江蘇七南通、泰州、揚州、徐州、淮安、宿遷、連云港高三數(shù)學(xué)第三次調(diào)研考試

江蘇省七市（南通、泰州、揚州、徐州、淮安、宿遷、連云港）2019屆高三數(shù)學(xué)第三次調(diào)研考試試題（含解析）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分1.已知集合，則_【答案】【解析】【分析】直接由補集運算得解?！驹斀狻恳驗?，所以【點睛】本題主要考查了補集的運算，屬于基礎(chǔ)題。2.已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為_【答案】-3【解析】【分析】整理為，利用它是純虛數(shù)列方程，問題得解?！驹斀狻恳驗橐驗閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以解得：【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。3.下圖是一個算法流程圖若輸出的值為4，則輸入x的值為_【答案】-1【解析】【分析】對的范圍分類，利用流程圖列方程即可得解?！驹斀狻慨?dāng)時，由流程圖得：令，解得：，滿足題意。當(dāng)時，由流程圖得：令，解得：，不滿足題意。故輸入的值為：【點睛】本題主要考查了流程圖知識，考查分類思想及方程思想，屬于基礎(chǔ)題。4.已知一組數(shù)據(jù)6，6，9，的平均數(shù)是，且，則該組數(shù)據(jù)的方差為_【答案】【解析】【分析】由這組數(shù)據(jù)6，6，9，的平均數(shù)是可求得，結(jié)合可求得，再利用方差公式計算即可得解。【詳解】因為數(shù)據(jù)6，6，9，的平均數(shù)是所以，整理得：又，解得：或此時都等于所以該組數(shù)據(jù)的方差為【點睛】本題主要考查了平均數(shù)的計算公式及方差計算公式，還考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題。5.一只口袋裝有形狀、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只紅球從中1次隨機摸出2只球，則2只球都是白球的概率為_【答案】【解析】【分析】計算出“從中1次隨機摸出2只球”共有種不同的結(jié)果，“2只球都是白球”有種不同的結(jié)果，再利用古典概型概率計算公式得解?！驹斀狻坑深}可得：“從中1次隨機摸出2只球”共有種不同的結(jié)果，“摸出的2只球都是白球”有種不同的結(jié)果.所以“從中1次隨機摸出2只球，則2只球都是白球”的概率為【點睛】本題主要考查了組合知識，還考查了古典概型概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題。6.已知函數(shù) 則不等式的解集為_【答案】【解析】【分析】由題可得：函數(shù)為奇函數(shù)，即可將不等式轉(zhuǎn)化為：，對分類解不等式即可?！驹斀狻坑深}可得：函數(shù)為奇函數(shù)，不等式等價于，即：當(dāng)時，由，解得：當(dāng)時，由，解得：綜上所述：或所以不等式的解集為【點睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性應(yīng)用，還考查了分類思想及一元二次不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。7.已知是等比數(shù)列，前項和為若，則的值為_【答案】14【解析】【分析】由及列方程組，即可求得，再利用等比數(shù)列前項和公式計算即可得解?！驹斀狻吭O(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為由題可得：，解得：所以【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量計算，還考查了等比數(shù)列前項和公式，考查方程思想及計算能力，屬于較易題。8.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線（）的右準(zhǔn)線與兩條漸近線分別交于A，B兩點若AOB的面積為，則該雙曲線的離心率為_【答案】2【解析】【分析】由雙曲線的右準(zhǔn)線與兩條漸近線分別交于A，B兩點可求得：，再由AOB的面積為列方程整理得：，問題得解?！驹斀狻坑深}可得：雙曲線（）的右準(zhǔn)線方程為：，兩條漸近線方程分別，由可得：由雙曲線的對稱性可得：所以AOB的面積為整理得：，即：所以該雙曲線離心率為【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，還考查了方程思想及三角形面積公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。9.已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，由此形成的幾何體的體積為_cm3【答案】【解析】【分析】由題可得：將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體體積等于一個圓柱的體積和一個圓錐的體積之和，由錐體體積公式及圓柱體積公式計算得解?！驹斀狻恳罁?jù)題意，作出如下直角梯形：將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體體積等于一個圓柱的體積和一個圓錐的體積之和。