高中數(shù)學抽象函數(shù)常見題型及解法教案

抽象函數(shù)的一般問題類型及解法綜述抽象函數(shù)是沒有給出函數(shù)的具體解析表達式，而給出表達函數(shù)特征的表達式的一種函數(shù)。 由于抽象函數(shù)表示形式的抽象性，這類問題是函數(shù)內(nèi)容的難點之一，其性質(zhì)常常隱而不漏，但一般以學到的常見函數(shù)為背景，常用代數(shù)表示給出函數(shù)的性質(zhì)。 抽象函數(shù)的相關主題是在知識網(wǎng)絡的交叉點設計的大學入學考試對抽象函數(shù)的要求是調(diào)查函數(shù)概念和知識內(nèi)涵和外延的把握情況、邏輯推理能力、抽象思維能力和數(shù)學后續(xù)學習的可能性。 為了擴大讀者的視野，特別對抽象函數(shù)的常見問題類型和解法進行如下評價。一、函數(shù)的基本概念問題1 .抽象函數(shù)的定義域問題例1已知函數(shù)的定義域是 1，2 ，求出的定義域解：由于定義域為 1，2 ，為1x2，因此為1x4即函數(shù)的定義域為 1，4 評價：一般來說，已知函數(shù)的定義域是a，求出的定義域問題相當于將已知的x取值的范圍設為a，由此求出的值域問題對于已知函數(shù)的定義域是-1，2 ，獲得該函數(shù)的定義域解：由此得出的自由定義域是-1，2 ，意味著所有受影響的對象都在-1，2 - 1log (3- x )2 ()3-x() 1x) .函數(shù)的定義域為1，。評價：這樣問題的一般形式是，已知的函數(shù)的定義域為a，求出函數(shù)的定義域.正確理解函數(shù)符號及其定義域的含義是解決這樣的問題的關鍵如果有意義，則需要xA .這樣問題實質(zhì)上已知的值域為a，基于此求出x的取值的范圍.2 .抽象函數(shù)的值域問題例4將函數(shù)(x )定義為實數(shù)集，對于任意實數(shù)x、y，求出函數(shù)(x )的值域，以使(x y)=(x)(y )始終成立且xx .解：如果x=y=0，則(0)=(0)，即(0)=0或(0)=1.(0)=0，(x)=(x 0)=(x)(0)=0，對于任意xR成立，存在實數(shù)xx，與(xx成立不矛盾.(x y)=(x)(y )對于任意x，yR都成立，因此對于任意xR都有(x)=()=()=()0。以下，對于任意xR，僅證明(0)0即可.如果存在xR使得(x)=0，則(0)=(x-x)=(x)(-x)=0這與(0)0不矛盾，因此對于任意xR，其為(x)0 .所以(x)0評價：處理抽象函數(shù)問題時，常常需要對某個變量進行恰當?shù)拇?，這通常是特殊變換所必需的手段3 .抽象函數(shù)的解析表達式問題在例5中，對于滿足x0、x1全部實數(shù)x，設函數(shù)(x )滿足(x) ()=1 x，求出(x )的解析式.解： (x) ()=1 x，用(1)替換x，如下所示() (-=，)在(1)中用-替換x，(-) (x)=，(1)-(2)簡化： (x)=評價：如果把x和各自看作兩個變量，那么如何實現(xiàn)從兩個變量向一個變量的轉(zhuǎn)換是一個問題點。 通常，適當?shù)胤峙浣o若干變量，使其在關系中“消失”，并且保留一個變量是實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)換的重要策略二、尋找特殊函數(shù)模型問題1 .指數(shù)函數(shù)模型例6定義為實數(shù)集r，x0時為 1，對于任意實數(shù)x、y，為(x y)=、同時(1)=2、不等式(3x-x)4.聯(lián)想：由于a=aa(a0，a1 )，因此可以推測其模型函數(shù)為=a(a0，a1 ) (1)=2，進而推測為=2.思考分析：=4，求解不等式化是(3x-x ) .這樣，證明函數(shù)(由=2，僅證明單調(diào)增加)成為解決問題的突破口.解：取x=y=0為(x y)=(x) (y )，得到(0)=(0)(0)=0、x0、y=0時，與(x)=0、x1相矛盾x0時，(x)10，x0、(-x)10(x) (-x)=(0)=1x=0。另外，在x=0的情況下，(0)=10、xR、(x)0。當-xx0、(x-x)1.( (x)= x (x-x)=(x)(x-x)(x )y=(x)r中為增加函數(shù)另外，(1)=2，222222444錚錚錚錚6533x-x2、1x2.2 .對數(shù)函數(shù)模型例7已知函數(shù)的滿意度：()=1； 函數(shù)的值域為-1，1 ； 在該定義域中單調(diào)減少=(xy )對于任意正的實數(shù)x、y成立。由于Lenovo:log(xy)=logx logy、log=1、y=logx是在其定義域-1，1 內(nèi)減去函數(shù)，因此推測該模型函數(shù)為=logx且模型函數(shù)為=() .