湖北宜昌第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)期中理

湖北省宜昌市第二中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1. 設(shè)集合,則等于()A. B. RC. D. 【答案】D【解析】【分析】本題考查了求函數(shù)的定義域和值域的應(yīng)用問題,也考查了并集的運(yùn)算問題,屬于基礎(chǔ)題求定義域得集合A,求值域得集合B,根據(jù)并集的定義寫出【解答】解：集合,則故選D2. 已知其中i為虛數(shù)單位,則的虛部為()A. B. C. 1D. 2【答案】B【解析】解：,則的虛部為故選：B直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題3. 設(shè),則p是q成立的 A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】本題考查充分必要條件的判斷,同時(shí)考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合充分必要條件的定義,即可判斷【解答】解：由可得,則由p推得q成立；若可得,推不出,由充分必要條件的定義可得p是q成立的充分不必要條件故選A4. 現(xiàn)行普通高中學(xué)生在高一升高二時(shí)面臨著選文理科的問題,學(xué)校抽取了部分男、女學(xué)生意愿的一份樣本,制作出如圖兩個(gè)等高堆積條形圖,根據(jù)這兩幅圖中的信息,下列哪個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論是不正確的 A. 樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量B. 樣本中有理科意愿的學(xué)生數(shù)量多于有文科意愿的學(xué)生數(shù)量C. 樣本中的男生偏愛理科D. 樣本中的女生偏愛文科【答案】D【解析】【分析】本題考查等高堆積條形圖,考查學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí),比較基礎(chǔ)根據(jù)這兩幅圖中的信息,即可得出結(jié)論【解答】解：由圖1知,樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量；由圖2知,樣本中有理科意愿的學(xué)生數(shù)量多于有文科意愿的學(xué)生數(shù)量,樣本中的男生偏愛理科；女生選理科的人數(shù)略多于選文科的人數(shù)故A,B,C,正確,D錯(cuò)誤故選：D5. 已知,則()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本題考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,增函數(shù)和減函數(shù)的定義,屬基礎(chǔ)題由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性易得,從而得出a,b,c的大小關(guān)系【解答】解：,故選B6. 已知,則的值為()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本題主要考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值,解題時(shí)注意角度的范圍及角度的變換,屬于中檔題由和的范圍分別求出和的范圍,然后由和的值,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出和的值,把所求的式子中的角變?yōu)?利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后,將各自的值代入即可求出值【解答】解：,又,故選B7. 設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則()A. 18B. 16C. 14D. 12【答案】B【解析】解：因?yàn)?所以,又,所以公差,所以故選：B由,又,所以公差,即可求出本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題8. 已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則的最小值是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用,根據(jù)條件建立坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題根據(jù)條件建立坐標(biāo)系,求出點(diǎn)的坐標(biāo),利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可【解答】解：以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的坐標(biāo)系,則,設(shè),則,則,當(dāng),時(shí),取得最小值,故選B9. 設(shè)函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于對(duì)稱,且,則()A. B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】解：與的圖象關(guān)于對(duì)稱的圖象是的反函數(shù), , 即,函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于對(duì)稱, , , , 解得, 故選：C先求出與的反函數(shù)的解析式,再由題意的圖象與的反函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,繼而求出函數(shù)的解析式,問題得以解決本題考查反函數(shù)的概念、互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的關(guān)系、求反函數(shù)的方法等相關(guān)知識(shí)和方法,屬于基礎(chǔ)題10. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A,F分別為橢圓的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn),過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),線段AP的中點(diǎn)為M,若Q,F,M三點(diǎn)共線,則橢圓C的離心率為()A. B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題設(shè),則,則根據(jù)Q,F,M三點(diǎn)共線,可得,利用斜率計(jì)算公式即可得出【解答】解：設(shè),則,則,F,M三點(diǎn)共線,化為：,故選：A11. 過原點(diǎn)O作直線的垂線,垂足為P,則P到直線的距離的最大值為 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本題考查了直線過定點(diǎn)問題,考查了圓的方程,點(diǎn)到直線的距離公式,屬于基礎(chǔ)題整理直線方程,找到直線過的定點(diǎn),則點(diǎn)P在以O(shè)Q為直徑的圓上,將P到直線的距離的最大值轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離處理即可【解答】解：整理得,由題意得,解得,所以直線l過定點(diǎn)因?yàn)?所以點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)Q為直徑的圓,圓心為,半徑為1,因?yàn)閳A心到直線的距離為,所以P到直線的距離的最大值為故選：A12. 設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí),則使得成立的x的取值范圍是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,以及不等式的解法,關(guān)鍵是分析與的解集根據(jù)題意,設(shè),對(duì)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為減函數(shù),分析的特殊值,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得在區(qū)間和上,都有,結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得在區(qū)間和上,都有,進(jìn)而將不等式變形轉(zhuǎn)化,可解得x的取值范圍,即可得答案【解答】解：根據(jù)題意,設(shè),其導(dǎo)數(shù),又由當(dāng)時(shí),即,則有,即函數(shù)在上為減函數(shù),又由,則在區(qū)間上,又由,則,在區(qū)間上,又由,則,則在和上,而時(shí),故也可小于0,又由為奇函數(shù),則在區(qū)間和上,都有,或,解可得：或,則x的取值范圍是故選D二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13. 函數(shù)的定義域是_【答案】【解析】【分析】本題考查正切函數(shù)的定義域及運(yùn)用,考查基本的運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題由的定義域?yàn)?令,解出即可得到定義域【解答】解：由的定義域?yàn)?令,則,則定義域?yàn)?故答案為：14. 等比數(shù)列中各項(xiàng)均為正數(shù),是其前n項(xiàng)和,且滿足,則_【答案】30【解析】【分析】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q,解得則故答案為：3015. 