2020高中數(shù)學 1.1變化率與導數(shù)要點講解 新人教A版選修2-2VIP

變化率與導數(shù)要點講解一、求導的基本方法導數(shù)極限定義函數(shù)y=f(x)在點x0的導數(shù)，正好就等于函數(shù)曲線在點M（x0，f（x0）的切線斜率.我們看看這個結論是如何得出的.右邊這個圖，在x0右邊距離為x的地方另取 一點，那么曲線上相應的點M1的坐標為（x0+x，f（x0+x），我們將點M和M1連起來，得到一條直線，我們稱之為“割線”，顯然它不是我們所要的切線.這條割線的斜率是多少呢？割線MM1的斜率=請注意，如果這時我們沿著曲線f（x）移動點M1，使它逐漸接近點M（也就是讓x縮小，最后變成0），割線MM1就會逐步移動，漸漸靠近切線MT，向切線MT逼近.從圖中可以看出，當M1沿著曲線逐漸向M靠攏時，MM1的斜率也會向MT的斜率逐漸靠近.我們可以把上面這句話寫成：當x0，MM1的斜率MT的斜率.用式子表示：切線MT的斜率=這就是導數(shù)的定義.x中在x前面的那個三角形，是一個大寫希臘字母，讀作delta，相當于英文字母的D.據(jù)說牛頓年輕的時候，由于先天有某種障礙缺陷，無法精通某種秘密的握手方式，結果不幸因此被一個名稱中帶的兄弟會拒絕了他的入會申請.當時他當然非常失望，他后來幽默地用了這個讓他畢生最傷心的字母，作為他一生最偉大的成就（微積分）的基石.他用x這個符號，來代表x的微小變化.導數(shù)的定義還可以有其他形式，比如用h替代x：還可以用x替代x0，得到：我們假設，這樣，當x0，就相當于xx0，可以把式子改寫成：從外表看，似乎跟原來的定義不一樣了，但實質是一回事.什么時候我們會用到導數(shù)的極限定義去計算導數(shù)呢？只有在考核對導數(shù)定義的理解時才會遇到，平時是不會用到的.二、導數(shù)幾何意義的應用函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率.它把函數(shù)的導數(shù)與曲線的切線聯(lián)系在一起，使導數(shù)成為函數(shù)知識與解析幾何知識交匯的一個重要載體.因此，用導數(shù)解決與切線有關的問題將是高考命題的一個熱點.導數(shù)幾何意義的應用涉及如下幾類問題.一、切線的夾角問題例1已知拋物線yx24與直線yx2相交于A、B兩點，過A、B兩點的切線分別為l1和l2.(1)求直線l1與l2的夾角.解析：由方程組，解得A(2，0)，B(3，5)，由y2x，則y|x24，y|x36，設兩直線的夾角為，根據(jù)兩直線的夾角公式，tan|,所以arctan.點撥：解答此類問題分兩步：第一步根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線兩條切線的斜率；第二步利用兩條直線的夾角公式求出結果(注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號).二、兩條曲線的公切線問題例2已知拋物線C1：yx22x和C2：yx2a.如果直線l同時是C1和C2的切線，稱直線l是C1和C2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段.(1)a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；(2)若C1和C2有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分.解析：(1)函數(shù)yx22x的導數(shù)y2x2，曲線C1在點P(x1，x2x1)處的切線方程是y(x2x1)(2x12)(xx1)，即y(2x12)xx，函數(shù)yx2a的導數(shù)y2x，曲線C2在點Q(x2，xa)處的切線方程是y(xa)2x2(xx2)，即y2x2xxa，如果直線l是過P和Q的公切線，則式和式都是直線l的方程，所以，消去x2得方程2x2x11a0.當判別式442(1a)0時，即a時，解得x1，此時點P和Q重合，即當a時，C1和C2有且僅有一條公切線，由得公切線的方程為yx.（）證明：略點撥：解答此類問題分三步：第一步分別