重慶市大學城第一中學校學年高二數(shù)學下學期第一次月考試題理

重慶市大學城第一中學校2018-2019學年高二數(shù)學下學期第一次月考試題 理（含解析）一、單選題（本大題共12小題）1.已知復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)的虛部是( )A. B. C. 1D. -1【答案】C【解析】【分析】將代入的表達式中，并進行化簡，由此求得的虛部.【詳解】將代入的表達式中得，故虛部為，所以選C.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知函數(shù)是可導函數(shù)，且，則( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由題意結(jié)合導數(shù)的定義整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可得： ,即： .本題選擇C選項.點睛：本題主要考查函數(shù)在某一點處導數(shù)的定義及其應(yīng)用，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.3.已知函數(shù)，則等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先對函數(shù)求導，再將代入即可.詳解：函數(shù)，將代入，得故選D.點睛：本題考查復(fù)合函數(shù)的導數(shù)，解題的關(guān)鍵是準確掌握導數(shù)計算的公式.4.曲線在點處的切線方程為A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在時的導數(shù)，然后由直線方程的斜截式得答案【詳解】由，得，則曲線在點處的切線方程是，即故選：C【點睛】本題考查利用導數(shù)研究在曲線上某點處的切線方程，求曲線在點P處的切線，則表明P點是切點，只需求出函數(shù)在點P處的導數(shù)，然后利用點斜式寫出切線方程即可.5.如圖，矩形中曲線的方程分別是，在矩形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用定積分計算得陰影部分的面積，在利用幾何概型概率計算公式求得所求的概率.【詳解】依題意的陰影部分的面積，根據(jù)用幾何概型概率計算公式有所求概率為，故選A.【點睛】本小題主要考查定積分的計算，考查幾何概型的識別以及其概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則的圖象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由的圖像判斷出的單調(diào)性，進而可判斷出結(jié)果。【詳解】由的圖像可得：當時，即；當時，即,所以函數(shù)在0上單調(diào)遞增， 故選B.【點睛】本題主要考查由導函數(shù)的圖像判斷函數(shù)的圖像，屬于基礎(chǔ)題型.7.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域和導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系進行求解即可【詳解】解：函數(shù)的定義域為，函數(shù)的導數(shù)，由得，得，得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：D【點睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，利用函數(shù)和導數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵8.甲、乙、丙、丁四個孩子踢球打碎了玻璃。甲說：“是丙或丁打碎的?！币艺f：“是丁打碎的?！北f：“我沒有打碎玻璃。”丁說：“不是我打碎的。”他們中只有一人說了謊，請問是（ ）打碎了玻璃。A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】【分析】假設(shè)其中一個人說了謊，針對其他的回答逐個判斷對錯即可，正確答案為丁【詳解】假設(shè)甲打碎玻璃，甲、乙說了謊，矛盾，假設(shè)乙打碎了玻璃，甲、乙說了謊，矛盾，假設(shè)丙打碎了玻璃，丙、乙說了謊，矛盾，假設(shè)丁打碎了玻璃，只有丁說了謊，符合題意，所以是丁打碎了玻璃；故選：D【點睛】本題考查了進行簡單的合情推理，采用逐一檢驗的方法解題，屬基礎(chǔ)題9.已知函數(shù)，則的極大值點為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先對函數(shù)求導，求出，再由導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，因此，所以，由得：；由得：；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此的極大值點.故選D【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，根據(jù)導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進而可確定其極值，屬于常考題型.10.函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】對函數(shù)求導，轉(zhuǎn)化成在上有恒成立，從而求出a的取值范圍【詳解】，又在上是減函數(shù)，在上恒有，即在上恒成立，因為，所以，所以：實數(shù)a的取值范圍是故選：A【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及一元二次不等式的解法問題，是高考中的熱點問題11.已知函數(shù)-1在區(qū)間上至少有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由-1得，令，求導研究的單調(diào)性，由y=a+1與在區(qū)間上有一個交點即可得出a的取值范圍.