其中圓柱的半徑為，高為，圓錐的半徑為,高為.由題中數(shù)據(jù)可知：【點睛】本題主要考查了空間思維能力，還考查了錐體體積公式及圓柱體積公式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。10.在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線與在上交點的橫坐標(biāo)為，則的值為_【答案】【解析】【分析】由題可得：，即可求得：，結(jié)合即可求得，對利用二倍角公式即可得解?！驹斀狻坑深}可得：，解得：，又所以又，解得：所以【點睛】本題主要考查了方程思想及計算能力，還考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系，考查了二倍角的正弦公式，屬于中檔題。11.如圖，正六邊形中，若（），則的值為_【答案】【解析】【分析】連接交于點，連接交于點，利用向量的倍數(shù)關(guān)系及向量的加法公式可得：，再利用平面向量基本定理列方程求解即可。【詳解】連接交于點，連接交于點，如下圖：由題可得：為的中點，為的一個四等分點，且，為中點所以所以，所以【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)乘運算及平面向量基本定理，還考查了向量的加法運算，考查方程思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題。 12.如圖，有一壁畫，最高點處離地面6 m，最低點處離地面3.5 m若從離地高2 m的處觀賞它，則離墻_m時，視角最大【答案】【解析】【分析】過點作的垂線，垂足為，設(shè)米，分別表示出，在中利用余弦定理可得：，令，可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得：時，最大，問題得解?！驹斀狻咳鐖D，過點作垂線，垂足為設(shè)米，則在中，由余弦定理可得：（）.令，則當(dāng)時，最大，此時最小，此時最大.即 時，視角最大.【點睛】本題主要考查了余弦定理及換元法，還考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，屬于難題.13.已知函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，則實數(shù)的值為_【答案】【解析】【分析】將“若對任意，總存在，使得成立”等價于，求得最大值為，的最大值、最小值分別為：，問題得解。【詳解】不等式可化為：若對任意，總存在，使得成立，則：當(dāng)時，的最大值為：當(dāng)時，的最大值為：最小值為：所以可化為：，解得：.故：【點睛】本題主要考查了等價轉(zhuǎn)化能力，還考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及反比例函數(shù)的性質(zhì)，考查計算能力，屬于難題。14.在平面四邊形ABCD中， ，若， 則的最小值為_【答案】【解析】【分析】以的中點為坐標(biāo)原點，以方向為軸正向，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用即可整理得：，可判斷點在以原點為圓心，半徑為的圓上，取，可得：，利用相似比可得：，將轉(zhuǎn)為：，結(jié)合圖象可得：當(dāng)三點共線時，最小，問題得解。【詳解】如圖，以的中點為坐標(biāo)原點，以方向為軸正向，建立如下平面直角坐標(biāo)系.則，設(shè)，則，因為所以，即：整理得：，所以點在以原點為圓心，半徑為的圓上。在軸上取，連接可得，所以，所以由圖可得：當(dāng)三點共線時，即點在圖中的位置時，最小。此時最小為.【點睛】本題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運算，還考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了轉(zhuǎn)化能力及構(gòu)造思想，還考查了兩點距離公式，屬于難題。二、解答題：本大題共6小題，共計90分15.在ABC中，b，c分別為角A，B，C所對邊的長，（1）求角的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡可得：，再利用余弦定理即可求得：，問題得解。（2）利用余弦定理及可得：，再利用正弦定理即可得解?！驹斀狻浚?）在ABC中， 因為，由正弦定理可得:即， 由余弦定理得 又因為，所以（2）方法一：因為及，得，即，由正弦定理，得，所以 方法二：由正弦定理，得由，得，因為，所以，即 又因為，解得，因為在ABC中，所以.【點睛】本題主要考查了正、余弦定理解三角形，考查化簡能力及方程思想，還考查了計算能力，屬于中檔題。16.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，平面BPC平面DPC，E，F(xiàn)分別是PC，AD的中點求證：（1）BECD； （2）EF平面PAB【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）證明BEPC，即可證得BE平面PCD，問題得證。（2）取PB的中點H，連結(jié)EH，AH，證明四邊形AFEH是平行四邊形，問題得證。