四川省瀘州市高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試試題理（含解析） (2)

瀘州市2019屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共有12個(gè)小題，每小題5分，共60分每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的1.已知集合，則（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，然后根據(jù)集合的交集的運(yùn)算求出.【詳解】解：B=x|-3x3,又AB=1故選：A【點(diǎn)睛】本題考查集合列舉法、描述法的定義，交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.=（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先對(duì)分母實(shí)數(shù)化，然后按照復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn).【詳解】=，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.已知，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用正切的二倍角公式展開后，代入tana值即可求出.【詳解】 ，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)二倍角公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.4.是成立的（）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解出關(guān)于x的不等式，再結(jié)合充分必要條件的定義找出兩者之間的關(guān)系.【詳解】解：lnx1xex3xe，xe推不出x3，x3是lnx1成立的充分不必要條件故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件的判斷，解不等式，屬于基礎(chǔ)題.5.幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是【答案】B【解析】試題分析：由正視圖排除A，C；由側(cè)視圖排除D，故B正確考點(diǎn)：三視圖6.我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，該圖是由四個(gè)全等的直角三角形組成，它們共同圍成了一個(gè)如圖所示的大正方形和一個(gè)小正方形設(shè)直角三角形中一個(gè)銳角的正切值為3在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小正方形內(nèi)的概率是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】不妨設(shè)兩條直角邊為,故斜邊,即大正方形的邊長(zhǎng)為,小正方形邊長(zhǎng)為,故概率為.7.在中，則在方向上的投影是（）A. 4B. 4C. 3D. 3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積，化簡(jiǎn)，得出；根據(jù)投影的幾何意義結(jié)合圖形求出在方向上的投影【詳解】解：ABC中， 又AB3，AC4，在方向上的投影是=4；如圖所示故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積、投影的幾何意義，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題目8.設(shè)，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先確定，然后將利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算，求得，從而得到的大小關(guān)系.【詳解】由于，所以為三個(gè)數(shù)中最大的.由于，而，故.綜上所述，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式比較大小.解決的方法是區(qū)間分段法，如本題中的“和”作為分段的分段點(diǎn).在題目給定的三個(gè)數(shù)中，有一個(gè)是大于的，有一個(gè)是介于和之間的，還有一個(gè)是小于的，由此判斷出三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.在比較過程中，還用到了對(duì)數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).9.若函數(shù)為常數(shù)，）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)的圖象（）A. 關(guān)于直線對(duì)稱B. 關(guān)于直線對(duì)稱C. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的對(duì)稱性求得a的值，可得g（x）的解析式，再代入選項(xiàng)，利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論【詳解】解：函數(shù)f（x）asinx+cosx（a為常數(shù)，xR）的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，f（0）f（），即，a，所以函數(shù)g（x）sinx+acosxsinx+cosxsin（x+），當(dāng)x時(shí)，g（x）-，不是最值，故g（x）的圖象不關(guān)于直線x對(duì)稱，故A錯(cuò)誤，當(dāng)x時(shí)，g（x）1，不是最值，故g（x）的圖象不關(guān)于直線x對(duì)稱，故B錯(cuò)誤，當(dāng)x時(shí)，g（x）0，故C錯(cuò)誤，當(dāng)x時(shí)，g（x）0，故D正確，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變形以及正弦類函數(shù)的對(duì)稱性，是三角函數(shù)中綜合性比較強(qiáng)的題目，比較全面地考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題10.三棱錐中，底面，若，則該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理計(jì)算出ABC的外接圓直徑2r，再結(jié)合三棱錐的特點(diǎn)，得出球心的位置：過ABC外接圓圓心的垂線與線段SA中垂面的交點(diǎn).再利用公式可計(jì)算出該三棱錐的外接球直徑，最后利用球體表面積公式可得出答案【詳解】解：由于ABBCAC3，則ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，由正弦定理知，ABC的外接圓直徑為，由于SA底面ABC，所以，ABC外接圓圓心的垂線與線段SA中垂面的交點(diǎn)為該三棱錐的外接球的球心，所以外接球的半徑，因此，三棱錐SABC的外接球的表面積為4R2421故選：C【點(diǎn)睛】本題考查球體表面積的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置，考查計(jì)算能力，屬于中等題11.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與圓相切，與的左、右兩支分別交于點(diǎn)，若，則的離心率為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由雙曲線的定義可得|AF1|2a，則|AF2|AF1|+2a4a，運(yùn)用直角三角形的余弦函數(shù)定義和余弦定理，可得a，c的方程，再由離心率公式，解方程可得所求值【詳解】解：由雙曲線的定義可得|BF1|BF2|2a，|AB|BF2|，可得|AF1|2a，則|AF2|AF1|+2a4a，cosBF1F2，化簡(jiǎn)可得c410a2c2+13a40，由e可得e410e2+130，解得e25+2，可得e，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，注意運(yùn)用直角三角形中三角函數(shù)和余弦定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題12.