單位圓與三角函數(shù)線84024

,單位圓與三角函數(shù)線,初中銳角三角函數(shù)是如何定義的？,O,M,P,sin=,cos=,tan=,當(dāng)OP=1時(shí)，sin=MP,cos=OM,復(fù)習(xí)引入,設(shè)P（x,y)是終邊上任一點(diǎn),線段0P的長(zhǎng)度為r,復(fù)習(xí)：任意角三角函數(shù)的定義,比值叫做的正弦，記作，即,比值叫做的余弦，記作，即,比值叫做的正切，記作，即,x,角的終邊,1.設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），角的三角函數(shù)是怎樣定義的？,2.三角函數(shù)在各象限的函數(shù)值符號(hào)分別如何？,一全正，二正弦，三正切，四余弦.,3.公式，().其數(shù)學(xué)意義如何？,終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等.,4.角是一個(gè)幾何概念，同時(shí)角的大小也具有數(shù)量特征.我們從數(shù)的觀點(diǎn)定義了三角函數(shù)，如果能從圖形上找出三角函數(shù)的幾何意義，就能實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的完美統(tǒng)一.可以用何種幾何元素表示任意角三角函數(shù)值？,由三角函數(shù)的定義我們知道，對(duì)于角的各種三角函數(shù)我們都是用比值來(lái)表示的，或者說(shuō)是用數(shù)來(lái)表示的，今天我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法幾何表示法,新課講授,一、單位圓：,1、定義：一般地，我們把半徑為1的圓稱為單位圓。,2、單位圓與x軸的交點(diǎn)：?jiǎn)挝粓A與y軸的交點(diǎn)：,（1，0）和（-1，0）,（0，1）和（0，-1）,3、正射影：過(guò)P作PM垂直X軸于點(diǎn)M，PN垂直Y軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P在X軸、Y軸上的正射影,A,T,正弦線和余弦線,問題1：如圖，設(shè)角為第一象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y），則，都是正數(shù)，你能分別用一條線段表示角的正弦值和余弦值嗎？,問題2：若角為第三象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y），則，都是負(fù)數(shù)，此時(shí)角的正弦值和余弦值分別用哪條線段表示？,正弦線和余弦線,正切線,問題1：如圖，設(shè)角為第一象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y），則是正數(shù)，用哪條有向線段表示角的正切值最合適？,問題2：若角為第四象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y），則是負(fù)數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角的正切值最合適？,正切線,思考：若角為第二象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y），則是負(fù)數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角的正切值最合適？,思考：若角為第三象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為P（x，y），則是正數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角的正切值最合適？,思考：根據(jù)上述分析，你能描述正切線的幾何特征嗎？,過(guò)點(diǎn)A（1，0）作單位圓的切線，與角的終邊或其反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T，則AT=tan.,我們稱有向線段OM為角的余弦線.,根據(jù)實(shí)際需要，我們規(guī)定：OM與X軸同向時(shí)，方向?yàn)檎?，且有正值X；OM與X軸反向時(shí)，方向?yàn)樨?fù)向，且有負(fù)值X.,有向線段：帶有方向的線段.如:有向線段OM,始點(diǎn)為O點(diǎn)，終點(diǎn)為M點(diǎn)，方向?yàn)椋河蒓點(diǎn)指向M點(diǎn),這樣，對(duì)任意角,都有：,我們把向量分別叫做的余弦線、正弦線和正切線.,的終邊,T,P,M,P,M,A,T,A,(),(),(),(),例1.作出下列各角的正弦線，余弦線，正切線,（1）；（2）,例2.作出下列各角的正弦線、余弦線和正切線：（1）（2）（3）,例題,例2.比較三角函數(shù)值的大小：,例3.比較三角函數(shù)值的大?。?例4.比較大?。?1)sin1和sin1.5;(2)cos1和cos1.5;(3)tan2和tan3.,解：由三角函數(shù)線得,sin1cos1.5,探究：當(dāng)0/2時(shí)，總有sintan.,SPOAS扇形AOPSAOT,MPOA/2,OAOA/2,OAAT/2,MPAT,sintan,例5：設(shè)為銳角，試證:1.,證明：,如圖示：,=,=,為銳角,例6.利用單位圓中的三角函數(shù)線,若，試確定sin的取值范圍.,cos呢?,