值范圍. 頁 6 第 參考答案 一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合 題目要求的。 1如圖 1，已知全集 U=Z，集合 A2，1，0，1，2，集合 B=1，2，3，4，則圖中陰影部分表示 的集合是（ ） A3，4 B2，1，0 C1，2 D2，3，4 答案答案：A 2已知Z= i i 1 1 2 （i為虛數(shù)單位）,在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案答案：C 3已知 3 1 2 1 a，3log2b，6log4c，則a,b,c的大小關(guān)系為（ ） A bca B cba C cba D bca 答案答案：D 4已知實(shí)數(shù)yx,滿足 042 033 022 yx yx yx ，則yxz3的最小值為（ ） A-7 B-6 C1 D6 答案答案：A 5某大學(xué)選拔新生補(bǔ)充進(jìn)“籃球”，“電子競技”，“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，新生通過 考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立，2019 年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校 的“籃球”，“電子競技”，“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為概率依次為 m， 3 1 ，n，已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為 24 1 ，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率 為 4 3 ，且mn則nm（ ） A 2 1 B 3 2 C 4 3 D 12 5 答案答案：A 6如圖2，利用該算法在平面直角坐標(biāo)系上打印一系列點(diǎn)，則打印的點(diǎn)在圓x2 +y2=25內(nèi)的個(gè)數(shù)為（ ） A2 B3 C4 D5 頁 7 第 答案答案：B 7、 已知F為雙曲線1 2 2 2 2 b y a x 的右焦點(diǎn)，過F做C的漸近線的垂線FD，垂足為D，且滿足OFFD 2 1 （O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心力為（ ） A 3 32 B2 C3 D 3 10 答案答案：A 8函數(shù) 0,sinlnxxxxxf且的大致圖像是（ ） A B C D 答案答案：D 9如圖3，在ABC中，, 1,3,ADBDBCABAD則 ADAC（ ） A 3 B3 C 3 D-3 答案答案：A 101772年德國的天文學(xué)家J.E.波得發(fā)現(xiàn)了求太陽的行星距離的法則。記地球距離太陽的平均距離為 10，可以算得當(dāng)時(shí)已知的六大行星距離太陽的平均距離如下表： 星名 水星 金星 地球 火星 木星 土星 與太陽的距離 4 7 10 16 52 100 除水星外，其余各星與太陽的距離都滿足波得定則（某一數(shù)列規(guī)律），當(dāng)是德國數(shù)學(xué)家高斯根據(jù)此 定則推算，火星和木星之間距離太陽28還有一顆大行星，1801年，意大利天文學(xué)家皮亞齊用過觀測 ，果然找到了火星和木星之間距離太陽28的谷神星以及它所在的小行星帶。請(qǐng)你根據(jù)這個(gè)定則，估 算從水星開始由近到遠(yuǎn)算，第10個(gè)行星與太陽的平均距離大約是 A388 B772 C1540 D3076 答案答案：B 頁 8 第 11已知點(diǎn)A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，1AB，以M為圓心的圓過A,B兩點(diǎn)，且與直線012y相 切，若存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，MPMA 為定值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 A 4 1 0， B 2 1 0， C 4 1 0， D 2 1 0， 答案答案：C 12已知偶函數(shù) xf滿足xfxf44，且當(dāng)4 , 0x時(shí)， 2 x xexf ，若關(guān)于x的不等式 200,2000 2 在xafxf上有且只有300個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A 2 2 3 4,3ee B 2 1 2 3 ,3ee C 2 3 1 3,2ee D 2 2 1 4,ee 答案答案：D 二填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13已知 3 4 4 tan0 ，則cossin_. 答案答案： 4 2 5 14若 n x x 1 3展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和是 64，則展開式中的常數(shù) 項(xiàng)的值是_. 答案答案：135 15已知某三棱錐的側(cè)棱長大雨底邊長，其外接球體積為 6 125 ， 三視圖如圖3所示，則其側(cè)視圖的面積為_. 