已知函數(shù)，則滿足恒成立的的取值個(gè)數(shù)為（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由f（x）（exa）（x+a2）0，對(duì)a分類討論，可知a0時(shí)不合題意，當(dāng)a0時(shí)， f（x）的兩個(gè)因式同正同負(fù)，則需在同一x處等0，則轉(zhuǎn)化為a2lna的根的個(gè)數(shù)求解【詳解】解：f（x）（exa）（x+a2）0，當(dāng)a0時(shí)，f（x）（exa）（x+a2）0化為exx0，則x0，與xR矛盾；當(dāng)a0時(shí)，exa0，則x+a20，得xa2，與xR矛盾；當(dāng)a0時(shí)，令f（x）0，得xlna或xa2，要使f（x）0恒成立，則a2lna，作出函數(shù)g（a）a2與h（a）lna的圖象如圖：由圖可知，a的取值個(gè)數(shù)為1個(gè)故選：B【點(diǎn)睛】本題考查恒成立問題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想，是中檔題二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題紙上13.的展開式中x2的系數(shù)為_.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】試題分析：展開式通項(xiàng)為，令，所以的故答案為考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理14.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為_【答案】4【解析】【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，由z2x-y可得y2x-z，則z表示直線y2x-z在y軸上截距的相反數(shù)，縱截距越小，z越大，結(jié)合圖象即可求解z的最大值【詳解】解：作出實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件表示的平面區(qū)域， 由z2x-y可得y2x-z，則z表示直線y2x-z在y軸上截距的相反數(shù)，縱截距越大，z越小，作直線2x-y0，然后把該直線向可行域平移，當(dāng)直線經(jīng)過F（2,0）時(shí)，z最大，代入z=2x-y=4故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃知識(shí)的應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)中z的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.15.拋物線上的點(diǎn)到的距離與到其準(zhǔn)線距離之和的最小值是_.【答案】【解析】【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)定義把p到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為p到焦點(diǎn)的距離，再由拋物線的定義可得d|PF|+|PA|AF|，再求出|AF|的值【詳解】解： 拋物線y24x，F(xiàn)（1，0），如圖：設(shè)p在準(zhǔn)線上的射影A，依拋物線的定義知P到該拋物線準(zhǔn)線的距離為|PA|PF|，則點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和d|PF|+|PA|AF|故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義的轉(zhuǎn)化，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.16.已知銳角的外接圓的半徑為1，則的面積的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】由已知利用正弦定理可以得到b2sinB，c2sin（B），利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求SABCsin（2B）+，由銳角三角形求B的范圍，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解【詳解】解：銳角ABC的外接圓的半徑為1，A，由正弦定理可得：，可得：b2sinB，c2sin（B），SABCbcsinA2sinB2sin（B）sinB（cosB+sinB）sin（2B）+，B，C為銳角，可得：B，2B，可得：sin（2B）（，1，SABCsin（2B）+（1，故答案為：（1，【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(一)必考題：共60分17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義，即可得證；（2）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算求和【詳解】解：（1）證明：數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足2an2+Sn，可得2a12+S12+a1，解得a12，a24；n2時(shí)，2an12+Sn1，又2an2+Sn，相減可得2an2an12+Sn2Sn1an，即an2an1，檢驗(yàn)a22a1，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2、公比均為2的等比數(shù)列；（2）由（1）可得an2n，bnlog2a2n+1log222n+12n+1，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn（3+2n+1）nn2+2n【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的遞推式，考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題18.為了解一款電冰箱的使用時(shí)間和市民對(duì)這款電冰箱的購(gòu)買意愿，研究人員對(duì)該款電冰箱進(jìn)行了相應(yīng)的抽樣調(diào)查，得到數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖表如下：購(gòu)買意愿市民年齡不愿意購(gòu)買該款電冰箱愿意購(gòu)買該款電冰箱總計(jì)40歲以上60080040歲以下400總計(jì)800（1）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，估計(jì)該款電冰箱使用時(shí)間的中位數(shù)；（2）完善表中數(shù)據(jù)，并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為“愿意購(gòu)買該款電冰箱“與“市民年齡”有關(guān)；（3）用頻率估計(jì)概率，若在該電冰箱的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取3臺(tái)，記其中使用時(shí)間不低于4年的電冰箱的臺(tái)數(shù)為，求的期望附：【答案】（1）；（2）有；（3）.