【詳解】（1）在PBC中，因為，E是PC的中點，所以BEPC 又因為平面BPC平面DPC，平面BPC平面DPC，平面BPC， 所以BE平面PCD又因為平面DPC， 所以BECD（2）取PB的中點H，連結(jié)EH，AH在PBC中，又因為E是PC的中點，所以HEBC，又底面ABCD是平行四邊形，F(xiàn)是AD的中點， 所以AFBC， 所以HEAF且，所以四邊形AFEH是平行四邊形，所以EFHA 又因為平面PAB，平面PAB， 所以EF平面PAB【點睛】本題主要考查了線線垂直的證明，還考查了線面平行的證明及面面垂直的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力及空間思維能力，屬于中檔題。17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓（）的上頂點為，圓經(jīng)過點（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于，兩點，過點作直線的垂線交圓于另一點若PQN的面積為3，求直線的斜率【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意可得：，由圓經(jīng)過點可得：，問題得解。（2）當(dāng)?shù)男甭蕿?時，檢驗得不合題意，可設(shè)設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程可得，設(shè)，解得：，由弦長公式可得：，由PQN的面積為3列方程可得：，即可求得：，問題得解。【詳解】（1）因為橢圓的上頂點為，所以，又圓經(jīng)過點，所以 所以橢圓的方程為 （2）若的斜率為0，則，所以PQN的面積為，不合題意，所以直線的斜率不為0 設(shè)直線的方程為，由消得，設(shè)，則， 所以 . 直線的方程為，即，所以 所以PQN的面積 ，解得，即直線的斜率為【點睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)及方程思想，還考查了弦長公式及三角形面積公式，考查計算能力及一元二次方程的求根公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題。18.南通風(fēng)箏是江蘇傳統(tǒng)手工藝品之一現(xiàn)用一張長2 m，寬1.5 m的長方形牛皮紙ABCD裁剪風(fēng)箏面，裁剪方法如下：分別在邊AB，AD上取點E，F(xiàn)，將三角形AEF沿直線EF翻折到處，點落在牛皮紙上，沿，裁剪并展開，得到風(fēng)箏面，如圖1（1）若點E恰好與點B重合，且點在BD上，如圖2，求風(fēng)箏面的面積；（2）當(dāng)風(fēng)箏面的面積為時，求點到AB距離的最大值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）建立直角坐標(biāo)系，求得直線的方程為，利用點F到AB與BD的距離相等列方程可得：，求得，問題得解。（2）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得直線的方程為，利用點與關(guān)于直線對稱可得：，利用四邊形的面積為可得，整理得：，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值為，即可求得的最大值為，問題得解?！驹斀狻浚?）方法一：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系則，直線的方程為設(shè)（），因為點F到AB與BD的距離相等，所以，解得或（舍去） 所以ABF的面積為，所以四邊形的面積為所以風(fēng)箏面的面積為方法二：設(shè)，則在直角ABD中， 所以，解得或（舍去） 所以所以ABF的面積為，所以四邊形的面積為所以風(fēng)箏面的面積為 （2）方法一：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)，則直線方程為，因為點A與關(guān)于直線對稱，所以解得 因為四邊形的面積為，所以， 所以 因為，所以設(shè)， 令，得或（舍去）列表如下：0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增當(dāng)時，取得極小值，即最小值，所以的最大值為，所以點到AB距離的最大值為。方法二：設(shè)，則因為四邊形的面積為，所以，即，所以過點作AB的垂線，垂足為T，則 因為，所以 （下同方法一）【點睛】本題主要考查了點到直線的距離公式及三角形面積公式，還考查了兩點關(guān)于直線對稱的坐標(biāo)關(guān)系，還考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及轉(zhuǎn)化能力，考查計算能力，屬于難題。19.已知數(shù)列滿足（），（）（1）若，證明：是等比數(shù)列；（2）若存在，使得，成等差數(shù)列 求數(shù)列的通項公式； 證明：【答案】（1）見解析；（2），見解析【解析】【分析】（1）對兩邊同除以并整理得：，結(jié)合即可證得是等比數(shù)列，問題得證。（2）設(shè)，由（1）可得，結(jié)合，成等差數(shù)列即可求得，問題得解。將轉(zhuǎn)化成，令，且，即可再轉(zhuǎn)化成，記（），利用導(dǎo)數(shù)即可求得，問題得證?！驹斀狻浚?）