【詳解】-1則，令 可得在（0,1）遞減，在（1,2）遞增，時， ，=2,所以函數(shù)-1在區(qū)間上至少有一個零點轉(zhuǎn)化為y=a+1與在區(qū)間上有交點，即a+12, a1.故選A.【點睛】本題考查了函數(shù)零點問題，采用變量分離把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點問題，屬于中檔題.12.函數(shù)是定義在區(qū)間上可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求得的導函數(shù)，結(jié)合題目所給條件，得到的單調(diào)性，由此求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意可知，當時，故函數(shù)在上為增函數(shù).由于，故所求不等式可化為，所以，解得.故選B.【點睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.二、填空題（本題共四小題）13.復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第_象限【答案】一【解析】【分析】把，代入，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標即可得到答案?！驹斀狻拷猓?，在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標為，位于第一象限。故答案為：一【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題。14.函數(shù)，則的值為 【答案】【解析】分析：根據(jù)微積分基本定理，用定積分的運算，即可得到計算的結(jié)果.詳解：由題意，函數(shù)，所以.點睛：本題主要考查了定積分的運算及應(yīng)用，其中熟記微積分基本定理和定積分的運算，定積分的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.15.已知函數(shù)的定義域為，部分對應(yīng)值如下表，的導函數(shù)的圖象如圖所示，給出關(guān)于的下列命題：x-10245 12021函數(shù)在處取得極小值;函數(shù)在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；當時，函數(shù)有4個零點；如果當時，的最大值是2，那么的最小值為0.其中所有的正確命題是_(寫出正確命題的序號).【答案】【解析】分析：由導函數(shù)的圖象可得函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，進而可畫出函數(shù)的圖象得出答案.詳解：由導函數(shù)的圖象可知：根據(jù)上述表達及其已知表格可畫出函數(shù)的圖象：函數(shù)在處取得極小值，正確；由表格和圖象可知：函數(shù)在是減函數(shù)，因此不正確；作出函數(shù)y=a，可知：當時，函數(shù)與y=a有四個交點，因此函數(shù)有4個零點，正確；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，其函數(shù)值由1增加到2.故如果當時，的最大值是2，那么的最小值為0，故正確.故答案為：.點睛：求函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最值的方法(1)若函數(shù)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增或遞減，f(a)與f(b)一個為最大值，一個為最小值；(2)若函數(shù)在閉區(qū)間a，b內(nèi)有極值，要先求出a，b上的極值，與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大(或小)值點，此結(jié)論在導數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用到16.國務(wù)院批準從2009年起，將每年8月8日設(shè)置為“全民健身日”，為響應(yīng)國家號召，各地利用已有土地資源建設(shè)健身場所如圖，有一個長方形地塊，邊為，為地塊的一角是草坪（圖中陰影部分），其邊緣線是以直線為對稱軸，以為頂點的拋物線的一部分現(xiàn)要鋪設(shè)一條過邊緣線上一點的直線型隔離帶，分別在邊，上（隔離帶不能穿越草坪，且占地面積忽略不計），將隔離出的作為健身場所則的面積為的最大值為_（單位：）【答案】【解析】【分析】以A為坐標原點，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，可得，設(shè)邊緣線所在的拋物線為，代入C點坐標可求拋物線為。EF為拋物線的切線，設(shè)，由導數(shù)知識可求直線EF方程為，從而可求E、F的坐標，于是可列的面積為，且，利用導數(shù)知識求函數(shù)最大值即可?！驹斀狻恳訟為坐標原點，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，可得。設(shè)邊緣線所在的拋物線為，把代入得，所以拋物線為。設(shè)點，因為，所以過點P的切線EF的方程為，令，得；令得所以的面積為，即，而=；由得，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以S在上有最大值?！军c睛】本題主要考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值與最值，曲線的切線方程，拋物線的方程，重點考查了學生的分析問題與解問題的能力，邏輯推理能力與數(shù)學運算能力。是綜合性較強的題目，屬于中檔題。三、解答題.17.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=，的虛部為2.（1）求z；（2）設(shè)z，在復(fù)平面對應(yīng)的點分別為A，B，C，求的面積.