高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)之四復(fù)數(shù)

高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)之四復(fù)數(shù)知識(shí)小結(jié):1. 復(fù)數(shù)的單位為i，它的平方等于1，即.復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念： 復(fù)數(shù)形如a + bi的數(shù)（其中）； 實(shí)數(shù)當(dāng)b = 0時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即a； 虛數(shù)當(dāng)時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi； 純虛數(shù)當(dāng)a = 0且時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即bi. 復(fù)數(shù)a + bi的實(shí)部與虛部a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部（注意a，b都是實(shí)數(shù)） 復(fù)數(shù)集C全體復(fù)數(shù)的集合，一般用字母C表示.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：.兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小.注：若為復(fù)數(shù)，則若，則.（）為復(fù)數(shù)，而不是實(shí)數(shù)若，則.（）若，則是的必要不充分條件.（當(dāng)，時(shí)，上式成立）2. 復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：.其中是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，間的距離.由上可得：復(fù)平面內(nèi)以為圓心，為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程：.曲線方程的復(fù)數(shù)形式：為圓心，r為半徑的圓的方程.表示線段的垂直平分線的方程.為焦點(diǎn)，長半軸長為a的橢圓的方程（若，此方程表示線段）.表示以為焦點(diǎn)，實(shí)半軸長為a的雙曲線方程（若，此方程表示兩條射線）.絕對(duì)值不等式：設(shè)是不等于零的復(fù)數(shù)，則.左邊取等號(hào)的條件是，右邊取等號(hào)的條件是.左邊取等號(hào)的條件是，右邊取等號(hào)的條件是.注：.3. 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)： ，（a + bi） （） 注：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)之差是純虛數(shù). （）之差可能為零，此時(shí)兩個(gè)復(fù)數(shù)是相等的4. 復(fù)數(shù)的乘方：對(duì)任何，及有 注：以上結(jié)論不能拓展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，否則會(huì)得到荒謬的結(jié)果，如若由就會(huì)得到的錯(cuò)誤結(jié)論.在實(shí)數(shù)集成立的. 當(dāng)為虛數(shù)時(shí)，所以復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程不能采用兩邊平方法.常用的結(jié)論： 若是1的立方虛數(shù)根，即，則 .5. 復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)及純虛數(shù)的充要條件：.若，是純虛數(shù).模相等且方向相同的向量，不管它的起點(diǎn)在哪里，都認(rèn)為是相等的，而相等的向量表示同一復(fù)數(shù). 特例：零向量的方向是任意的，其模為零.注：. 6. 復(fù)數(shù)集中解一元二次方程：在復(fù)數(shù)集內(nèi)解關(guān)于的一元二次方程時(shí)，應(yīng)注意下述問題：當(dāng)時(shí)，若0，則有二不等實(shí)數(shù)根；若=0，則有二相等實(shí)數(shù)根；若0，則有二相等復(fù)數(shù)根（為共軛復(fù)數(shù)）.當(dāng)不全為實(shí)數(shù)時(shí)，不能用方程根的情況.不論為何復(fù)數(shù)，都可用求根公式求根，并且韋達(dá)定理也成立.范例分析實(shí)數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)？復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是：當(dāng)m2時(shí)復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)z是虛數(shù)的充要條件：當(dāng)m3且m2時(shí)復(fù)數(shù)z為虛數(shù)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的充要條件是：當(dāng)m1時(shí)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)【說明】要注意復(fù)數(shù)z實(shí)部的定義域是m3，它是考慮復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，虛數(shù)純虛數(shù)的必要條件要特別注意復(fù)數(shù)za+bi(a，bR)為純虛數(shù)的充要條件是a0且b0 ，所以，代入得，故選解法3：選擇支中的復(fù)數(shù)的模均為，又，而方程右邊為2+i，它的實(shí)部，虛部均為正數(shù)，因此復(fù)數(shù)z的實(shí)部，虛部也必須為正，故選擇B【說明】解法1利用復(fù)數(shù)相等的條件；解法2利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)；解法3考慮選擇題的特點(diǎn)求：z【分析】確定一個(gè)復(fù)數(shù)要且僅要兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，而題目恰給了兩個(gè)獨(dú)立條件采用待定系數(shù)法可求出a、b確定z運(yùn)算簡化解：設(shè)z=x+yi(x，yR)將z=x+yi代入|z4|z4i|可得xy，z=x+xi(2)當(dāng)|z1|13時(shí)，即有xx6=0則有x=3或x=2綜上所述故z0或z=3+3i或z=-22i【說明】注意熟練地運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)其性質(zhì)有：(3)1+2i+3+1000【說明】計(jì)算時(shí)要注意提取公因式，要注意利用i的冪的周期性，要記住常用的數(shù)據(jù)：，。