中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)：相似圖形

-中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí) 相似圖形【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】一、 成比例線段： 1、線段的比：如果選用同一長(zhǎng)度的兩條線段，的長(zhǎng)度分別為m、n則這兩條線段的比就是它們 的比，即：= 2、比例線段：四條線段a、b、c、d如果= 那么四條線段叫做同比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng) 3、比例的基本性質(zhì)：= 4、平行線分線段成比例定理：將平行線截兩條直線【提醒：表示兩條線段的比時(shí)，必須使示用相同的 ，在用了相同的前提下，兩條線段的比值與用的單位無(wú)關(guān) 即比值沒(méi)有單位?！慷⑾嗨迫切危?1、定義：如果兩個(gè)三角形的各角對(duì)應(yīng) 各邊對(duì)應(yīng) 那么這兩個(gè)三角形相似 2、性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角 對(duì)應(yīng)邊 相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng) 的比都等于 相似三角形周長(zhǎng)的比等于 面積的比等于 1、 判定：基本定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊或兩線相交，三角形與原三角形相似 兩邊對(duì)應(yīng) 且?jiàn)A角 的兩三角形相似 兩角 的兩三角形相似 三組對(duì)應(yīng)邊的比 的兩三角形相似【名師提醒：1、全等是相似比為 的特殊相似2、根據(jù)相似三角形的性質(zhì)的特質(zhì)和判定，要證四條線段的比相等，一般要先證 判定方法中最常用的是 三組對(duì)應(yīng)邊成比例的兩三角形相似多用在點(diǎn)三角形中】 三、相似多邊形： 1、定義：各角對(duì)應(yīng) 各邊對(duì)應(yīng) 的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形 2、性質(zhì)：相似多邊形對(duì)應(yīng)角 對(duì)應(yīng)邊 相似多邊形周長(zhǎng)的比等于 面積的比等于 【名師提醒：相似多邊形沒(méi)有專(zhuān)門(mén)的判定方法，判定兩多邊形相似多用在矩形中，一般用定義進(jìn)行判定】一、 位似： 1、定義：如果兩個(gè)圖形不僅是 而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)過(guò) 那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做 這時(shí)相似比又稱(chēng)為 2、性質(zhì)：位似圖形上任意一點(diǎn)到位似中心的距離之比都等于 【名師提醒：1、位似圖形一定是 圖形，但反之不成立，利用位似變換可以將一個(gè)圖形放大或 2、在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似是以原點(diǎn)為位似中心，相似比位r，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于 或 】【典型例題解析】考點(diǎn)一：比例線段例1 如圖，已知ABC，AB=AC=1，A=36，ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)是 ，cosA的值是 （結(jié)果保留根號(hào)）考點(diǎn)：黃金分割；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義分析：可以證明ABCBDC，設(shè)AD=x，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可列出方程，求得x的值；過(guò)點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，則E為AB中點(diǎn)，由余弦定義可求出cosA的值點(diǎn)評(píng)：ABC、BCD均為黃金三角形，利用相似關(guān)系可以求出線段之間的數(shù)量關(guān)系；在求cosA時(shí)，注意構(gòu)造直角三角形，從而可以利用三角函數(shù)定義求解對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2如圖，在ABC中，AB=AC，A=36，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，若AC=2，則AD的長(zhǎng)是（）A B C D 考點(diǎn)二：相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用例2 已知ABCDEF，ABC的周長(zhǎng)為3，DEF的周長(zhǎng)為1，則ABC與DEF的面積之比為 9：1對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2已知ABCABC，相似比為3：4，ABC的周長(zhǎng)為6，則ABC的周長(zhǎng)為 8 考點(diǎn)三：相似三角形的判定方法及其應(yīng)用例3 如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且FC= BC圖中相似三角形共有（）A1對(duì)B2對(duì)C3對(duì)D4對(duì)考點(diǎn)：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)例4（1）如圖（1），正方形AEGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上，直接寫(xiě)出HD：GC：EB的結(jié)果（不必寫(xiě)計(jì)算過(guò)程）；（2）將圖（1）中的正方形AEGH繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖（2），求HD：GC：EB；考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練3.如圖，ABCADE且ABC=ADE，ACB=AED，BC、DE交于點(diǎn)O則下列四個(gè)結(jié)論中，1=2；BC=DE；ABDACE；A、O、C、E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，一定成立的有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)考點(diǎn)：相似三角形的判定；全等三角形的性質(zhì)；圓周角定理4. 在銳角ABC中，AB=4，BC=5，ACB=45，將ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到A1BC1（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求CC1A1的度數(shù)；（2）如圖2，連接AA1，CC1若ABA1的面積為4，求CBC1的面積；（3）如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)專(zhuān)題：幾何綜合題分析：（1）由由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：A1C1B=ACB=45，BC=BC1，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得CC1A1的度數(shù)；（2）由ABCA1BC1，易證得ABA1CBC1，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得CBC1的面積；（3）由當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最小，當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大，即可求得線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：A1C1B=ACB=45，BC=BC1，CC1B=C1CB=45，.（2分）CC1A1=CC1B+A1C1B=45+45=90（2）ABCA1BC1，BA=BA1，BC=BC1，ABC=A1BC1，ABC+ABC1=A1BC1+ABC1，ABA1=CBC1，ABA1CBC1 ，SABA1=4，SCBC1=； （3）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BDAC，D為垂足，ABC為銳角三角形，點(diǎn)D在線段AC上，在RtBCD中，BD=BCsin45=， 當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)與AB垂直的時(shí)候，ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最小，最小值為：EP1=BP1-BE=BD-BE=-2； 當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大，最大值為：EP1=BC+BE=2+5=7點(diǎn)評(píng)：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系考點(diǎn)四：位似例5 如圖，正方形ABCD的兩邊BC，AB分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上，正方形ABCD與正方形ABCD是以AC的中點(diǎn)O為中心的位似圖形，已知AC=3，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），則正方形ABCD與正方形ABCD的相似比是（）A B C D 考點(diǎn)：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)分析：延長(zhǎng)AB交BC于點(diǎn)E，根據(jù)大正方形的對(duì)角線長(zhǎng)求得其邊長(zhǎng)，然后求得小正方形的對(duì)應(yīng)訓(xùn)練5如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1：，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A（，0） B（ C D 考點(diǎn)：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)【聚焦中考】1已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點(diǎn)E，沿AE將ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=（）ABCD2考點(diǎn)：相似多邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）2如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OABC與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OABC的面積等于矩形OABC面積的 ，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A（-2，3）B（2，-3）C（3，-2）或（-2，3）D（-2，3）或（2，-3）考點(diǎn)：相似多邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)3.