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赤峰二中2016級(jí)高三年級(jí)第三次月考數(shù)學(xué)試題(理科)第卷(共60分)一、選擇題: 本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,B=,則( )A. B. C. D. 2.若,則“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限”是“”的( )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件3.為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此進(jìn)行了5次試驗(yàn),得到5組數(shù)據(jù):,.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知,由最小二乘法求得回歸直線方程為,則的值為( )A. 75 B. 155.4 C. 375 D. 466.24.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“某賈人擅營(yíng),月入益功疾(注:從第2月開始,每月比前一月多入相同量的銅錢),3月入25貫,全年(按12個(gè)月計(jì))共入510貫”,則該人12月營(yíng)收貫數(shù)為( )A. 35 B. 65 C. 70 D. 605.已知實(shí)數(shù)滿足,則的最大值為( )A. B. C.2 D.46.若雙曲線的一條漸近線方程為,則的值為( )A. B. C. D. 7.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線斜率的最小值是( )A.1 B. C.2 D. 8.如圖是邊長(zhǎng)為1的正方體,是高為1的正四棱錐,若點(diǎn),在同一個(gè)球面上,則該球的表面積為( )A. B. C. D. 9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,則輸出的值為( )A. B.0 C. D. 10.已知中,P為線段AC上任意一點(diǎn),則的范圍是( )A. 1,4 B. 0,4 C. 2,4 D. 11.已知,是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為,則,的關(guān)系為( )A. B. C. D. 12.已知定義在上的函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí), ,其中,若方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍為( )A. B. C. D. 第卷(共90分)2、 填空題(每題5分,滿分20分,將答案填在答題紙上)13.已知展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的和為243,則該展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為_14.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體最長(zhǎng)邊長(zhǎng)是 15.拋物線 ( )的焦點(diǎn)為 ,已知點(diǎn) , 為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足 .過(guò)弦 的中點(diǎn) 作拋物線準(zhǔn)線的垂線 ,垂足為 ,則 的最大值為_16.已知數(shù)列滿足:,記為的前項(xiàng)和,則_3、 解答題 (本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)17.己知分別為三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且(1)求角A的大??;(2)若b+c=5,且的面積為,求a的值18.為推動(dòng)實(shí)施健康中國(guó)戰(zhàn)略,樹立國(guó)家大衛(wèi)生、大健康概念,手機(jī)APP也推出了多款健康運(yùn)動(dòng)軟件,如“微信運(yùn)動(dòng)”,楊老師的微信朋友圈內(nèi)有600位好友參與了“微信運(yùn)動(dòng)”,他隨機(jī)選取了40位微信好友(女20人,男20人),統(tǒng)計(jì)其在某一天的走路步數(shù),其中,女性好友的走路步數(shù)數(shù)據(jù)記錄如下:5860852073266798732584303216745311754986087536450729048501022397637988917664215980男性好友走路的步數(shù)情況可分為五個(gè)類別:(說(shuō)明:“”表示大于等于0,小于等于2000,下同),且,三種類別人數(shù)比例為,將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如圖所示的條形圖,若某人一天的走路步數(shù)超過(guò)8000步被系統(tǒng)認(rèn)定為“衛(wèi)健型”,否則被系統(tǒng)認(rèn)定為“進(jìn)步型”.(1)若以楊老師選取的好友當(dāng)天行走步數(shù)的頻率分布來(lái)估計(jì)所有微信好友每日走路步數(shù)的概率分布,請(qǐng)估計(jì)楊老師的微信好友圈里參與“微信運(yùn)動(dòng)”的600名好友中,每天走路步數(shù)在500110000步的人數(shù);(2)請(qǐng)根據(jù)選取的樣本數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表并據(jù)此判斷能否有95%以上的把握認(rèn)定“類型”與“性別”有關(guān)?衛(wèi)健型進(jìn)步型總計(jì)男20女20總計(jì)40(3)若按系統(tǒng)認(rèn)定類型從選取的樣本數(shù)據(jù)中在男性好友中按比例選取10人,再?gòu)闹腥我膺x取3人,記選到“衛(wèi)健型”的人數(shù)為,女性好友中按比例選取5人,再?gòu)闹腥我膺x取2人,記選到“衛(wèi)健型”的人數(shù)為,求事件“”的概率.附:,19.