高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))教案22 定積分的概念與性質(zhì)

第5章 定積分及其應(yīng)用定積分的概念與性質(zhì) 【教學(xué)目的】：1. 理解曲邊梯形的面積求法的思維方法；2. 理解定積分的概念及其性質(zhì)；3. 掌握定積分的幾何意義 ；【教學(xué)重點(diǎn)】：1. 定積分的概念及其性質(zhì)；【教學(xué)難點(diǎn)】：1. 曲邊梯形面積求法的思維方法；【教學(xué)時(shí)數(shù)】：2學(xué)時(shí)【教學(xué)過(guò)程】：案例研究引例5.1.1 曲邊梯形的面積問(wèn)題圖5-2所謂曲邊梯形是指由連續(xù)曲線(設(shè))，直線，和(即軸)所圍成的此類(lèi)型的平面圖形（如圖5-1所示）下面來(lái)求該曲邊梯形的面積 圖5-1分析 由于“矩形面積=底高”，而曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高在區(qū)間上是變動(dòng)的，故它的面積不能按矩形面積公式計(jì)算.另一方面，由于曲線在上是連續(xù)變化的，所以當(dāng)點(diǎn)在區(qū)間上某處變化很小時(shí)，相應(yīng)的也就變化不大.于是，考慮用一組平行于軸的直線把曲邊梯形分割成若干個(gè)小曲邊梯形，當(dāng)分割得較細(xì)，每個(gè)小曲邊梯形很窄時(shí)，其高的變化就很小.這樣，可以在每個(gè)小曲邊梯形上作一個(gè)與它同底、以底上某點(diǎn)函數(shù)值為高的小矩形，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，進(jìn)而用所有小曲邊梯形的面積之和近似代替整個(gè)曲邊梯形的面積（如圖5-2所示）.顯然，分割越細(xì)，近似程度越高，當(dāng)無(wú)限細(xì)分時(shí)，所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形面積的精確值. 根據(jù)以上分析，可按以下四步計(jì)算曲邊梯形的面積.（1）分割 在閉區(qū)間上任意插入個(gè)分點(diǎn)， ，將閉區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間 ，它們的長(zhǎng)度依次為 ，過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作平行于軸的直線，把曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形；（2）取近似 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，以小區(qū)間為底，為高作小矩形，用小矩形的面積近似代替相應(yīng)的小曲邊梯形的面積，即 ，（3）求和 把這樣得到的個(gè)小矩形的面積加起來(lái)，得和式，將其作為曲邊梯形面積的近似值，即 ； （4）取極限 當(dāng)分點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)限增加，且小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值（）趨于零時(shí)，上述和式的極限值就是曲邊梯形面積的精確值，即 .5.1.1 定積分的定義定義1 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有界，在閉區(qū)間中任意插入個(gè)分點(diǎn) ，將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間 ，各小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為 ，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作函數(shù)值與小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積，并作和，記， ，當(dāng)無(wú)限增大且時(shí)，若上述和式的極限存在，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上可積，并將此極限值稱(chēng)為函數(shù)在上的定積分，記為 .即 ， 其中稱(chēng)為積分變量，稱(chēng)為被積函數(shù)，稱(chēng)為被積表達(dá)式， 稱(chēng)為積分下限，稱(chēng)為積分上限，稱(chēng)為積分區(qū)間，符號(hào)讀作函數(shù)從到的定積分.按定積分的定義，兩個(gè)引例的結(jié)果可以分別表示為：，關(guān)于定積分的定義作以下幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）和式的極限存在（即函數(shù)在上可積）是指不論對(duì)區(qū)間怎樣分法，也不論對(duì)點(diǎn)怎樣取法，極限都存在.（2）和式的極限僅與被積函數(shù)的表達(dá)式及積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量使用什么字母無(wú)關(guān)，即 .（3）定義中要求積分限，我們補(bǔ)充如下規(guī)定： 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（4）函數(shù)可積的兩個(gè)充分條件：若上連續(xù)，則上可積。若上有界，且只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)，則上可積。定積分的幾何意義 當(dāng)時(shí)，由前述可知，定積分在幾何上表示由曲線，兩直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積；如果，這時(shí)曲邊梯形位于軸下方，定積分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值，如圖53；圖5-4圖5-3 當(dāng)在上有正有負(fù)時(shí)，定積分在幾何上表示軸，曲線及兩直線所圍成的各個(gè)曲邊梯形面積的代數(shù)和（見(jiàn)圖54），即 .5.1.2 定積分的性質(zhì)以下性質(zhì)中函數(shù)均為可積函數(shù).性質(zhì)1 函數(shù)和（差）的定積分等于它們定積分的和（差）,即 . 性質(zhì)1可推廣到有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情形. 性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到定積分的符號(hào)外面， 即，（為常數(shù)）. 性質(zhì)3 如果在區(qū)間上，則 ， 特別地，時(shí)，. 性質(zhì)3的幾何意義如圖57所示. 性質(zhì)4（積分區(qū)間的可加性） 如果積分區(qū)間被點(diǎn)分成兩個(gè)區(qū)間和,則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩個(gè)區(qū)間上定積分的和，即 . 注意：無(wú)論的相對(duì)位置如何，總有上述等式成立。 性質(zhì)5 如果在區(qū)間上，則 . 性質(zhì)6（定積分的單調(diào)性） 如果在區(qū)間上，有, 則 . 例2 比較下列各對(duì)積分值的大小（1）與（2）與解 （1）由冪函數(shù)的性質(zhì)，在上，有 由定積分性質(zhì)，得（2）在內(nèi)有，得 性質(zhì)7（估值定理） 如果函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為，則 . 性質(zhì)7說(shuō)明，由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值和最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍.例3 估計(jì)定積分的值.解 先求在區(qū)間上的最大值和最小值，為此求得， 令，得駐點(diǎn)，比較駐點(diǎn)處與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值： ， ，得最小值，最大值，再根據(jù)估值定理，得 .性質(zhì)8（積分中值定理） 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得 這個(gè)