在菱形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，若EC=2BE，則 的值是（）A B C D 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)4.為了測(cè)量被池塘隔開(kāi)的A，B兩點(diǎn)之間的距離，根據(jù)實(shí)際情況，作出如圖圖形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于D，C在BD上有四位同學(xué)分別測(cè)量出以下四組數(shù)據(jù)：BC，ACB；CD，ACB，ADB；EF，DE，BD；DE，DC，BC能根據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù)，求出A，B間距離的有（）A1組B2組C3組D4組F考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用；解直角三角形的應(yīng)用5如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（4，0），（8，2），（6，4）已知A1B1C1的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），（2，5），若ABC與A1B1C1位似，則A1B1C1的第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 （3，4）或（0，4）考點(diǎn)：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)6如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC和DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，P1，P2，P3，P4，P5是DEF邊上的5個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)按要求完成下列各題：（1）試證明三角形ABC為直角三角形；（2）判斷ABC和DEF是否相似，并說(shuō)明理由；（3）畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三個(gè)頂點(diǎn)為P1，P2，P3，P4，P5中的3個(gè)格點(diǎn)并且與ABC相似（要求：用尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫(xiě)作法與證明）考點(diǎn)：作圖相似變換；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定【備考真題過(guò)關(guān)】一、選擇題1已知 ，則 的值是（）A B C D2如圖，ABC為等邊三角形，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在BC邊上，且ED=EC若ABC的邊長(zhǎng)為4，AE=2，則BD的長(zhǎng)為（）A2 B3 C D3如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點(diǎn)E、F、G、H分別在矩形ABCD的各邊上，EFACHG，EHBDFG，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是（）A B C D考點(diǎn)：平行線分線段成比例；勾股定理；矩形的性質(zhì)4小張用手機(jī)拍攝得到甲圖，經(jīng)放大后得到乙圖，甲圖中的線段AB在乙圖中的對(duì)應(yīng)線段是（）AFGBFHCEHDEF考點(diǎn)：相似圖形5.如圖，六邊形ABCDEF六邊形GHIJKL，相似比為2：1，則下列結(jié)論正確的是（）AE=2KBBC=2HIC六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)=六邊形GHIJKL的周長(zhǎng)DS六邊形ABCDEF=2S六邊形GHIJKL6.下列44的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則與ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（）ABCD7.如圖，點(diǎn)D在ABC的邊AC上，要判定ADB與ABC相似，添加一個(gè)條件，不正確的是（）AABD=C BADB=ABC C D考點(diǎn)：相似三角形的判定8如圖，在ABC中，EFBC， ，S四邊形BCFE=8，則SABC=（）A9B10C12D13考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)9.如圖，在四邊形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD= AB，點(diǎn)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，則AEF與多邊形BCDFE的面積之比為（）A B C D考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；三角形中位線定理10（2012欽州）圖中兩個(gè)四邊形是位似圖形，它們的位似中心是（）A點(diǎn)MB點(diǎn)NC點(diǎn)OD點(diǎn)P11如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位中心，將ABO擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，得到ABO若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，2），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）A（2，4）B（-1，-2）C（-2，-4）D（-2，-1）考點(diǎn)：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)二、填空題14.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AMMN，當(dāng)BM= cm時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm2考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)15.如圖，O為矩形ABCD的中心，M為BC邊上一點(diǎn)，N為DC邊上一點(diǎn)，ONOM，若AB=6，AD=4，設(shè)OM=x，ON=y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為 ?？键c(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)16.如圖，E是ABCD的邊CD上一點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AD=4， ，則CF的長(zhǎng)為 2考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)17.如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P，則tanAPD的值是 2考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義18如圖，利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度，標(biāo)桿BE高1.5m，測(cè)得AB=2m，BC=14cm，則樓高CD為 12m19.如圖，在一場(chǎng)羽毛球比賽中，站在場(chǎng)內(nèi)M處的運(yùn)動(dòng)員林丹把球從N點(diǎn)擊到了對(duì)方內(nèi)的B點(diǎn)，已知網(wǎng)高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，則林丹起跳后擊球點(diǎn)N離地面的距離NM= 3.42米考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用20.如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上已知紙板的兩條直角邊DE=40cm，EF=20cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，則樹(shù)高AB= 5.5m考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用21.如圖，ABC與A1B1C1為位似圖形，點(diǎn)O是它們的位似中心，位似比是1：2，已知ABC的面積為3，那么A1B1C1的面積是 12考點(diǎn)：位似變換三、解答題22己知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD，BAF=DAE，AE與BD交于點(diǎn)G（1）求證：BE=DF；（2）當(dāng) 時(shí)，求證：四邊形BEFG是平行四邊形考點(diǎn)：平行線分線段成比例；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的性質(zhì)23如圖，在ABC中，C=90，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，DMAB，且DM=AC，過(guò)點(diǎn)M作