最優(yōu)化方法(試題+答案)

一、 填空題1.若，則 ， .2.設(shè)連續(xù)可微且，若向量滿足 ，則它是在處的一個(gè)下降方向。3.向量關(guān)于3階單位方陣的所有線性無(wú)關(guān)的共軛向量有 .4. 設(shè)二次可微，則在處的牛頓方向?yàn)?. 5.舉出一個(gè)具有二次終止性的無(wú)約束二次規(guī)劃算法： .6.以下約束優(yōu)化問(wèn)題：的K-K-T條件為： .7.以下約束優(yōu)化問(wèn)題：的外點(diǎn)罰函數(shù)為（取罰參數(shù)為） .二、 證明題（7分+8分）1.設(shè)和都是線性函數(shù)，證明下面的約束問(wèn)題：是凸規(guī)劃問(wèn)題。2.設(shè)連續(xù)可微，考察如下的約束條件問(wèn)題：設(shè)是問(wèn)題的解，求證：是在處的一個(gè)可行方向。三、 計(jì)算題（每小題12分）1.取初始點(diǎn).采用精確線性搜索的最速下降法求解下面的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題（迭代2步）：2.采用精確搜索的BFGS算法求解下面的無(wú)約束問(wèn)題：3.用有效集法求解下面的二次規(guī)劃問(wèn)題：4.用可行方向算法（Zoutendijk算法或Frank Wolfe算法）求解下面的問(wèn)題（初值設(shè)為,計(jì)算到即可)：參考答案一、填空題1. 2. 3. ，（答案不唯一）。4. 5. 牛頓法、修正牛頓法等（寫出一個(gè)即可）6. 7. 二、證明題1.證明：要證凸規(guī)劃，即要證明目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)且可行域是凸集。一方面，由于二次連續(xù)可微，正定，根據(jù)凸函數(shù)等價(jià)條件可知目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)。另一方面，約束條件均為線性函數(shù)，若任意可行域，則故，從而可行域是凸集。2.證明：要證是在處的一個(gè)可行方向，即證當(dāng)，時(shí)，使得，當(dāng)時(shí)，故；當(dāng)時(shí)，故.因此，是在處的一個(gè)可行方向。三、 計(jì)算題1.解：令 得；第一次迭代： ， ，令，求得；第二次迭代：，令，求得，故，由于，故為最優(yōu)解。0122.解：取 第一步迭代：，令，求得；第二步迭代：，令，求得。故，由于，故為最優(yōu)解。01/21223. 解：取初始可行點(diǎn)求解等式約束子問(wèn)題 得解和相應(yīng)的Lagrange乘子 轉(zhuǎn)入第二次迭代。求解等式約束子問(wèn)題 得解 令 轉(zhuǎn)入第三次迭代。求解等式約束子問(wèn)題 得解和相應(yīng)的Lagrange乘子 由于，故得所求二次規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解為 ，相應(yīng)的Lagrange乘子為 4.解：計(jì)算梯度得當(dāng)時(shí)，.是下面線性規(guī)劃問(wèn)題