2020屆四川省涼山州高三第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）科試題（解析版）

2020屆四川省涼山州高三第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）科試題一、單選題1已知集合，且，則（ ）ABCD【答案】A【解析】由，則,則，得答案.【詳解】由,，,則,所以=2.所以故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】試題分析：，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的乘除和乘方3拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）ABCD【答案】C【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得其準(zhǔn)線方程.【詳解】由拋物線有,根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得.則其準(zhǔn)線方程為：故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由拋物線的方程求準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題.4已知，則與的夾角是（ ）ABCD【答案】C【解析】由有得，再代入向量的夾角公式可求解.【詳解】由有.即，又.則.由與的夾角在內(nèi).所以與的夾角為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的夾角，向量的數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5如圖所示的程序框圖，若輸出值，則輸入值的集合是（ ）ABCD【答案】C【解析】將輸出的值，沿著“是”，“否”兩條路線反代回去，即可求出的值.【詳解】若輸入的，則輸出，則.若輸入的，則輸出,則.則輸入值的集合是: 故選：C【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，根據(jù)輸出的結(jié)果計(jì)算輸入的初始值，屬于基礎(chǔ)題.6污染防治是全面建成小康社會(huì)決勝期必須堅(jiān)決打好的三大攻堅(jiān)戰(zhàn)之一.涼山州某地區(qū)2019年空氣質(zhì)量為“良”的天數(shù)共為150天，若要在2021年使空氣質(zhì)量為“良”的天數(shù)達(dá)到216天，則這個(gè)地區(qū)空氣質(zhì)量為“良”的天數(shù)的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)為（ ）（精確到小數(shù)點(diǎn)后2位）A0.13B0.15C0.20D0.22【答案】C【解析】設(shè)空氣質(zhì)量為“良”的天數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為，則2021年使空氣質(zhì)量為“良”的天數(shù)，然后求解方程得出答案.【詳解】設(shè)空氣質(zhì)量為“良”的天數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為，則2021年使空氣質(zhì)量為“良”的天數(shù)即，解得：故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平均變化率，增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量增長(zhǎng)率,屬于基礎(chǔ)題.7函數(shù)（其中， ）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（ ）A向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B【解析】根據(jù)圖像有,得到函數(shù)的最小正周期，根據(jù)周期公式可求出，然后求出和的解析式，再根據(jù)相位變換得到答案.【詳解】根據(jù)圖像有,所以,則.不妨取，又有，得,又.所以，即，所以由向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得的圖像.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，根據(jù)圖像求解析式，三角函數(shù)的圖像變換，屬于中檔題.8中，內(nèi)角，的對(duì)邊分別是，.已知，則（ ）ABCD【答案】D【解析】由有,再由正弦定理有,即,可解出答案.【詳解】由有,由正弦定理有, 又即.所以.因?yàn)闉榈膬?nèi)角，則.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.9已知平面，和直線，則“”的充分不必要條件是（ ）A內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行B且C且D內(nèi)的任何直線都與平行【答案】B【解析】選擇“”的充分不必要條件，是分析哪個(gè)選項(xiàng)能推出，反之不成立.【詳解】A. 內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行,則可能相交或平行，故不能推出.B. 且,則. 反之不成立，滿足條件.C. 且,則 可能相交或平行，故不能推出.D. 內(nèi)的任何直線都與平行是的充要條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件的判斷，面面平行的判斷，屬于基礎(chǔ)題.10函數(shù)，其圖象的對(duì)稱中心是（ ）ABCD【答案】D【解析】,設(shè)，則為奇函數(shù)，而的圖像是的圖像向下平移1個(gè)單位得到的，從而得到答案.【詳解】由，設(shè)，則為奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.所以,的圖像是的圖像向下平移1個(gè)單位得到的.所以的圖像關(guān)于點(diǎn) 成中心對(duì)稱.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)圖像的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.11已知點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為（ ）ABCD【答案】D【解析】設(shè) ，先求出直線的方程，由點(diǎn)在直線上，得出直線過(guò)定點(diǎn),從而求出答案.【詳解】設(shè),過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，.則，兩點(diǎn)在以為直徑的圓:上.