答案答案：6 16在ABC中，設(shè)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為cba,，記ABC的面積為S，且 222 24cba， 則 2 a S 的最大值為_. 答案答案： 10 6 17.（12分）已知 n a為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，18 52 aa，80 43 aa，設(shè)數(shù)列 n b滿足 422222 3 3 2 2 1 n a n nb bbb， Nn. 頁 9 第 （2）求數(shù)列 n a的通項(xiàng)；（2）求數(shù)列 n b的前n項(xiàng)和 n S. 解解： （1） 3425 18aaaa，又80 43 aa 數(shù)列是遞增的，解得： 34 810aa ， 所以，公差d2，首項(xiàng) 1 a4，所以，22 n an （2）422222 3 3 2 2 1 n a n nb bbb 1 231 1231 222224 n an n bbbb L n2 -得：3 2n n b ，n2， n1 時(shí)， 1 b6 也滿足上式， 所以，3 2n n b ， 數(shù)列 n b是以 6 為首項(xiàng)，2 為公式的等比數(shù)列， 1 6(1 2 ) 3 26 1 2 n n n S 18.（12分）如圖5，已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，ABC=60，平面 AEFC平面 ABCD， EFAC，AE=AB,AC=2EF. （1）求證：平面BED平面 AEFC； （2）若四邊形 AEFC 為直角梯形，且 EAAC，求二面角 B-FC-D 的余弦值。 解解： （1）平面 AEFC平面 ABCD，平面 AEFC平面 ABCDAC， 菱形 ABCD 中，BDAC， 所以，BD平面 AEFC， 又 BD平面 BED，所以，平面 BED平面 AEFC （2）平面 AEFC平面 ABCD，平面 AEFC平面 ABCDAC， EAAC，所以，EA平面 ABCD， 直角梯形中，AC2EF，設(shè) AC 交 BD 于 O，連結(jié) FO，則有 AOEF，AOEF， 所以，AOFE 為平行四邊形，所以 OFEA， 頁 10 第 所以，F(xiàn)O平面 ABCD， 菱形 ABCD 中，ABC=60，所以，三角形 ABC 為等邊三角形， 設(shè) OC1，則 OFAEAB2，OBOD3， B（3，0，0），C（0，1，0），F(xiàn)（0，0，2），D（3，0，0）， BC uuu r （3，1，0），BF uuu r （3，0，2）， 設(shè)平面 BCF 的法向量為( , , )mx y z u r ， 則 30 320 xy xz ，令2x ，可得：m u r （2,23，3）， 同理可求得平面 DCF 的法向量n r （2,23，3）， 求得二面角 B-FC-D 的余弦值為 11 9 - 11 - 19.（12分）某城市A公司外賣配送員底薪是每月1800元/人，設(shè)每月每人配送的單數(shù)為X，若 X1， 300，每單提成 3 元，若 X（300，600），每單提成 4 元，若 X（600，+），每單提成 4.5 元，B 公司配送員底薪是每月 2100 元，設(shè)每月配送單數(shù)為 Y，若 Y1，400，每單提成 3 元， 若 Y（400，+），每單提成 4 元，小想在 A 公司和 B 公司之間選擇一份配送員工作，他隨機(jī) 調(diào)查了美團(tuán)外賣配送員甲和餓了么外賣配送員乙在2019年4月份（30天）的送餐量數(shù)據(jù)，如下表： 表1：A公司配送員甲送餐量統(tǒng)計(jì) 日送餐量x（單） 13 14 16 17 18 20 天數(shù) 2 6 12 6 2 2 表2：B公司配送員乙送餐量統(tǒng)計(jì) 日送餐量x（單） 11 13 14 15 16 18 天數(shù) 4 5 12 3 5 1 （1）設(shè)A公司配送員月工資為f（X），B公司配送員月工資為g（Y），當(dāng) X=Y 且 X，Y300，600 時(shí)，比較f（X）與g（Y）的大小關(guān)系 （2）將甲乙9月份的日送餐量的頻率視為對(duì)應(yīng)公司日送餐量的概率 （i）計(jì)算外賣配送員甲和乙每日送餐量的數(shù)學(xué)期望E（X）和E（Y） （ii）請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇，并說明理由 解解：(1) X=Y 且 X，Y300，600, 所以，g（Y）g（X）， 當(dāng) X（300，400時(shí)， f（X）g（Y）f（X）g（X）（18004X）（21003X）X3000， 當(dāng) X（400，600時(shí)， f（X）g（Y）f（X）g（X）（18004X）（21004X）3000， 當(dāng) X（300，400時(shí)，f（X）g（Y） 當(dāng) X（400，600時(shí)，f（X）g（Y） （2）（i）送餐量 X 的分布列為： X 13 14 16 17 18 20 P 1 15 1 5 2 5 1 5 1 15 1 15 送餐量 Y 的分布列為： Y 11 13 14 15 16 18 P 2 15 1 6 2 5 1 10 1 6 1 30 則 E（X）16，E（Y）14 - 12 - 20.（12分）已知橢圓01 3 2 2 2 a y a x