直線與曲線圍成的封閉區(qū)域面積為_【答案】【解析】解：聯(lián)立方程組,解得或,故答案為聯(lián)立方程組求出兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)定積分的幾何意義求出面積本題考查了定積分的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題16. 已知函數(shù)若方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則的最大值是_【答案】【解析】解：函數(shù)的圖象如下：當(dāng)方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,時(shí),則有,其中則令,可得在遞增,在遞減的最大值是的最大值是故答案為：當(dāng)方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,時(shí),則有,其中則令,利用導(dǎo)數(shù)求解本題考查了函數(shù)零點(diǎn)及計(jì)算能力,考查了數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）17. 在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,求A的大??；若,求的面積【答案】解：,由正弦定理可得：,解得：,可得：,由正弦定理,可得：,【解析】由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得,可得,進(jìn)而可求,從而可得A的值利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值,利用正弦定理可得b,根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得解本題主要考查了正弦定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題18. 如圖,在直四棱柱中,底面ABCD是矩形,與交于點(diǎn)E,證明：平面ECD求直線與平面EAC所成角的正弦值【答案】證明：因?yàn)樗睦庵侵彼睦庵?所以平面ABCD,則又,所以平面,所以因?yàn)?所以是正方形,所以又,所以平面ECD解：建立如圖所示的坐標(biāo)系,與交于點(diǎn)E,0,0,4,4,所以2,4,設(shè)平面EAC的法向量為y,可得,即,不妨1,直線與平面EAC所成角的正弦值：【解析】證明,推出平面,得到證明即可證明平面ECD建立坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解直線與平面EAC所成角的正弦值本題考查直線與平面所成角的求法,直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用；19. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】解： ,因此當(dāng)時(shí),滿足上式,所以,累加得,又上式對(duì)于也成立,因?yàn)?得【解析】本題考查了數(shù)列的求和,數(shù)列的遞推關(guān)系和錯(cuò)位相減法,屬較難題本小題考查由數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用數(shù)列的求和中與關(guān)系計(jì)算得結(jié)論,注意驗(yàn)證時(shí)的情況本小題考查利用數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式,結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系的特點(diǎn),可以用累加法計(jì)算得結(jié)論本小題考查數(shù)列求和,根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)可以利用錯(cuò)位相減法計(jì)算得結(jié)論20. 已知橢圓上的點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最大值是最小值的3倍,且點(diǎn)在橢圓E上求橢圓E的方程；過點(diǎn)任作一條直線l,l與橢圓E交于不同于P點(diǎn)的A、B兩點(diǎn),l與直線m：交于C點(diǎn),記直線PA、PB、PC的斜率分別為、試探究與的關(guān)系,并證明你的結(jié)論【答案】解：因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最大值和最小值分別為,所以依題意有：,故可設(shè)橢圓E的方程為：,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓E上,所以將其代入橢圓E的方程得橢圓E的方程為依題意,直線l不可能與x軸垂直,故可設(shè)直線l的方程為：即,為l與橢圓E的兩個(gè)交點(diǎn)將代入方程化簡(jiǎn)得：所以,又由,解得,即C點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以因此,與的關(guān)系為：【解析】建立方程求出a,b的值；通過聯(lián)立方程組,根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系,找到的表達(dá)式,再建立方程求出C的坐標(biāo),找到的表達(dá)式,從而確定其關(guān)系本題主要考查橢圓性質(zhì)、方程以及直線與橢圓之間的關(guān)系,屬于較難題目21. 已知函數(shù)求曲線在處的切線方程；函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn),求k的值；若不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x恒成立,求正整數(shù)m的取值集合【答案】解：,切線斜率為,又,切點(diǎn)為,切線方程為；令,得,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí), 0/,函數(shù)單調(diào)遞增,所以的極小值為,又,在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn),此時(shí)；,在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn),此時(shí)綜上,k的值為0或3；當(dāng)時(shí),不等式為顯然恒成立,此時(shí)；當(dāng)時(shí),不等式可化為,令,則,由可知,函數(shù)在上單調(diào)遞減,且存在一個(gè)零點(diǎn),此時(shí),即,當(dāng)時(shí),即 0/,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),即,函數(shù)單調(diào)遞減有極大值即最大值為,于是當(dāng)時(shí),不等式可化為,由可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,且存在一個(gè)零點(diǎn),同理可得綜上可知又,正整數(shù)m的取值集合為2,【解析】求出原函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),得到切線斜率,再求出切點(diǎn)坐標(biāo),利用直線方程點(diǎn)斜式得答案；利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定得到原函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間,則k值可求；當(dāng)時(shí),對(duì)于任意,不等式恒成立；當(dāng)時(shí),不等式化為,令,由可知,函數(shù)在上單調(diào)遞減,且存在一個(gè)零點(diǎn),得到有極大值即最大值為,于是當(dāng)時(shí),不等式化為,由可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,且存在一個(gè)零點(diǎn),得則結(jié)合,可得正整數(shù)m的取值集合為2,本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)零點(diǎn)的判定,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬難題22. 已知曲線：為參數(shù),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為寫出曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程若過點(diǎn)的直線l與曲線交于點(diǎn)A、B,與曲線交于點(diǎn)C、D,求的取值范圍【答案】曲線：為參數(shù),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為曲線的極坐標(biāo)方程為轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為設(shè)l的參數(shù)方程：代入,得,l的參數(shù)方程：代入得,的取值范圍為【解析】直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換利用直線和曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用,利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式和三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換,三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,一元二