（2）原式(3)解法1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i解法2：設(shè)S1+2i+3+1000，則iSi+2+3+999+1000，(1i)S1+i+1000【說明】充分利用i的冪的周期性進(jìn)行組合，注意利用等比數(shù)列求和的方法【例5】若，求：解： 【例6】設(shè)z1=1-cos+isin，z2=a2+ai(aR)，若z1z20，z1z2+=0，問在（0，2）內(nèi)是否存在使(z1-z2)2為實(shí)數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由【分析】這是一道探索性問題可根據(jù)復(fù)數(shù)的概念與純虛數(shù)的性質(zhì)及復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件，直接進(jìn)行解答【解】假設(shè)滿足條件的存在因z1z20，z1z2+=0，故z1z2為純虛數(shù)又z1z2=(1-cos+isin)(a2+ai)=a2(1-cos)-asin+a(1-cos)+a2sini，于是，由知a0因(0，2)，故cos1于是，由得a=另一方面，因(z1-z2)2R，故z1-z2為實(shí)數(shù)或?yàn)榧兲摂?shù)又z1-z2=1-cos-a2+(sin-a)i，于是sin-a=0，或1-cos-a2=0若sin-a=0，則由方程組得=sin，故cos=0，于是=或=若1-cos-a2=0，則由方程組得()2=1-cos由于sin2=1-cos2=(1+cos)(1-cos)，故1+cos=(1-cos)2解得cos=0，從而=或=綜上所知，在(0，2)內(nèi)，存在=或=，使(z1-z2)2為實(shí)數(shù)【說明】解題技巧：解題中充分使用了復(fù)數(shù)的性質(zhì)：z0，z+=0z純虛數(shù)以及z2RzR或z純虛數(shù)（注：Re(z)，Im(z)分別表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部）解題規(guī)律：對(duì)于“是否型存在題型”，一般處理方法是首先假設(shè)結(jié)論成立，再進(jìn)行正確的推理，若無矛盾，則結(jié)論成立；否則結(jié)論不成立【例7】設(shè)a為實(shí)數(shù)，在復(fù)數(shù)集C中解方程：z2+2|z|=a【分析】由于z2=a-2|z|為實(shí)數(shù)，故z為純虛數(shù)或?qū)崝?shù)，因而需分情況進(jìn)行討論【解】設(shè)|z|=r若a0，則z2=a-2|z|0，于是z為純虛數(shù)，從而r2=2ra解得r=(r=0，不合，舍去)故z=()i若a0，對(duì)r作如下討論：（1）若ra，則z2=a-2|z|0，于是z為實(shí)數(shù)解方程r2=a-2r，得r=(r=0，不合，舍去)故z=()（2）若ra，則z2=a-2|z|0，于是z為純虛數(shù)解方程r2=2r-a，得r=或r=(a1)故z=()i(a1)綜上所述，原方程的解的情況如下：當(dāng)a0時(shí)，解為：z=()i；當(dāng)0a1時(shí)，解為：z=()，z=()i；當(dāng)a1時(shí)，解為：z=()【說明】解題技巧：本題還可以令z=x+yi(x、yR)代入原方程后，由復(fù)數(shù)相等的條件將復(fù)數(shù)方程化歸為關(guān)于x，y的實(shí)系數(shù)的二元方程組來求解【例8】已知實(shí)數(shù)滿足不等式，試判斷方程有無實(shí)根，并給出證明.【解】由，解得，.方程的判別式.，由此得方程無實(shí)根.基礎(chǔ)訓(xùn)練：1. 下列說法正確的是 C A0i是純虛數(shù)B原點(diǎn)是復(fù)平面內(nèi)直角坐標(biāo)系的實(shí)軸與虛軸的公共點(diǎn)C實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)一定是實(shí)數(shù)，虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)一定是虛數(shù)D是虛數(shù)2. 下列命題中，假命題是 A A兩個(gè)復(fù)數(shù)不可以比較大小B兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小C兩個(gè)虛數(shù)不可以比較大小D一虛數(shù)和一實(shí)數(shù)不可以比較大小3. 已知對(duì)于x的方程+（12i）x+3mi=0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)m滿足 D 4. 復(fù)數(shù)1+i+等于 AAi B i C2i D2i5. 求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)z：(1)z+是實(shí)數(shù)，且1z+6；(2)z的實(shí)部和虛部都是整數(shù)1t6=t2-400，解方程得又z的實(shí)部和虛部都是整數(shù)，t=2或t=6故z=13i或z=3i6. 已知復(fù)數(shù)z1=3+4i, z2=t+i, 且是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)t=( )A B C- D-7. 當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限8. 滿足條件的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是( C )A一條直線 B兩條直線 C圓 D橢圓9. 已知z=2i，求z3zz+5z2的值?！痉治觥咳绻苯哟耄@然比較困難，將z用三角式表示也有一定的難度。從整體角度思考，可將條件轉(zhuǎn)化為（z2）=（i）=1，即z4z+4=1，即z4z+5=0，再將結(jié)論轉(zhuǎn)化為z3zz+5z2=（z4z5）（zz）+2，然后代入就不困難了?！窘狻縵=2i，（z2）=（i）=1即z4z+5=0z3zz+5z2=（z4z+5）（zz）+2=2。10. 設(shè)zc，a0，解方程z|z|azi=0。邊取模，得11. 下列命題中正確的是 D A方程|