由，得，得，即， 因為，所以，所以（）， 所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列（2） 設(shè)，由（1）知， 所以，即，所以因為，成等差數(shù)列，則，所以，所以，所以，即 要證，即證，即證設(shè)，則，且，從而只需證，當(dāng)時， 設(shè)（），則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因為，所以，所以，原不等式得證【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的證明及轉(zhuǎn)化能力，還考查了等差數(shù)列的概念及等比數(shù)列的通項公式，考查了換元法及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查計算能力及化歸能力，屬于難題。20.已知函數(shù)（），是自然對數(shù)的底數(shù)（1）當(dāng)時，求的單調(diào)增區(qū)間；（2）若對任意的，（），求的最大值；（3）若的極大值為，求不等式的解集【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求出并整理為，結(jié)合即可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.（2）對的取值分類，當(dāng)時，經(jīng)檢驗，不合題意；當(dāng)時，即可利用（1）求得的增減性，并求得時，最小值為，可將轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，則，利用導(dǎo)數(shù)即可求得最大值為，問題得解。（3）當(dāng)時，無極大值，當(dāng)時，由的極大值為可求得，設(shè)，對范圍分類，利用可得：當(dāng)時，結(jié)合即可得解?！驹斀狻浚?）的定義域為 因為，令，因為，得， 因為， 所以的單調(diào)增區(qū)間是（2）當(dāng)時，不合題意；當(dāng)時，令，得或，所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減 因為，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取極小值，即最小值為若，則，即不妨設(shè)，則 設(shè)（），則當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，即，所以的最大值為（3）由（2）知，當(dāng)時，無極大值，當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以在處取極大值，所以，即 設(shè)，即，當(dāng)，所以；當(dāng)， 由（2）知，又，所以，且不恒為零， 所以在上單調(diào)遞增不等式，即為，所以， 即不等式的解集為【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，還考查了分類思想及轉(zhuǎn)化思想，考查化歸能力及極值的判斷，還考查了利用導(dǎo)數(shù)解不等式，考查計算能力，屬于難題。數(shù)學(xué)（附加題）21.已知，矩陣的逆矩陣若曲線C在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到曲線，求曲線C的方程【答案】【解析】【分析】利用矩陣與逆矩陣的關(guān)系即可求得，設(shè)為曲線C上的任意一點，利用矩陣對應(yīng)的變換可得：代入即可得解。詳解】由題意得，即， 所以，即矩陣 設(shè)為曲線C上的任意一點，在矩陣對應(yīng)的變換作用下變?yōu)辄c， 則 ，即 由已知條件可知，滿足，整理得：， 所以曲線C的方程為【點睛】本題主要考查了矩陣與其逆矩陣的關(guān)系，考查了方程思想及矩陣對應(yīng)的變換，考查計算能力，屬于中檔題。22.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知點，的極坐標(biāo)分別為，曲線的方程為（）（1）求直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線和曲線有且只有一個公共點，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求得，問題得解。（2）利用直線和曲線相切的關(guān)系可得：圓心到直線AB的距離等于圓的半徑，列方程即可得解?！驹斀狻浚?）分別將，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)為，所以直線的直角坐標(biāo)方程為 （2）曲線C的方程為（），其直角坐標(biāo)方程為又直線AB和曲線C有且只有一個公共點，即直線與圓相切，所以圓心到直線AB的距離等于圓的半徑.又圓心到直線AB的距離為，即的值為【點睛】本題主要考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化，還考查了直線與圓相切的幾何關(guān)系，考查計算能力及點到直線距離公式，屬于中檔題。23.已知，若關(guān)于的方程有實根，求的取值范圍【答案】【解析】【分析】由一元二次方程有實數(shù)根可得：，整理得：，對的范圍分類解不等式即可。【詳解】因為關(guān)于的方程有實根，所以，即當(dāng)時，得；當(dāng)時， 4，恒成立，即；當(dāng)時，得，綜上：所求的取值范圍為【點睛】本題主要考查了一元二次方程有實數(shù)根的條