《解析函數(shù)》PPT課件VIP

1,第二章解析函數(shù),2,2.1解析函數(shù)的概念,3,一、導(dǎo)數(shù)與微分,1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù),則稱在處可導(dǎo)，,是,的鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，,如果,存在有限的極限值A(chǔ)，,且稱A,如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，,在D內(nèi)可導(dǎo)，此時(shí)即得的導(dǎo)(函)數(shù),則稱,4,一、導(dǎo)數(shù)與微分,2.復(fù)變函數(shù)的微分,則稱在處可微，,的鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，,若在區(qū)域D內(nèi)處處可微，則稱在D內(nèi)可微。,如果存在A，使得,特別地，有,(考慮函數(shù)即可),導(dǎo)數(shù)反映的是“變化率”；而微分更能體現(xiàn)“逼近”的思想。,5,一、導(dǎo)數(shù)與微分,3.可導(dǎo)與可微以及連續(xù)之間的關(guān)系,如果可導(dǎo),可微,如果可微,可導(dǎo),6,一、導(dǎo)數(shù)與微分,3.可導(dǎo)與可微以及連續(xù)之間的關(guān)系,(1)可導(dǎo)可微,如果可導(dǎo),可微,連續(xù),由此可見，上述結(jié)論與一元實(shí)函數(shù)是一樣的。,對(duì)二元實(shí)函數(shù)：,偏導(dǎo)數(shù)存在可微,連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),7,得,(C為復(fù)常數(shù))。,求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,例,(1),(2),8,解,(2)由,得,求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,例,(1),(2),9,一、導(dǎo)數(shù)與微分,4.求導(dǎo)法則,(1)四則運(yùn)算法則,10,一、導(dǎo)數(shù)與微分,4.求導(dǎo)法則,(1)四則運(yùn)算法則,(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,(3)反函數(shù)的求導(dǎo)法則,其中，與是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值,函數(shù)，且,11,二、解析函數(shù),則稱在點(diǎn)解析；,(2)如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)解析，,則稱,奇點(diǎn),12,二、解析函數(shù),性質(zhì),(2)如果函數(shù)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析，,則復(fù)合函數(shù)在D內(nèi)解析。,函數(shù)在平面上的區(qū)域G內(nèi)解析，,且對(duì)D內(nèi)的每一點(diǎn)z，函數(shù)的值都屬于G，,13,由函數(shù)的解析性以及,又方程的根是,因此在全平面除去點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)，解析。,求導(dǎo)法則可知：,求函數(shù),的解析區(qū)域及在該區(qū)域上的導(dǎo)數(shù)。,例,14,因此，僅在點(diǎn)可導(dǎo)，處處不解析。,15,解,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,因此，處處不可導(dǎo)，處處不解析。,16,三、柯西-黎曼方程,1.點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件,且滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程：,和在點(diǎn)處可微，,(簡(jiǎn)稱方程),的充要條件是：,實(shí)二元函數(shù)可微的含義：,附,17,三、柯西-黎曼方程,1.點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件,且,記,則必可微，即,18,三、柯西-黎曼方程,1.點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件,證明,充分性“”,則,得,且,19,求導(dǎo)公式,三、柯西-黎曼方程,1.點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件,則,20,三、柯西-黎曼方程,2.區(qū)域解析的充要條件,充要條件是：,滿足C-R方程。,推論,在區(qū)域D內(nèi)存在且連續(xù)，并滿足C-R方程，,在區(qū)域D內(nèi)解析。,則函數(shù),21,可知不滿足C-R方程，,有,22,有,由C-R方程，,23,由C-R方程，,處處不解析。,所以僅在直線上可導(dǎo)，,24,四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，,且滿足C-R方程，,故在全平面上處處可導(dǎo)，,處處解析，且,注,函數(shù),記為,本例結(jié)果表明：,25,由C-R方程可得,求解得,設(shè)函數(shù),求常數(shù),例,在復(fù)平面內(nèi)處處解析。,的值，使,26,為常數(shù)，,設(shè)函數(shù),內(nèi)為常數(shù)。,在某區(qū)域,例,之一，證明：,在區(qū)域,內(nèi)解析，且滿足下列條件,內(nèi)解析；,在,(1),(2),內(nèi)為常數(shù)。,在,27,證,(常數(shù))；,(2)由解析，,由在D內(nèi)為常數(shù)，,(常數(shù))，,兩邊分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)得：,若,若,方程組(A)只有零解，,為常數(shù)，,(A),28,2.2解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系,29,一、調(diào)和函數(shù),則稱為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。,且滿足拉普拉斯(Laplace)方程：,30,同理,有,一、調(diào)和函數(shù),若函數(shù),和,在區(qū)域,內(nèi)解析，,則,定理,在區(qū)域,內(nèi)都是調(diào)和函數(shù)。,31,二、共軛調(diào)和函數(shù),條件是：,在區(qū)域D內(nèi)，v是u的共軛調(diào)和函數(shù)。,則稱v是u的共軛調(diào)和函數(shù)。,且滿足C-R方程：,-u是v的共軛調(diào)和函數(shù),32,三、構(gòu)造解析函數(shù),使解析，且滿足指定的條件。,(1)u和v本身必須都是調(diào)和函數(shù)；,(2)u和v之間必須滿足C-R方程。,33,三、構(gòu)造解析函數(shù),(不妨僅考慮已知實(shí)部u的情形),(1)由u及C-R方程,(2)將(A)式的兩邊對(duì)變量y進(jìn)行(偏)積分得：,其中，已知，而待定。,(3)將(C)式代入(B)式，求解即可得到函數(shù),得到待定函數(shù)v,的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：,(C),34,方法,三、構(gòu)造解析函數(shù),(1)由u及C-R方程得到待定函數(shù)v的全微分：,(2)利用第二類曲線積分(與路徑無(wú)關(guān))得到原函數(shù)：,其中，或,35,故是調(diào)和函數(shù)。,由,為,驗(yàn)證,例,實(shí)部的解析函數(shù),使得,為調(diào)和函數(shù)，并求以,36,解,由,由,(2)求虛部。,驗(yàn)證,例,實(shí)部的解析函數(shù),使得,為調(diào)和函數(shù)，并求以,為,3