高三數學二輪復習5數學方法之特殊解法精品教學案

【專題五】數學方法之特殊解法【考情分析】近年高考題盡量減少繁煩的運算，著力考查學生的邏輯思維與直覺思維能力，以及觀察、分析、比較、簡捷的運算方法和推理技巧，突出了對學生數學素質的考查。試題運算量不大，以認識型和思維型的題目為主，許多題目既可用通性、通法直接求解,也可用 “特殊”方法求解。其中，配方法、待定系數法、換元法、參數法是幾種常用的數學解題方法。這些方法是數學思想的具體體現，是解決問題的手段，它們不僅有明確的內涵，而且具有可操作性，有實施的步驟和作法，事半功倍是它們共同的效果?？v觀近幾年高考命題的趨勢，在題目上還是很注意特殊解法應用，應為他起到避繁就簡、避免分類討論、避免轉化等作用。預測2013年的高考命題趨勢為：（1）部分涉及函數性質、三角函數變形及求值、方程不等式的參數最值、解析幾何求值等知識點的題目會用到這幾種特殊解法；（2）這些解題方法都對應更一般的解法，它們的規(guī)律不太容易把握，但它們在實際的考試中會節(jié)省大量的時間，為后面的題目奠定基礎；【知識歸納】1換元法解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把復雜的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現。例如解不等式：4220，先變形為設2t（t0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖捣匠痰膯栴}。三角換元，應用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數式中與三角知識中有某點聯系進行換元。如求函數y的值域時，易發(fā)現x0,1，設xsin ，0,，問題變成了熟悉的求三角函數值域。為什么會想到如此設，其中主要應該是發(fā)現值域的聯系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件xyr（r0）時，則可作三角代換xrcos、yrsin化為三角問題。均值換元，如遇到xyS形式時，設xt，yt等等。我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t0和0,。2待定系數法要確定變量間的函數關系，設出某些未知系數，然后根據所給條件來確定這些未知系數的方法叫待定系數法，其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件是：對于一個任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數對應相等。待定系數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使用待定系數法，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數法求解，主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表達式，如果具有，就可以用待定系數法求解。例如分解因式、拆分分式、數列求和、求函數式、求復數、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數學表達形式，所以都可以用待定系數法求解。使用待定系數法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數的解析式；第二步，根據恒等的條件，列出一組含待定系數的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數，從而使問題得到解決。3參數法參數法是指在解題過程中，通過適當引入一些與題目研究的數學對象發(fā)生聯系的新變量（參數），以此作為媒介，再進行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數方程都是用參數法解題的例證。換元法也是引入參數的典型例子。辨證唯物論肯定了事物之間的聯系是無窮的，聯系的方式是豐富多采的，科學的任務就是要揭示事物之間的內在聯系，從而發(fā)現事物的變化規(guī)律。參數的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內在聯系。參數體現了近代數學中運動與變化的思想，其觀點已經滲透到中學數學的各個分支。運用參數法解題已經比較普遍。參數法解題的關鍵是恰到好處地引進參數，溝通已知和未知之間的內在聯系，利用參數提供的信息，順利地解答問題。4配方（湊）法（1）配方法是對數學式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數、二次代數式的討論與求解等問題。（2）配湊法：從整體考察，通過恰當的配湊，使問題明了化、簡單化從而達到比較容易解決問題的方法。常見的配湊方法有：裂項法，錯位相減法，常量代換法等?！究键c例析】1配方（湊）法典例解析例1（1）（2012高考重慶）設是方程的兩個根，則的值為（ ）（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3【答案】A；【解析】因為是方程的兩個根，所以，所以，選A.（2）已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為（ ）(A)(B)(C)5(D)6分析：設長方體三條棱長分別為x、y、z，則依條件得： 2(xy+yz+zx)=11，4(x+y+z)=24。而欲求的對角線長為，因此需將對稱式寫成基本對稱式x+y+z及xy+yz+zx的組合形式，完成這種組合的常用手段是配方法，故=6211=25。 ，應選C。點評：本題解答關鍵是在于將兩個已知和一個未知轉換為三個數學表示式，觀察和分析三個數學式，容易發(fā)現使用配方法將三個數學式進行聯系，即聯系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。例2（1）設F1和F2為雙曲線的兩個焦點,點P在雙曲線上且滿足F1PF2=90，則F1PF2的面積是（ ）(A)1(B)(C)2(D)分析：欲求(1)，而由已知能得到什么呢？由F1PF2=90，得(2)，又根據雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=4(3)，那么(2)、(3)兩式與要求的三角形面積有何聯系呢？我們發(fā)現將(3)式完全平方，即可找到三個式子之間的關系.即，故 ， 選(A)。點評：配方法實現了“平方和”與“和的平方”的相互轉化。（2）設方程xkx2=0的兩實根為p、q，若()+()7成立，求實數k的取值范圍。解析：方程xkx2=0的兩實根為p、q，由韋達定理得：pqk，pq2，()+()7，解得k或k。又 p、q為方程xkx2=0的兩實根， k80即k2或k2綜合起來，k的取值范圍是：k 或者 k。點評：關于實系數一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“”；已知方程有兩根時，可以恰當運用韋達定理。本題由韋達定理得到pq、pq后，觀察已知不等式，從其結構特征聯想到先通分后配方，表示成pq與pq的組合式。假如本題不對“”討論，結果將出錯，即使有些題目可能結果相同，去掉對“”的討論，但解答是不嚴密、不完整的，這一點我們要尤為注意和重視。2待定系數法典例解析例3（2012高考浙江）(本小題滿分15分)如圖，橢圓C：(ab0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分()求橢圓C的方程；() 求ABP的面積取最大時直線l的方程【命題立意】本題主要考查橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力?！敬鸢浮?)由題：； (1)左焦點(c，0)到點P(2，1)的距離為： (2)由(1) (2)可解得：所求橢圓C的方程為：()易得直線OP的方程：yx，設A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)其中y0x0A，B在橢圓上，設直線AB的方程為l：y(m0)，代入橢圓：顯然m且m0由上又有：m，|AB|點P(2，1)到直線l的距離表示為：SABPd|AB|m2|，當|m2|，即m3 或m0(舍去)時，(SABP)max此時直線l的方程y例4（2012高考新課標）等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，；則的實軸長為（ ） 【答案】C；【解析】設等軸雙曲線方程為，拋物線的準線為，由,則,把坐標代入雙曲線方程得，所以雙曲線方程為，即，所以，所以實軸長，選C.3換元法典例解析例5（1）（2012年高考重慶）設函數集合 則為（）AB(0,1)C(-1,1)D【答案】：D；【解析】由得則或即或 所以或;由得即所以故 【考點定位】本題考查了利用整體代換，直接代入法求解函數的解析式以及指數不等式的解法.本題以函數為載體,考查復合函數,關鍵是函數解析式的確定. （2）設a0，求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值和最小值。解析：設sinxcosxt，則t-,，由(sinxcosx)12sinxcosx得：sinxcosx，f(x)g(t)(t2a)（a0），t-,，t-時，取最小值：2a2a，當2a時，t，取最大值：2a2a；當01），則f(x)的值域是_。3.已知數列a中，a1，aaaa，則數列通項a_。4.設實數x、y滿足x2xy10，則xy的取值范圍是_。5.方程3的解是_。6.不等式log(21) log(22)2的解集是_。7設2351，則2x、3y、5z從小到大排列是_。8若k0時，f(x)0的解集是(,)，則ab的值是_。A. 10 B. 10 C. 14 D. 14 15(1x)（1x）的展開式中，x的系數是_。A. 297 B.252 C. 297 D. 20716函數yabcos3x (b0)的最大值為，最小值為，則y4asin3bx的最小正周期是_。17與直線L：2x3y50平行且過點A(1,-4)的直線L的方程是_。18與雙曲線x1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的方程是_?！緟⒖即鸢浮?小題：設sinx+cosxt,，則yt，對稱軸t1，當t，y；2小題：設x1t (t1)，則f(t)log-(t-1)4，所以值域為(,log4；3小題：已知變形為1,設b，則b1,b1(n1)(-1)n，所以a；4小題：設xyk，則x2kx10, 4k40,所以k1或k1；5小題：設3y，則3y2y10,解得y，所以x1；6小題：設log(21)y，則y(y1)2，解得2y1，所以x(log,log3)。7小題：設235t，分別取2、3、5為底的對數，解出x、y、z，再用“比較法”比較2x、3y、5z，得出3y2x5z；8已知曲線為橢圓，a1，c，所以e；9小題：設zb，則C1b2，所以圖像為：從(1,2)出發(fā)平行于x軸向右的射線；10小題：設三條側棱x、y、z，則xy6、yz4、xz3,所以xyz24,體積為4。11小題：f(0)0，f(0)f(x)f(-x)，所以f(x)是奇函數，答案：減；12小題：設x4sin、y2cos，再求d的最大值，選C。13小