又，在圓上，所以為兩圓的公共弦，將兩圓方程聯(lián)立相減得：，即直線的方程又點(diǎn)在直線上，則，代入直線的方程.,得直線過(guò)定點(diǎn)， 所以點(diǎn)到直線的距離：.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線方程，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，點(diǎn)到直線的距離的最值問(wèn)題,屬于難題.12若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的可能取值為（ ）A3B4C5D6【答案】A【解析】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，根據(jù)二次方程根的分布找出條件，從而達(dá)到答案.【詳解】,函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn),即方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.所以以為縱坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)畫(huà)出不等式滿足的平面區(qū)域.曲線與直線相切于點(diǎn)，曲線與直線相切于點(diǎn).根據(jù)選項(xiàng)，則的可能取值在選項(xiàng)中只能為3.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查極值存在的條件，考查線性規(guī)劃解決問(wèn)題，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題.二、填空題13的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi).（用數(shù)字作答）【答案】10【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為,求常數(shù)項(xiàng)即令，解得 ，然后可得答案.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為.則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，令,解得，即常數(shù)項(xiàng)為故答案為：10.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理中的指定項(xiàng)，考查二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.14已知，則_.【答案】【解析】由,則,由同角三角函數(shù)的關(guān)系可得的值，從而可得答案.【詳解】由，即，則.由有： .則，又.所以，.所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，注意角的范圍，開(kāi)方符號(hào)的選擇，屬于基礎(chǔ)題.15在一個(gè)長(zhǎng)方體形的鐵盒內(nèi)有一個(gè)小球，鐵盒共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，則小球體積的最大值為_(kāi).【答案】【解析】設(shè)長(zhǎng)方體的由共一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)分別為，由共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，可得，從而可解得的值，可求得小球半徑的最大值，從而得到其體積.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的由共一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)分別為，則由條件有.解得:，因?yàn)樾∏蛟陂L(zhǎng)方體內(nèi)，則小球的直徑的最大值為邊長(zhǎng).所以半徑的最大值為，則小球的體積的最大值為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體的內(nèi)切球，根據(jù)長(zhǎng)方體的表面的面積求棱長(zhǎng),考查方程思想，屬于中檔題.16如圖，直線和分別是函數(shù)過(guò)點(diǎn)的切線（切點(diǎn)為）和割線，則切線的方程為_(kāi)；若，則_.【答案】 【解析】設(shè)切點(diǎn)，由，得切線的斜率為，求出在點(diǎn)處的切線方程，然后將點(diǎn)代入，解出切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到切線方程. 再寫(xiě)出直線的方程與聯(lián)立，則為方程的根，應(yīng)用因式分解和韋達(dá)定理可得的值.【詳解】設(shè)切點(diǎn),又，則在點(diǎn)處的切線的斜率為：.則在點(diǎn)處的切線方程為：，又點(diǎn)在切線上，則，即，解得或(舍).則，所以切線的方程為：.根據(jù)題意直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為： ，由 有所以，即 ()由直線交曲線于三點(diǎn) 所以為方程()的根.即為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；由韋達(dá)定理有：.故答案為： ； .【點(diǎn)睛】本題考查曲線的切線，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查曲線與方程，直線與曲線的關(guān)系,屬于難題.三、解答題17為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】(1)由條件有，可求出，即得到答案.(2)由，由（1）有，則為等差數(shù)列，可求和.【詳解】解：（1）為等差數(shù)列，設(shè)公差為由 即得： （2）由（1）可知,法一：的前項(xiàng)和法二：，是以首項(xiàng)，公差為8的等差數(shù)列的前項(xiàng)和【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列求通項(xiàng)公式，數(shù)列求和，屬于中檔題.18在某次數(shù)學(xué)考試中，從甲乙兩個(gè)班各抽取10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，兩個(gè)班樣本成績(jī)的莖葉圖如圖所示.（1）用樣本估計(jì)總體，若根據(jù)莖葉圖計(jì)算得甲乙兩個(gè)班級(jí)的平均分相同，求的值；（2）從樣本中任意抽取3名學(xué)生的成績(jī)，若至少有兩名學(xué)生的成績(jī)相同的概率大于，則該班成績(jī)判斷為可疑.試判斷甲班的成績(jī)是否可疑？并說(shuō)明理由.