如圖1,在正方形中,是的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且.若將, 分別沿折起,使兩點(diǎn)重合于點(diǎn),如圖2. (1)求證: 平面; (2)求直線與平面所成角的正弦值20.已知橢圓:()的短軸長(zhǎng)為2,且橢圓的頂點(diǎn)在圓:上.()求橢圓的方程;()過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)作互相垂直的兩條弦、,求的最小值.21.已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)若的單調(diào)性;(2)若,函數(shù)內(nèi)存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分.22.在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù),).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線的極坐標(biāo)方程為.(1)設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)時(shí),求點(diǎn)到直線的距離的最大值;(2)若曲線上所有的點(diǎn)均在直線的右下方,求的取值范圍.23.已知定義在上的函數(shù) ,且恒成立.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)若,求證:.赤峰二中2016級(jí)高三年級(jí)第三次月考數(shù)學(xué)試題(理科)參考答案1.A 2.C 3.C 4.C 5.B 6.A 7.B 8.D 9.B 10.D 11.C 12.B13.20 14. 15.1 16.44017.()由正弦定理得,即,()由:可得,由余弦定理得:,.18.(1)在樣本數(shù)據(jù)中,男性好友類別設(shè)為人,則由題意可知,可知,故類別有2人,類別有6人,類別有8人,走路步數(shù)在500110000步的包括,兩類別共計(jì)9人;女性好友走路步數(shù)在500110001步共有16人.用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)所有微信好友每日走路頻數(shù)的概率分布,則:人.(2)根據(jù)題意選取的40個(gè)樣本數(shù)據(jù)的列聯(lián)表為:衛(wèi)健型進(jìn)步型總計(jì)男14620女81220總計(jì)221840得:,故沒有95%以上的把握認(rèn)為“認(rèn)定類型”與“性別”有關(guān).(3)在男性好友中“衛(wèi)健型”與“進(jìn)步型”的比例為,則選取10人,恰好選取“衛(wèi)健型”7人,“進(jìn)步型”3人;在女性好友中“衛(wèi)健型”與“進(jìn)步型”的比例為,選取5人,恰好選取“衛(wèi)健型”2人,“進(jìn)步型”3人;“”包含“,”,“,”,“,”,“,”,,,故.19.(1)證明:設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4,由圖1知, , , ,即由題意知,在圖2中,,平面,平面,且,平面,平面,.又平面,平面,且,平面(2)解:由(1)知平面,則建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,過(guò)點(diǎn)作,垂足為,在中,, ,從而,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,.設(shè)直線與平面所成角為,則, .直線與平面所成角的正弦值為20.()由題意可得,所以.橢圓的頂點(diǎn)在圓:上,所以.故橢圓的方程為.()當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí),.當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí),設(shè)直線的方程為,由得,設(shè),由根與系數(shù)的關(guān)系,得,所以,同理可得,所以 .令,則, ,而,所以 ,綜上, ,故的最小值為.21. (I)定義域?yàn)楣蕜t(1)若,則在上單調(diào)遞減;(2)若,令.當(dāng)時(shí),則,因此在上恒有,即在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),因而在上有,在上有;因此在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.綜上,(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;(2)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增()設(shè),,設(shè),則(1)若,在單調(diào)遞減,故此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn),不合題意.(2)若,當(dāng)時(shí),由(1)知對(duì)任意恒成立,故,對(duì)任意恒成立,當(dāng)時(shí),,因此當(dāng)時(shí)必有零點(diǎn),記第一個(gè)零點(diǎn)為,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,.由可知,當(dāng)時(shí),必存在零點(diǎn).(2)當(dāng),考察函數(shù),由于在上必存在零點(diǎn).設(shè)在的第一個(gè)零點(diǎn)為,則當(dāng)時(shí),故在上為減函數(shù),又,所以當(dāng)時(shí),從而在上單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí)恒有.即,令,則在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.即注意到,因此,令時(shí),則有,由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)在上有零點(diǎn),符合題意.綜上可
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