高一數(shù)學(xué)典型例題分析數(shù)列

數(shù)列例題解析【例1】 求出下列各數(shù)列的一個通項公式解 (1)所給出數(shù)列前5項的分子組成奇數(shù)列，其通項公式為2n1，而前5項的分母所組成的數(shù)列的通項公式為22n，所以，已知數(shù)列的(2)從所給數(shù)列的前四項可知，每一項的分子組成偶數(shù)列，其通項公式為2n，而分母組成的數(shù)列3，15，35，63，可以變形為13，35，57，79，即每一項可以看成序號n的(2n1)與2n1的積，也即(2n1)(2n1)，因此，所給數(shù)列的通項公式為：(3)從所給數(shù)列的前5項可知，每一項的分子都是1，而分母所組成的數(shù)列3，8，15，24，35，可變形為13，24，35，46，57，即每一項可以看成序號n與n2的積，也即n(n2)各項的符號，奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正因此，所給數(shù)列的通項公式為：1，4，9，16，25，是序號n的平方即n2，分母均為2因此所【例2】 求出下列各數(shù)列的一個通項公式(1)2，0，2，0，2，(3)7，77，777，7777，77777，(4)0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，解 (1)所給數(shù)列可改寫為11，11，11，11，可以看作數(shù)列1，1，1，1，的各項都加1，因此所給數(shù)的通項公式an(1)n+11所給數(shù)列亦可看作2，0，2，0周期性變化，因此所給數(shù)列的數(shù)列n，分子組成的數(shù)列為1，0，1，0，1，0，可以看作是2，(4)所給數(shù)列0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，可以改寫說明1用歸納法寫出數(shù)列的一個通項公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律對于項的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的數(shù)列，可將其分成幾個部分分別考慮，然后將它們按運(yùn)算規(guī)律結(jié)合起來2對于常見的一些數(shù)列的通項公式(如：自然數(shù)列，an=n；自然數(shù)的平方數(shù)列，ann2；奇數(shù)數(shù)列，an2n1；偶數(shù)數(shù)列，an=2n；納出數(shù)列的通項公式3要掌握對數(shù)列各項的同加、同減、同乘以某一個不等于零的數(shù)的變形方法，將其轉(zhuǎn)化為常見的一些數(shù)列幾項【例4】 已知下面各數(shù)列an的前n項和Sn的公式，求數(shù)列的通項公式(1)Sn2n23n(2)Snn21(3)Sn2n3(4)Sn(1)n+1n解 (1)當(dāng)n=1時，a1=S11；當(dāng)n2時，anSnSn-1=(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也適合此等式，因此an=4n5(2)當(dāng)n1時，a1S1=112；當(dāng)n2時，anSnSn-1=n21(n1)212n1，由于a1不適合于此等式，(3)當(dāng)n1時，a1=S123=5；當(dāng)n2時，an=SnSn-12n3(2n-13)2n-1，由于a1不適合于此等式，(4)當(dāng)n1時，a1S1=(1)21=1；當(dāng)n2時，anSnSn-1=(1)n+1n(1)n(n1)=(1)n+1(2n1)，由于a1也適可于此等式，因此an(1)n+1(2n1)，nN*說明 已知Sn求an時，要先分n1和n2兩種情況分別進(jìn)行計算，然后驗證能否統(tǒng)一(1)寫出數(shù)列的前5項；(2)求an(2)由第(1)小題中前5項不難求出【例6】 數(shù)列an中，a11，對所有的n2，都有a1a2a3ann2(1)求a3a5；解 由已知：a1a2a3ann2得說明 (1)“知和求差”、“知積求商”是數(shù)列中常用的基本方法(2)運(yùn)用方程思想求n，若nN*，則n是此數(shù)列中的項，反之，則不是此數(shù)列中的項【例7】 已知數(shù)an=(a21)(n32n)(a=1)是遞增數(shù)列，試確定a的取值范圍解法一 數(shù)列an是遞增數(shù)列，an+1anan+1an(a21)(n1)32(n1)(a21)(n32n)(a21)(n1)32(n1)n32n(a21)(3n23n1)(a21)(3n23n1)0又nN*，3n23n1=3n(n1)10a210，解得a1或a1解法二 an是遞增數(shù)列，a1a2即：(a21)(12