【答案】【解析】【分析】(1)設(shè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式，再根據(jù)條件列方程組解得z，（2）先根據(jù)復(fù)數(shù)乘法以及減法計算化為復(fù)數(shù)代數(shù)形式，再確定對應(yīng)點坐標，最后根據(jù)點坐標關(guān)系求三角形面積.【詳解】（1）設(shè)，因為|z|=，所以因為 的虛部為2，所以因此（2）當時，即,因此三角形面積為當時，即,因此三角形面積為因此的面積為1.【點睛】本題重點考查復(fù)數(shù)的基本運算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基本題.首先對于復(fù)數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如. 其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應(yīng)點為、共軛為18.已知函數(shù)，當時，的極大值為7；當時，有極小值.求（1）的值；（2）求函數(shù)在上的最小值.【答案】（1）a3，b9，c2；（2）f（x）最小值25，f（x）最大值2.【解析】【分析】（1）因為當x1時，f（x）有極大值，當x3時，f（x）有極小值，所以把x1和3代入導數(shù)，導數(shù)都等于0，就可得到關(guān)于a，b，c的兩個等式，再根據(jù)極大值等于7，又得到一個關(guān)于a，b，c的等式，三個等式聯(lián)立，即可求出a，b，c的值（2）先求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值【詳解】（1）f（x）x3+ax2+bx+cf（x）3x2+2ax+b而x1和x3是極值點，所以，解之得：a3，b9又f（1）1+ab+c13+9+c7，故得c2，a3，b9，c2；（2）由（1）可知f（x）x33x29x+2，f（x）3x26x93（x3）（x+1），令f（x）0，解得：x3或x1，令f（x）0，解得：1x3，函數(shù)f（x）在0，3遞減，在3，4遞增，f（x）最小值f（3）25而f（4）-18，f（0）2，f（x）最大值2.【點睛】本題主要考查導數(shù)在求函數(shù)的極值中的應(yīng)用，做題時要細心理解極值與導數(shù)的對應(yīng)關(guān)系及極值的判斷規(guī)則是解題的關(guān)鍵，考查了利用導數(shù)判斷單調(diào)性及最值，屬于中檔題型19.已知數(shù)列的前n項和（1）計算，； （2）猜想的表達式，并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論【答案】（1）依題設(shè)可得，；（2）猜想：證明：當時，猜想顯然成立假設(shè)時，猜想成立，即那么，當時，即又，所以，從而即時，猜想也成立故由和，可知猜想成立【解析】試題分析：（1）由題可知，即，即，依次遞推下去，得出；（2）根據(jù)數(shù)學歸納法有，當，時，猜想成立，證明當時，猜想也正確，才能最后確定猜想正確；試題解析：（1）依題設(shè)可得，當時，即，即，故，；（2）猜想：證明：當時，猜想顯然成立假設(shè)時，猜想成立，即那么，當時，即又，所以，從而即時，猜想也成立故由和，可知猜想成立考點：數(shù)列的遞推數(shù)學歸納法20.已知函數(shù)當時，求函數(shù)的極值；求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍【答案】（1）的極小值是，無極大值；（2）；（3）.【解析】【分析】代入a值，求函數(shù)的導數(shù)，解導數(shù)不等式得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求極值；求函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，解導數(shù)不等式得函數(shù)的遞增區(qū)間；問題轉(zhuǎn)化為，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最大值，從而求a的范圍【詳解】解：時，令，解得：或，令，解得：，故在遞增，在遞減，在遞增，而在處無定義，故的極小值是，無極大值；，當時，解得：或，故函數(shù)在，遞增，當時，解得：，故函數(shù)在遞增；，令，則，令，解得：，在遞增，在遞減，即，故【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，綜合性較強21.已知函數(shù)（a0）（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）證明：對任意x1，），有【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】【分析】(1)對函數(shù)求導，分情況討論導函數(shù)的正負，進而得到單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導，研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，證明函數(shù)的最大值小于0即可.【詳解】（1）解：當0a1時，由f（x）0，得（1a）x1（1a）x10，解得；由f（x）0，得（1a）x1（1a）x10，解得故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，），單調(diào)遞增區(qū)間為（，）當a1時，由f（x）0，得或；由f（x）0，得故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，），（，），單調(diào)遞增區(qū)間為（2）證明：構(gòu)造函數(shù)，則因為（2a）24（1a2）0，所以（1a2）x22ax10，即g（x）0故g（x）在區(qū)間1，）上是減函數(shù)又x1，所以g（x）g（1）（1a2）1a20故對任意x1，），有f（x）2xa2【點睛】利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1) 構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不