【解析】【分析】（1）依題意，該款電冰箱使用時(shí)間在區(qū)間0，4）的頻率為0.20，在區(qū)間4，8）內(nèi)的頻率為0.36可得該款電冰箱使用時(shí)間的中位數(shù)在區(qū)間4，8內(nèi)，根據(jù)條形圖計(jì)算中位數(shù)的方法求解（2）依題意，完善表中的數(shù)據(jù)，然后利用獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算公式可得K2，進(jìn)而得出結(jié)論（3）使用時(shí)間不低于4年的頻率電冰箱的臺(tái)數(shù)為XB（3，），則可得出期望【詳解】解：（1）依題意，該款電冰箱使用時(shí)間在區(qū)間0，4）的頻率為0.0540.20，在區(qū)間4，8）內(nèi)的頻率0.0940.36該款電冰箱使用時(shí)間的中位數(shù)0.054+0.09（x4）0.5，解得x（2）依題意，完善表中的數(shù)據(jù)如下所示：愿意購(gòu)買該款電視機(jī)不愿意購(gòu)買該款電視機(jī)總計(jì)40歲以上60020080040歲以下200400600總計(jì)8006001400故K2243.0610.828；故有99.9%的把握認(rèn)為“愿意購(gòu)買該款電視機(jī)”與“市民的年齡”有關(guān)（3）使用時(shí)間不低于4年的頻率140.05電冰箱的臺(tái)數(shù)為XB（3，），X的期望E（X）3【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布列的計(jì)算公式及其期望、獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算公式及其原理、頻率分布直方圖的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題19.如圖，三棱錐中，.（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)BO，DO，推導(dǎo)出ACDO，ACBO，從而AC平面BOD，由此能證明BDAC（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，利用向量法能求出直線BC與平面ABD所成角的正弦值【詳解】證明：（1）取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)BO，DO，ABBCCDDA，ABC，ADC均為等腰三角形，ACDO，ACBO，DOBOO，AC平面BOD，BD平面BOD，BDAC解：（2）CAAB，ABBCCDDA，ODOB，OD2+OB2BD2，DOB是二面角DACB的平面角，平面DAC平面BAC，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)A（0，1，0），則C（0，1，0），B（，0，0），D（0，0，），（，1，0）， ，（0，1，），設(shè)平面ABD的法向量（x，y，z），則，取x1，得（1，1），設(shè)直線BC與平面ABD所成角為則直線BC與平面ABD所成角的正弦值為：sin.【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題20.已知橢圓，點(diǎn)，中恰有三點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由原點(diǎn)向圓引兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)，若直線的斜率存在，并記為，試問的面積是否為定值？若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說明理由【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性可知橢圓C經(jīng)過P3，P4兩點(diǎn)，則圖象不經(jīng)過點(diǎn)P1，故P2在橢圓上，代入點(diǎn)坐標(biāo)可求出橢圓方程;（2）由直線OP：yk1x，OQ：yk2x與圓M相切，運(yùn)用圓心到直線的距離為半徑，即可得到k1，k2為方程（x022）k22x0y0k+y0220的兩個(gè)不等的實(shí)根，運(yùn)用韋達(dá)定理和點(diǎn)M在橢圓上，滿足橢圓方程，化簡(jiǎn)即可得到k1k2，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），表示出OPQ的面積S|x1x2|k1k2|，代值計(jì)算即可求出.【詳解】解：（1）由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故由題設(shè)可知C經(jīng)過P3，P4兩點(diǎn)，則圖象不經(jīng)過點(diǎn)P1，故P2在橢圓上，b，解得a26，b23，故橢圓C的方程為.（2）直線OP：yk1x，OQ：yk2x，與圓M相切，由直線和圓相切的條件：dr，可得，即有（x022）k122x0y0k1+y0220，同理：直線OQ：yk2x與圓M相切，可得（x022）k222x0y0k2+y0220，即k1，k2為方程（x022）k22x0y0k+y0220的兩個(gè)不等的實(shí)根，可得k1k2，點(diǎn)R（x0，y0）在橢圓C上，k1k2，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），|OP|x1|點(diǎn)Q到直線OP的距離d，|x1|，|x2|，OPQ的面積S|x1x2|k1k2| ，【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于難題21.已知函數(shù)（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與軸正半軸有公共點(diǎn)，求的取值范圍；（2）求證：時(shí)，【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率和切點(diǎn)，以及切線方程，可令y0，求得橫坐標(biāo)x，由題意可得x0，解不等式可得所求范圍；（2）求得f（x）ex+a設(shè)g（x）f（x）ex+a判斷g（x）遞減，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得g（x）存在零點(diǎn)x0，求得f（x）f（x0），求得a，結(jié)合分析法和不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，即可得證【詳解】解：（1）函數(shù)f（x）lnxex+a的導(dǎo)數(shù)為f（x）ex+a曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線斜率為1e1+a，切點(diǎn)為（1，e1+a），可得切線方程為y+e1+a（1e1+a）（x1），可令y0可得x，由題意可得0，可得e1+a1，解得a1；（2）證明：f（x）ex+a設(shè)g（x）f（x）ex+a可得g（x）（+ex+a），當(dāng)x0時(shí)，g（x）0，g（x）遞減；由a1，ex+aex若ex，g（x）ex0，當(dāng)0x1時(shí)，ex+ae1+a若e1+a，即xe1a，故當(dāng)0xe1a時(shí)，g（x）0，即g（x）f（x）有零點(diǎn)x0，當(dāng)0xx0時(shí)，f（x）0，f（x）遞增；當(dāng)xx0時(shí)，f（x）0，f（x）遞減，可得f（x）f（x0），又f（x0）lnx0ex0+a，又ex0+a，可得f（x0）lnx0，在x00遞增，又alnx0（lnx0+x0），a1（lnx0+x0）1（ln+），所以lnx0+x0ln+，由于lnx0+x0遞增，可得0x0，故f（x）f（x0）f（）1e【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)性、極值和最值，考查分類討論和構(gòu)造函數(shù)法，考查函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，考查變形能力和推理能力，屬于難題(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線