“隱形圓”與圓有關(guān)問題

與圓有關(guān)問題第一講 “形”現(xiàn)“圓”形問題 如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，ABBC2，點P為等腰直角三角形ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足PAPB，則PC的取值范圍是_ ABCP圓是高中數(shù)學中一種簡單但又非常重要的曲線，近幾年高考題和高考模擬題中，經(jīng)常會出現(xiàn)一類有關(guān)圓的題目，這類題目在條件中沒有直接給出有關(guān)圓方面的信息，而是以隱性的形式出現(xiàn)，但我們通過分析和轉(zhuǎn)化，最終都可以利用圓的知識求解這類題目構(gòu)思巧妙，綜合性強,，充分考查了學生的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化和化歸等數(shù)學思想方法，處理這類題目關(guān)鍵在于能否把隱形圓找出來 圓作為幾何圖形，找“隱形圓”的一個角度可以從“形”的角度來發(fā)現(xiàn)策略一 由圓的定義（到定點的距離等于定長的點的軌跡）確定隱形圓例1（1）如果圓(x2a)2(ya3)24上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數(shù)a的取值范圍是_ （2）（2016年南京二模）已知圓O：x2y21，圓M：(xa)2(ya4)21若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得APB60，則a的取值范圍為_ （3）（2017年蘇北四市一模）已知是圓上的動點，是圓上的動點，則的取值范圍是_ （4）若對任意aR，直線l：xcosaysina2sin(a)4與圓C：(xm)2(ym)21均無公共點，則實數(shù)m的取值范圍是_ （5）（2016年南通三模）在平面直角坐標系中，圓，圓，若圓上存在點滿足：過點向圓作兩條切線PA、PB，切點為A、B，的面積為1，則正數(shù)的取值范圍是_策略二 由動點P對兩定點A、B張角是（，或0）確定隱形圓例2 （1）已知圓C：和兩點，若圓上存在點P，使得APB=90，則m的取值范圍是_ （2）（海安2016屆高三上期末）在平面直角坐標系xOy中，已知點P(1，0)， Q(2，1)，直線l：其中實數(shù)a，b，c 成等差數(shù)列，若點 P 在直線 l 上的射影為 H，則線段 QH 的取值范圍是_ （3）設，直線：與直線 ：交于點，則的取值范圍是_策略三 由圓周角的性質(zhì)確定隱形圓例3（1）已知分別為的三個內(nèi)角的對邊，(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC則面積的最大值為_ （2）（2017年常州一模）在ABC中，C45o，O是ABC的外心，若(m，nR)，則mn的取值范圍是_ 策略四 由四點共圓的定理來確定隱形圓（如一個四邊形的對角互補，則該四邊形四點共圓）例4設向量a，b，c滿足|a|b|1，ab，若ac與bc的夾角為60，則|c|的最大值等于 【同步練習】1.點A，B分別在x軸與y軸的正半軸上移動，且AB2，若點A從(，0)移動到(，0)，則AB中點D經(jīng)過的路程為 2已知O為坐標原點，向量，,，則與夾角的范圍為 3已知直線上存在點M滿足與兩點,連線的斜率之積為，則實數(shù)m的取值范圍是 4已知圓C：x2y21，點P(x0，y0)在直線xy20上，O為坐標原點，若圓C上存在一點Q，使得OPQ30，則x0的取值范圍是_5如圖，已知點A(1,0)與點B(1,0)，C是圓x2y21上的動點(與點A,B不重合)，連接BC并延長至D，使得|CD|BC|，則線段PD的取值范圍 第5題xOyBCAPD第二講 “數(shù)”現(xiàn)“圓”形解析幾何中，找“隱形圓”的另一個角度可以從“數(shù)”的角度（求出其方程）來發(fā)現(xiàn)策略五 直接由圓（半圓）的方程確定隱形圓例1 （1）(2016年泰州一模)已知實數(shù)a，b，c滿足，則的取值范圍為_ （2）若方程3xb有解，則b的取值范圍是 （3）已知實數(shù)x、y滿足，則x+y的最大值是_策略六 直接由圓（半圓）的參數(shù)方程確定隱形圓例2（1） 已知，則的取值范圍是_ （2）函數(shù)f(x)=() 的值域是_策略七 由兩定點A、B，動點P滿足（是常數(shù)）,求出動點P的軌跡方程確定隱形圓例3 