思維方式分析：條件中已知的逆函數(shù)存在，在定義域-1，1 中減少，只要用模型函數(shù)的性質(zhì)和算法證明其馀的，問題就可以解決解：從已知的條件可以看出，存在(x )的逆函數(shù)，在(1)=，并且定義域-1，1 中單調(diào)減少。若設y=(x )，y=(x )，則x=(y )，x=(y )x x=(y) (y)=(yy )，即yy=(x x )。=因此，原不等式等于：x=0故原不等式的解集為0為了解決這些問題，可以通過抽象化的具體方法，即聯(lián)想、分析和類比推測，經(jīng)過具有非邏輯思維成分的推理，找到其函數(shù)模型，從這些函數(shù)模型的性質(zhì)、規(guī)律中探討這些問題的解題思路。3 .函數(shù)模型例8已知函數(shù)對于任意實數(shù)x、y=，且=1、=9，在0x1時為0-1時.判斷的奇偶校驗判斷和證明 0，的單調(diào)性a0且，求出a的可取范圍。聯(lián)想：因為它是=(xy )，所以模型函數(shù)被推測為=(由=9，另外=x )。思考分析：由于從問題設定可知是函數(shù)y=x的抽象函數(shù)，因此被認為是偶然函數(shù)，在0，時是增加函數(shù)。解：如果命令y=-1222222222222222222222222652x0的話= 0。假設0xx，則為0-1=x0時0，且0x0時，對于(x)1且任意實數(shù)x、y，求出(x y )=(x )、(y )，x )是r增加函數(shù).證明： x=y=0取自(x y)=(x)(y )，(0)=(0)=0、x0、y=0時，與(x)=0、x1相矛盾x0時，(x)10，x0、(-x)10(x ) (-x )=(0)=1，87563； (x)=0。另外，在x=0的情況下，(0)=10、xR、(x)0。當-xx0、(x-x)1.( (x)= x (x-x)=(x)(x-x)(x ) y=(x )是r上的增加函數(shù)。評估：一般而言，抽象函數(shù)滿足的關系表達式應當被視為是給定算法，并且變量的代入、變量和數(shù)值的分解以及它們的組合應當盡可能與已知表達式或給定的關系表達式以及所確定的結(jié)果相關聯(lián)2 .抽象函數(shù)的奇偶校驗問題例10已知函數(shù)(x) (xR，x0 )都具有不等于零實數(shù)x，x具有(xx)=(x) (x )，嘗試函數(shù)(x )的奇偶校驗.解：取x=-1，x=1: (-1 )=(-1 ) (1)，(1)=0。此外，取x=x=-1:(1)=(-1 ) (-1 )，(-1)=0.如果x=x，x=-1，則(-x)=(-1) (x )即(-x)=(x )其中x是非零函數(shù)，222222222222222222222223 .抽象函數(shù)的周期性問題例11函數(shù)定義域是整體實數(shù)，對于任意的實數(shù)a、b，存在(a b) (a-b)=2(a) (b )，由于存在C0，因此變?yōu)?0，求證(x )成為周期函數(shù).聯(lián)想：由于cos(a b) cos(a-b)=2Cosacosb，cos=0，因此其模型函數(shù)為y=cosx，根據(jù)y=cosx的周期，預計2c為一個周期思考分析：如果證明2C是一個周期，則從證明=、已知條件=0和(a b) (a-b)=2(a) (b )得知，必須選擇a、b的值的是條件式的出現(xiàn)和證明：假設a=x，b=，代入(a b) (a-b)=2(a) (b )(x C )=-(x )(x 2C )=(x C) C =-(x C )=(x )是以2C為周期函數(shù).評價：如果不將馀弦函數(shù)作為模型，很難認為是2C求出的函數(shù)的周期。 解題的想法很難。 由此可知，求出和構建適當?shù)哪Ｐ秃瘮?shù)，為了思考和解題的方向性，是處理開放型問題的重要戰(zhàn)略。4 .抽象函數(shù)的對稱性問題例12已知函數(shù)y=是滿足=2002而求出的值.解：在式=2b中，由于a=0，b=2002，所以函數(shù)y=關于點(0，2002 )對稱，根據(jù)原函數(shù)與其逆函數(shù)關系，可知函數(shù)y=關于點(2002，0 )對稱.=0如果將上式中的x置換為x-1001，則=0評價：這是同一函數(shù)圖像關于點對中心對稱問題，在解題中使用如下命題：將a、b全部設為常數(shù)，函數(shù)y=相對于全部實數(shù)x滿足=2b時，函數(shù)y=的圖像關于點(a、b )成為中心對稱的圖形.四、抽象函數(shù)中的網(wǎng)絡綜合問題對于任何實數(shù)m，n，且當x0時，實例13r中所界定的函數(shù)滿足0、B=(x，y)|=1，aR，試著嘗試AB=、a可能的范圍。解： (1)中，m=1，n=0，得=，0，因此設為=1。當m=x，n=-x時x0時，為01x 0，0 10。另外，在x=0情況