【答案】（1）7（2）甲班的成績(jī)可疑，見(jiàn)解析【解析】(1)求出甲、乙兩班的平均成績(jī)分別為 則可求出的值.(2)求出甲班至少有兩名學(xué)生的成績(jī)相同的概率為，然后根據(jù)條件作出判斷.【詳解】解：（1）設(shè)樣本中甲、乙兩班的平均成績(jī)分別為 、，則 （2）甲班的成績(jī)可以，理由如下：甲班成績(jī)相同的有：87分3人、75分2人、97分2人 從樣本中任意抽取3名學(xué)生的成績(jī)中至少有兩名學(xué)生成績(jī)相同的概率為：甲班的成績(jī)可疑【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖，平均值，等可能事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.19在中（圖1），為線段上的點(diǎn)，且.以為折線，把翻折，得到如圖2所示的圖形，為的中點(diǎn)，且，連接.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2）【解析】(1)根據(jù)條件先證明平面，然后結(jié)論可證.(2) 以為原點(diǎn)，、所在的直線分別為、 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：在圖1中有：，所以在中，所以在圖2中有：在中，為的中點(diǎn)，在中，所以翻折后仍有又、平面，平面平面，所以（2）解：由（1）可知、兩兩互相垂直.以為原點(diǎn)，、所在的直線分別為、 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，平面的法向量為二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直，線線垂直，二面角，立體幾何中求角或距離常用向量法，屬于中檔題.20已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）若，試討論的單調(diào)性；（2）對(duì)任意均有，求的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）【解析】(1)由，定義域?yàn)?，?duì)參數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類討論.(2)由條件分離參數(shù)有，設(shè)，則,即求的最小值.【詳解】解：（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，令，則；，且當(dāng)時(shí)，令，則且；時(shí)當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）在恒成立設(shè)，則法一：在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，即的取值范圍為法二：由（1）可知，時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增在處有最小值又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，在處取得最小值，即的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查討論函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立求參數(shù)的問(wèn)題，考查分離參數(shù)的方法，函數(shù)的最值，屬難題.21已知橢圓的離心率為，且與雙曲線有相同的焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足，點(diǎn)，若直線斜率為，求面積的最大值及此時(shí)直線的方程.【答案】（1）（2），直線的方程為【解析】(1)有題意有可求解.(2)先討論特特殊情況, 是否為原點(diǎn)，然后當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí), 設(shè)的斜率為,表示出的長(zhǎng)度，進(jìn)一步表示出的面積,然后求最值.【詳解】解：（1）由題設(shè)知 ，橢圓的方程為：（2）法一： 為的中點(diǎn)又1）當(dāng)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，此時(shí)、為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的斜率為設(shè)，則，代入橢圓方程整理得：，到的距離解一：令 令或 函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增時(shí)，為的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn) 直線方程為解二：設(shè)，則要得的最大值 ， 當(dāng)，時(shí)，即，時(shí)等號(hào)成立，直線方程為2）當(dāng)不為原點(diǎn)時(shí)，由，三點(diǎn)共線，設(shè)，的斜率為，在橢圓上，得，即 設(shè)直線代入橢圓方程，整理得，到直線的距離令，令，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)直線綜上所述：，直線的方程為解二：設(shè)，為的中點(diǎn)，在橢圓上當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)則， 所以，則，為短軸上的兩個(gè)端點(diǎn)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，消去得 , ， 由得或下同解法一【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形的面積的最值，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性求最值的方法，考查運(yùn)算能力，屬于難題.22在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，直線的方程為.（1）判斷點(diǎn)與直線的位置關(guān)系；（2）設(shè)直線與曲線（為參數(shù)，）相交于，兩點(diǎn)，求點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離之積.【答案】（1）在上（2）8【解析】(1)求出直線的平面直角坐標(biāo)系的方程：，將點(diǎn)代入直線方程，可判斷.(2)將曲線的方程化為直角坐標(biāo)系方程，將直線的方程化為參數(shù)方程形式，聯(lián)立直線方程與曲線的方程，則可解.【詳解】（1）在平面直角坐標(biāo)系的方程為：將代入得：，故在上（2）曲線的直角坐標(biāo)系方程為：直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程得