已知圓和兩點若圓C上存在點P，使得，則m的取值范圍是_ 策略八 由兩定點A、B，動點P滿足是定值確定隱形圓例4（1）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：(xa)2(ya2)21，點A(0，2)，若圓C上存在點M，滿足MA2MO210，則實數(shù)a的取值范圍是_ （2） （2017屆鹽城三模）已知四點共面，則的最大值為 策略九 由兩定點A、B，動點P滿足確定隱形圓（阿波羅尼斯圓）例5（1）（2016年南通一模）在平面直角坐標中，已知點，若直線上存在點P使得,則實數(shù)m的取值范圍是_ （2）（2016屆常州一模）在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：x2y21，O1：(x4)2y24，動點P在直線上，過點P作圓O，O1的兩條切線，切點分別為A，B，若滿足的點P有且僅有兩個，則b的取值范圍_ （3）已知曲線的方程，存在一定點和常數(shù)，對曲線上的任意一點，都有成立，則點到直線的最大距離為_例6（2017年南通二模）一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l（一條南北方向的直線）3.8海里的A處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東30方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍假設緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行（1）若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使得用最短時間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功；（參考數(shù)據(jù)：，）（2）問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截？并說明理由領(lǐng)海AB北(例6)30公海l【同步練習】1已知圓C：(x3)2(y4)21，點A(0，1)，B(0,1)P是圓C上的動點，當|PA|2|PB|2取最大值時，點P的坐標是 2（2016年鹽城三模）已知線段AB的長為2，動點C滿足（為常數(shù)），且點C總不在以點B為圓心，為半徑的圓內(nèi)，則負數(shù)的最大值是_3（2016年蘇北四市一模）已知，點是直線上的動點，若恒成立，則最小正整數(shù)的值為 4在平面直角坐標系xOy中，M為直線x3上一動點，以M為圓心的圓記為圓M，若 圓M截x軸所得的弦長恒為4過點O作圓M的一條切線，切點為P，則點P到直線 2xy100距離的最大值為 5已知且滿足，則的取值范圍是 第三講 “隱圓”綜合 隱藏圓問題可以和很多知識點結(jié)合，在三角形、向量、圓錐曲線等背景的一些問題中看上去和圓無關(guān)，但卻隱藏著圓一、三角形中的隱形圓例1（1）（2017年南京、鹽城一模）在中，A，B，C所對的邊分別為，若，則面積的最大值為_ （2）（2008年高考江蘇卷）若，則的最大值是_ 例2 （1）在中，BC，AC1，以AB為邊作等腰直角三角形ABD (B為直角頂點，C、D兩點在直線AB的兩側(cè))當C變化時，線段CD長的最大值為 （2）在中，點D在邊BC上，且DC2BD，ABADAC3k1，則實數(shù)k的取值范圍為 二、向量中的隱形圓例3 （1）已知向量a、b、c滿足，若，則的最大值是_ （2）在平面內(nèi)，定點A，B，C，D滿足=，= -2，動點P，M滿足=1，=，則的最大值是_ 例4 已知，為非零的不共線的向量，設定義點集當、時，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為_ 例5 （2014年常州高三期末卷）在平面直角坐標系xOy中，已知圓，點P，M、N為圓O上兩個不同的點，且，若，則的最小值為_ 三、圓錐曲線中的隱形圓例6 在平面直角坐標系中，已知圓，圓均與軸相切且圓心，與原點共線，兩點的橫坐標之積為6，設圓與圓相交于，兩點，直線：，則點與直線上任意一點之間的距離的最小值為_ 例7 設橢圓E：1，是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且？ 【同步練習】1 若a，b，c均為單位向量，且ab0，(ac)(bc)0，則|abc|的最大值為